Theorem dochexmidlem1 35413

Description: Lemma for dochexmid 35421. Holland's proof implicitly requires q =/= r, which we prove here. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmidlem1.h	|- H = ( LHyp ` K )
dochexmidlem1.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochexmidlem1.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochexmidlem1.v	|- V = ( Base ` U )
dochexmidlem1.s	|- S = ( LSubSp ` U )
dochexmidlem1.n	|- N = ( LSpan ` U )
dochexmidlem1.p	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dochexmidlem1.a	|- A = (LSAtoms ` U )
dochexmidlem1.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochexmidlem1.x	|- ( ph -> X e. S )
dochexmidlem1.pp	|- ( ph -> p e. A )
dochexmidlem1.qq	|- ( ph -> q e. A )
dochexmidlem1.rr	|- ( ph -> r e. A )
dochexmidlem1.ql	|- ( ph -> q C_ ( ._|_ ` X ) )
dochexmidlem1.rl	|- ( ph -> r C_ X )

Assertion

Ref	Expression
dochexmidlem1	|- ( ph -> q =/= r )

Proof of Theorem dochexmidlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . . . 5 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
2		dochexmidlem1.a	. . . . 5 |- A = (LSAtoms ` U )
3		dochexmidlem1.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
4		dochexmidlem1.u	. . . . . 6 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5		dochexmidlem1.k	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6	3, 4, 5	dvhlmod 35063	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
7		dochexmidlem1.rr	. . . . 5 |- ( ph -> r e. A )
8	1, 2, 6, 7	lsatn0 32952	. . . 4 |- ( ph -> r =/= { ( 0g ` U ) } )
9		dochexmidlem1.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` U )
10	9, 2, 6, 7	lsatlssel 32950	. . . . . 6 |- ( ph -> r e. S )
11	1, 9	lssle0 17139	. . . . . 6 |- ( ( U e. LMod /\ r e. S ) -> ( r C_ { ( 0g ` U ) } <-> r = { ( 0g ` U ) } ) )
12	6, 10, 11	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( r C_ { ( 0g ` U ) } <-> r = { ( 0g ` U ) } ) )
13	12	necon3bbid 2695	. . . 4 |- ( ph -> ( -. r C_ { ( 0g ` U ) } <-> r =/= { ( 0g ` U ) } ) )
14	8, 13	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> -. r C_ { ( 0g ` U ) } )
15		dochexmidlem1.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. S )
16		dochexmidlem1.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
17	3, 4, 9, 1, 16	dochnoncon 35344	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. S ) -> ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) = { ( 0g ` U ) } )
18	5, 15, 17	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) = { ( 0g ` U ) } )
19	18	sseq2d 3484	. . 3 |- ( ph -> ( r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) <-> r C_ { ( 0g ` U ) } ) )
20	14, 19	mtbird 301	. 2 |- ( ph -> -. r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) )
21		dochexmidlem1.ql	. . . . . 6 |- ( ph -> q C_ ( ._|_ ` X ) )
22		sseq1 3477	. . . . . 6 |- ( q = r -> ( q C_ ( ._|_ ` X ) <-> r C_ ( ._|_ ` X ) ) )
23	21, 22	syl5ibcom 220	. . . . 5 |- ( ph -> ( q = r -> r C_ ( ._|_ ` X ) ) )
24		dochexmidlem1.rl	. . . . 5 |- ( ph -> r C_ X )
25	23, 24	jctild 543	. . . 4 |- ( ph -> ( q = r -> ( r C_ X /\ r C_ ( ._|_ ` X ) ) ) )
26		ssin 3672	. . . 4 |- ( ( r C_ X /\ r C_ ( ._|_ ` X ) ) <-> r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) )
27	25, 26	syl6ib 226	. . 3 |- ( ph -> ( q = r -> r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) ) )
28	27	necon3bd 2660	. 2 |- ( ph -> ( -. r C_ ( X i^i ( ._|_ ` X ) ) -> q =/= r ) )
29	20, 28	mpd 15	1 |- ( ph -> q =/= r )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   i^i cin 3427   C_ wss 3428   {csn 3977   ` cfv 5518   Basecbs 14278   0gc0g 14482   LSSumclsm 16239   LModclmod 17056   LSubSpclss 17121   LSpanclspn 17160  LSAtomsclsa 32927   HLchlt 33303   LHypclh 33936   DVecHcdvh 35031   ocHcoch 35300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-0g 14484  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-cntz 15939  df-lsm 16241  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161  df-lvec 17292  df-lsatoms 32929  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tendo 34707  df-edring 34709  df-disoa 34982  df-dvech 35032  df-dib 35092  df-dic 35126  df-dih 35182  df-doch 35301

This theorem is referenced by:  dochexmidlem3  35415