Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochfl1 Structured version   Unicode version

Theorem dochfl1 35144
Description: The value of the explicit functional  G is 1 at the  X that determines it. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochfl1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochfl1.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochfl1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochfl1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochfl1.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dochfl1.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dochfl1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dochfl1.d  |-  D  =  (Scalar `  U )
dochfl1.r  |-  R  =  ( Base `  D
)
dochfl1.i  |-  .1.  =  ( 1r `  D )
dochfl1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochfl1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
dochfl1.g  |-  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dochfl1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  .1.  )
Distinct variable groups:    v, k, w,  .+    .1. , k, w    ._|_ , k, v, w    R, k, v    .x. , k,
v, w    v, V    k, X, v, w    w,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( w, v, k)    D( w, v, k)    R( w)    U( w, v, k)    .1. ( v)    G( w, v, k)    H( w, v, k)    K( w, v, k)    V( w, k)    W( w, v, k)    .0. ( v,
k)

Proof of Theorem dochfl1
StepHypRef Expression
1 dochfl1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21eldifad 3359 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 eqeq1 2449 . . . . . 6  |-  ( v  =  X  ->  (
v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  X ) )  <->  X  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
43rexbidv 2755 . . . . 5  |-  ( v  =  X  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
54riotabidv 6073 . . . 4  |-  ( v  =  X  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) v  =  ( w 
.+  ( k  .x.  X ) ) )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) X  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) ) )
6 dochfl1.g . . . 4  |-  G  =  ( v  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) v  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) ) )
7 riotaex 6075 . . . 4  |-  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) X  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt 5793 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( G `  X )  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) X  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) ) )
92, 8syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) X  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) ) )
10 dochfl1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 dochfl1.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
12 dochfl1.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1310, 11, 12dvhlmod 34778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
142snssd 4037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
15 dochfl1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
16 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
17 dochfl1.o . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1810, 11, 15, 16, 17dochlss 35022 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  { X }  C_  V )  ->  (  ._|_  `  { X }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1912, 14, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
20 dochfl1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
2120, 16lss0cl 17047 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  { X }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )  ->  .0.  e.  (  ._|_  `  { X } ) )
2213, 19, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  (  ._|_  `  { X } ) )
23 dochfl1.d . . . . . . . 8  |-  D  =  (Scalar `  U )
24 dochfl1.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  U )
25 dochfl1.i . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  D )
2615, 23, 24, 25lmodvs1 16995 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  X )  =  X )
2713, 2, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
2827oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (  .1.  .x.  X ) )  =  (  .0.  .+  X ) )
29 dochfl1.a . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
3015, 29, 20lmod0vlid 16997 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .0.  .+  X )  =  X )
3113, 2, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
3228, 31eqtr2d 2476 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  (  .0.  .+  (  .1.  .x.  X
) ) )
33 oveq1 6117 . . . . . 6  |-  ( w  =  .0.  ->  (
w  .+  (  .1.  .x. 
X ) )  =  (  .0.  .+  (  .1.  .x.  X ) ) )
3433eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( w  =  .0.  ->  ( X  =  ( w  .+  (  .1.  .x.  X
) )  <->  X  =  (  .0.  .+  (  .1.  .x. 
X ) ) ) )
3534rspcev 3092 . . . 4  |-  ( (  .0.  e.  (  ._|_  `  { X } )  /\  X  =  (  .0.  .+  (  .1.  .x. 
X ) ) )  ->  E. w  e.  ( 
._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  (  .1. 
.x.  X ) ) )
3622, 32, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( 
._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  (  .1. 
