Theorem dochexmidlem1 37584

Description: Lemma for dochexmid 37592. Holland's proof implicitly requires q =/= r, which we prove here. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmidlem1.h	|- H = ( LHyp ` K )
dochexmidlem1.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochexmidlem1.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochexmidlem1.v	|- V = ( Base ` U )
dochexmidlem1.s	|- S = ( LSubSp ` U )
dochexmidlem1.n	|- N = ( LSpan ` U )
dochexmidlem1.p	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dochexmidlem1.a	|- A = (LSAtoms ` U )
dochexmidlem1.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochexmidlem1.x	|- ( ph -> X e. S )
dochexmidlem1.pp	|- ( ph -> p e. A )
dochexmidlem1.qq	|- ( ph -> q e. A )
dochexmidlem1.rr	|- ( ph -> r e. A )
dochexmidlem1.ql	|- ( ph -> q C_ ( ._|_ ` X ) )
dochexmidlem1.rl	|- ( ph -> r C_ X )

Assertion

Ref	Expression
dochexmidlem1	|- ( ph -> q =/= r )

Proof of Theorem dochexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . . . 5 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
2		dochexmidlem1.a	. . . . 5 |- A = (LSAtoms ` U )
3		dochexmidlem1.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
4		dochexmidlem1.u	. . . . . 6 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5		dochexmidlem1.k	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6	3, 4, 5	dvhlmod 37234	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
7		dochexmidlem1.rr	. . . . 5 |- ( ph -> r e. A )
8	1, 2, 6, 7	lsatn0 35121	. . . 4 |- ( ph -> r =/= { ( 0g ` U ) } )
9		dochexmidlem1.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` U )
10	9, 2, 6, 7	lsatlssel 35119	. . . . . 6 |- ( ph -> r e. S )
11	1, 9	lssle0 17791	. . . . . 6 |- ( ( U e. LMod /\ r e. S ) -> ( r C_ { ( 0g ` U ) } <-> r = { ( 0g ` U ) } ) )
12	6, 10, 11	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( r C_ { ( 0g ` U ) } <-> r = { ( 0g ` U ) } ) )
13	12	necon3bbid 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( -. r C_ { ( 0g ` U ) } <-> r =/= { ( 0g ` U ) } ) )
14	8, 13	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> -. r C_ { ( 0g ` U ) } )
15		dochexmidlem1.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. S )
16		dochexmidlem1.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
17	3, 4, 9, 1, 16	dochnoncon 37515	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. S ) -> ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) = { ( 0g ` U ) } )
18	5, 15, 17	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) = { ( 0g ` U ) } )
19	18	sseq2d 3517	. . 3 |- ( ph -> ( r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) <-> r C_ { ( 0g ` U ) } ) )
20	14, 19	mtbird 299	. 2 |- ( ph -> -. r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) )
21		dochexmidlem1.ql	. . . . . 6 |- ( ph -> q C_ ( ._|_ ` X ) )
22		sseq1 3510	. . . . . 6 |- ( q = r -> ( q C_ ( ._|_ ` X ) <-> r C_ ( ._|_ ` X ) ) )
23	21, 22	syl5ibcom 220	. . . . 5 |- ( ph -> ( q = r -> r C_ ( ._|_ ` X ) ) )
24		dochexmidlem1.rl	. . . . 5 |- ( ph -> r C_ X )
25	23, 24	jctild 541	. . . 4 |- ( ph -> ( q = r -> ( r C_ X /\ r C_ ( ._|_ ` X ) ) ) )
26		ssin 3706	. . . 4 |- ( ( r C_ X /\ r C_ ( ._|_ ` X ) ) <-> r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) )
27	25, 26	syl6ib 226	. . 3 |- ( ph -> ( q = r -> r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) ) )
28	27	necon3bd 2666	. 2 |- ( ph -> ( -. r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) -> q =/= r ) )
29	20, 28	mpd 15	1 |- ( ph -> q =/= r )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   i^i cin 3460   C_ wss 3461   {csn 4016   ` cfv 5570   Basecbs 14716   0gc0g 14929   LSSumclsm 16853   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LSpanclspn 17812  LSAtomsclsa 35096   HLchlt 35472   LHypclh 36105   DVecHcdvh 37202   ocHcoch 37471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-lsatoms 35098  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263  df-dic 37297  df-dih 37353  df-doch 37472

This theorem is referenced by:  dochexmidlem3  37586