Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochexmidlem1 Structured version   Unicode version

Theorem dochexmidlem1 35413
Description: Lemma for dochexmid 35421. Holland's proof implicitly requires  q  =/=  r, which we prove here. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochexmidlem1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochexmidlem1.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dochexmidlem1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochexmidlem1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochexmidlem1.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dochexmidlem1.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dochexmidlem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dochexmidlem1.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dochexmidlem1.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dochexmidlem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dochexmidlem1.pp  |-  ( ph  ->  p  e.  A )
dochexmidlem1.qq  |-  ( ph  ->  q  e.  A )
dochexmidlem1.rr  |-  ( ph  ->  r  e.  A )
dochexmidlem1.ql  |-  ( ph  ->  q  C_  (  ._|_  `  X ) )
dochexmidlem1.rl  |-  ( ph  ->  r  C_  X )
Assertion
Ref Expression
dochexmidlem1  |-  ( ph  ->  q  =/=  r )

Proof of Theorem dochexmidlem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
2 dochexmidlem1.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
3 dochexmidlem1.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dochexmidlem1.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dochexmidlem1.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 35063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
7 dochexmidlem1.rr . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  e.  A )
81, 2, 6, 7lsatn0 32952 . . . 4  |-  ( ph  ->  r  =/=  { ( 0g `  U ) } )
9 dochexmidlem1.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
109, 2, 6, 7lsatlssel 32950 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  r  e.  S )
111, 9lssle0 17139 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  r  e.  S )  ->  (
r  C_  { ( 0g `  U ) }  <-> 
r  =  { ( 0g `  U ) } ) )
126, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  C_  { ( 0g `  U ) }  <->  r  =  {
( 0g `  U
) } ) )
1312necon3bbid 2695 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  r  C_  { ( 0g `  U
) }  <->  r  =/=  { ( 0g `  U
) } ) )
148, 13mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  r  C_  { ( 0g `  U ) } )
15 dochexmidlem1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
16 dochexmidlem1.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
173, 4, 9, 1, 16dochnoncon 35344 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S
)  ->  ( X  i^i  (  ._|_  `  X
) )  =  {
( 0g `  U
) } )
185, 15, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  (  ._|_  `  X ) )  =  { ( 0g
`  U ) } )
1918sseq2d 3484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X
) )  <->  r  C_  { ( 0g `  U
) } ) )
2014, 19mtbird 301 . 2  |-  ( ph  ->  -.  r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X
) ) )
21 dochexmidlem1.ql . . . . . 6  |-  ( ph  ->  q  C_  (  ._|_  `  X ) )
22 sseq1 3477 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  (
q  C_  (  ._|_  `  X )  <->  r  C_  (  ._|_  `  X )
) )
2321, 22syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( q  =  r  ->  r  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
24 dochexmidlem1.rl . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  C_  X )
2523, 24jctild 543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( q  =  r  ->  ( r  C_  X  /\  r  C_  (  ._|_  `  X ) ) ) )
26 ssin 3672 . . . 4  |-  ( ( r  C_  X  /\  r  C_  (  ._|_  `  X
) )  <->  r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X ) ) )
2725, 26syl6ib 226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( q  =  r  ->  r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X
) ) ) )
2827necon3bd 2660 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  r  C_  ( X  i^i  (  ._|_  `  X ) )  ->  q  =/=  r
) )
2920, 28mpd 15 1  |-  ( ph  ->  q  =/=  r )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    i^i cin 3427    C_ wss 3428   {csn 3977   ` cfv 5518   Basecbs 14278   0gc0g 14482   LSSumclsm 16239   LModclmod 17056   LSubSpclss 17121   LSpanclspn 17160  LSAtomsclsa 32927   HLchlt 33303   LHypclh 33936   DVecHcdvh 35031   ocHcoch 35300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-0g 14484  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-cntz 15939  df-lsm 16241  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161  df-lvec 17292  df-lsatoms 32929  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tendo 34707  df-edring 34709  df-disoa 34982  df-dvech 35032  df-dib 35092  df-dic 35126  df-dih 35182  df-doch 35301
This theorem is referenced by:  dochexmidlem3  35415
  Copyright terms: Public domain W3C validator