.x.  X ) ) )
3723lmodrng 16975 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
38 dochfl1.r . . . . . 6  |-  R  =  ( Base `  D
)
3938, 25rngidcl 16684 . . . . 5  |-  ( D  e.  Ring  ->  .1.  e.  R )
4013, 37, 393syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  e.  R )
41 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( LSpan `  U )  =  (
LSpan `  U )
42 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
43 eqid 2443 . . . . 5  |-  (LSHyp `  U )  =  (LSHyp `  U )
4410, 11, 12dvhlvec 34777 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4510, 17, 11, 15, 20, 43, 12, 1dochsnshp 35121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  { X } )  e.  (LSHyp `  U ) )
4610, 17, 11, 15, 20, 41, 42, 12, 1dochexmidat 35127 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( (
LSpan `  U ) `  { X } ) )  =  V )
4715, 29, 41, 42, 43, 44, 45, 2, 2, 46, 23, 38, 24lshpsmreu 32777 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) )
48 oveq1 6117 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  .1.  ->  (
k  .x.  X )  =  (  .1.  .x.  X
) )
4948oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( k  =  .1.  ->  (
w  .+  ( k  .x.  X ) )  =  ( w  .+  (  .1.  .x.  X ) ) )
5049eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( k  =  .1.  ->  ( X  =  ( w  .+  ( k  .x.  X
) )  <->  X  =  ( w  .+  (  .1. 
.x.  X ) ) ) )
5150rexbidv 2755 . . . . 5  |-  ( k  =  .1.  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) )  <->  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  (  .1. 
.x.  X ) ) ) )
5251riota2 6094 . . . 4  |-  ( (  .1.  e.  R  /\  E! k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) )  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) X  =  ( w 
.+  (  .1.  .x.  X ) )  <->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) X  =  ( w  .+  (
k  .x.  X )
) )  =  .1.  ) )
5340, 47, 52syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  (  ._|_  `  { X } ) X  =  ( w  .+  (  .1.  .x.  X ) )  <-> 
( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) )  =  .1.  )
)
5436, 53mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ k  e.  R  E. w  e.  (  ._|_  `  { X }
) X  =  ( w  .+  ( k 
.x.  X ) ) )  =  .1.  )
559, 54eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2735   E!wreu 2736    \ cdif 3344    C_ wss 3347   {csn 3896    e. cmpt 4369   ` cfv 5437   iota_crio 6070  (class class class)co 6110   Basecbs 14193   +g cplusg 14257  Scalarcsca 14260   .scvsca 14261   0gc0g 14397   LSSumclsm 16152   1rcur 16622   Ringcrg 16664   LModclmod 16967   LSubSpclss 17032   LSpanclspn 17071  LSHypclsh 32643   HLchlt 33018   LHypclh 33651   DVecHcdvh 34746   ocHcoch 35015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-riotaBAD 32627
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-tpos 6764  df-undef 6811  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-0g 14399  df-poset 15135  df-plt 15147  df-lub 15163  df-glb 15164  df-join 15165  df-meet 15166  df-p0 15228  df-p1 15229  df-lat 15235  df-clat 15297  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-subg 15697  df-cntz 15854  df-lsm 16154  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-oppr 16734  df-dvdsr 16752  df-unit 16753  df-invr 16783  df-dvr 16794  df-drng 16853  df-lmod 16969  df-lss 17033  df-lsp 17072  df-lvec 17203  df-lsatoms 32644  df-lshyp 32645  df-oposet 32844  df-ol 32846  df-oml 32847  df-covers 32934  df-ats 32935  df-atl 32966  df-cvlat 32990  df-hlat 33019  df-llines 33165  df-lplanes 33166  df-lvols 33167  df-lines 33168  df-psubsp 33170  df-pmap 33171  df-padd 33463  df-lhyp 33655  df-laut 33656  df-ldil 33771  df-ltrn 33772  df-trl 33826  df-tgrp 34410  df-tendo 34422  df-edring 34424  df-dveca 34670  df-disoa 34697  df-dvech 34747  df-dib 34807  df-dic 34841  df-dih 34897  df-doch 35016  df-djh 35063
This theorem is referenced by:  lcfl6lem  35166  lcfl7lem  35167  hvmapidN  35430  hdmapevec2  35507
  Copyright terms: Public domain W3C validator