Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochdmj1 Structured version   Unicode version

Theorem dochdmj1 37239
Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochdmj1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochdmj1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochdmj1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochdmj1.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochdmj1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem dochdmj1
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  V
)
3 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  V
)
42, 3unssd 3676 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  V
)
5 ssun1 3663 . . . . 5  |-  X  C_  ( X  u.  Y
)
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  ( X  u.  Y )
)
7 dochdmj1.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dochdmj1.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 dochdmj1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
10 dochdmj1.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
117, 8, 9, 10dochss 37214 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  X  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
121, 4, 6, 11syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
13 ssun2 3664 . . . . 5  |-  Y  C_  ( X  u.  Y
)
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  ( X  u.  Y )
)
157, 8, 9, 10dochss 37214 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  Y  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
161, 4, 14, 15syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
1712, 16ssind 3718 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
18 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
197, 18, 8, 9, 10dochcl 37202 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
20193adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
217, 18, 8, 9, 10dochcl 37202 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
22213adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
237, 18dihmeetcl 37194 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  /\  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) ) )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
241, 20, 22, 23syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
257, 18, 10dochoc 37216 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
261, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
277, 8, 9, 10dochssv 37204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
28273adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  V )
29 ssinss1 3722 . . . . . 6  |-  ( ( 
._|_  `  X )  C_  V  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
317, 8, 9, 10dochssv 37204 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  V
)
321, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V )
337, 8, 9, 10dochocss 37215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
34333adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
357, 8, 9, 10dochocss 37215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
36353adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
37 unss12 3672 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
39 inss1 3714 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
417, 8, 9, 10dochss 37214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
421, 28, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
437, 8, 9, 10dochssv 37204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  V
)
44433adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  C_  V )
45 inss2 3715 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
4645a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  Y
) )
477, 8, 9, 10dochss 37214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  Y
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
481, 44, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
4942, 48unssd 3676 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
5038, 49sstrd 3509 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
517, 8, 9, 10dochss 37214 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V  /\  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
521, 32, 50, 51syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y ) ) )
5326, 52eqsstr3d 3534 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
5417, 53eqssd 3516 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ran crn 5009   ` cfv 5594   Basecbs 14644   HLchlt 35197   LHypclh 35830   DVecHcdvh 36927   DIsoHcdih 37077   ocHcoch 37196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34806
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34823  df-oposet 35023  df-ol 35025  df-oml 35026  df-covers 35113  df-ats 35114  df-atl 35145  df-cvlat 35169  df-hlat 35198  df-llines 35344  df-lplanes 35345  df-lvols 35346  df-lines 35347  df-psubsp 35349  df-pmap 35350  df-padd 35642  df-lhyp 35834  df-laut 35835  df-ldil 35950  df-ltrn 35951  df-trl 36006  df-tendo 36603  df-edring 36605  df-disoa 36878  df-dvech 36928  df-dib 36988  df-dic 37022  df-dih 37078  df-doch 37197
This theorem is referenced by:  djhval2  37248  dochdmm1  37259  lclkrlem2c  37358  lclkrlem2v  37377  lcfrlem18  37409
  Copyright terms: Public domain W3C validator