Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochdmj1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dochdmj1 35029
Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochdmj1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochdmj1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochdmj1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochdmj1.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochdmj1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem dochdmj1
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  V
)
3 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  V
)
42, 3unssd 3601 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  V
)
5 ssun1 3588 . . . . 5  |-  X  C_  ( X  u.  Y
)
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  ( X  u.  Y )
)
7 dochdmj1.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dochdmj1.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 dochdmj1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
10 dochdmj1.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
117, 8, 9, 10dochss 35004 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  X  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
121, 4, 6, 11syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
13 ssun2 3589 . . . . 5  |-  Y  C_  ( X  u.  Y
)
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  ( X  u.  Y )
)
157, 8, 9, 10dochss 35004 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  Y  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
161, 4, 14, 15syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
1712, 16ssind 3647 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
18 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
197, 18, 8, 9, 10dochcl 34992 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
20193adant3 1050 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
217, 18, 8, 9, 10dochcl 34992 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
22213adant2 1049 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
237, 18dihmeetcl 34984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  /\  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) ) )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
241, 20, 22, 23syl12anc 1290 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
257, 18, 10dochoc 35006 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
261, 24, 25syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
277, 8, 9, 10dochssv 34994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
28273adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  V )
29 ssinss1 3651 . . . . . 6  |-  ( ( 
._|_  `  X )  C_  V  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
3028, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
317, 8, 9, 10dochssv 34994 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  V
)
321, 30, 31syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V )
337, 8, 9, 10dochocss 35005 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
34333adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
357, 8, 9, 10dochocss 35005 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
36353adant2 1049 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
37 unss12 3597 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
39 inss1 3643 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
417, 8, 9, 10dochss 35004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
421, 28, 40, 41syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
437, 8, 9, 10dochssv 34994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  V
)
44433adant2 1049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  C_  V )
45 inss2 3644 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
4645a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  Y
) )
477, 8, 9, 10dochss 35004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  Y
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
481, 44, 46, 47syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
4942, 48unssd 3601 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
5038, 49sstrd 3428 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
517, 8, 9, 10dochss 35004 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V  /\  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
521, 32, 50, 51syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y ) ) )
5326, 52eqsstr3d 3453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
5417, 53eqssd 3435 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ran crn 4840   ` cfv 5589   Basecbs 15199   HLchlt 32987   LHypclh 33620   DVecHcdvh 34717   DIsoHcdih 34867   ocHcoch 34986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-lsatoms 32613  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868  df-doch 34987
This theorem is referenced by:  djhval2  35038  dochdmm1  35049  lclkrlem2c  35148  lclkrlem2v  35167  lcfrlem18  35199
  Copyright terms: Public domain W3C validator