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Theorem dochdmj1 35035
Description: De Morgan-like law for subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochdmj1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dochdmj1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dochdmj1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dochdmj1.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dochdmj1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem dochdmj1
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  V
)
3 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  V
)
42, 3unssd 3532 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  V
)
5 ssun1 3519 . . . . 5  |-  X  C_  ( X  u.  Y
)
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  ( X  u.  Y )
)
7 dochdmj1.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dochdmj1.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 dochdmj1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
10 dochdmj1.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
117, 8, 9, 10dochss 35010 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  X  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
121, 4, 6, 11syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  X ) )
13 ssun2 3520 . . . . 5  |-  Y  C_  ( X  u.  Y
)
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  ( X  u.  Y )
)
157, 8, 9, 10dochss 35010 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  u.  Y )  C_  V  /\  Y  C_  ( X  u.  Y ) )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
161, 4, 14, 15syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  (  ._|_  `  Y ) )
1712, 16ssind 3574 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  C_  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
18 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
197, 18, 8, 9, 10dochcl 34998 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
20193adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
217, 18, 8, 9, 10dochcl 34998 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
22213adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
237, 18dihmeetcl 34990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  /\  (  ._|_  `  Y
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) ) )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
241, 20, 22, 23syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
257, 18, 10dochoc 35012 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
261, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )
277, 8, 9, 10dochssv 35000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  V
)
28273adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  V )
29 ssinss1 3578 . . . . . 6  |-  ( ( 
._|_  `  X )  C_  V  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )
317, 8, 9, 10dochssv 35000 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  V )  -> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  V
)
321, 30, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V )
337, 8, 9, 10dochocss 35011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
34333adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
357, 8, 9, 10dochocss 35011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
36353adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )
37 unss12 3528 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  Y  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
39 inss1 3570 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
417, 8, 9, 10dochss 35010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  X )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
421, 28, 40, 41syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
437, 8, 9, 10dochssv 35000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  V
)
44433adant2 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  Y
)  C_  V )
45 inss2 3571 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
4645a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  Y
) )
477, 8, 9, 10dochss 35010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  Y
)  C_  V  /\  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  Y )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
481, 44, 46, 47syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
4942, 48unssd 3532 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  u.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
5038, 49sstrd 3366 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
517, 8, 9, 10dochss 35010 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  V  /\  ( X  u.  Y )  C_  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
521, 32, 50, 51syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y ) ) )
5326, 52eqsstr3d 3391 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
) )
5417, 53eqssd 3373 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V  /\  Y  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( X  u.  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ran crn 4841   ` cfv 5418   Basecbs 14174   HLchlt 32995   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   DIsoHcdih 34873   ocHcoch 34992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-lsatoms 32621  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874  df-doch 34993
This theorem is referenced by:  djhval2  35044  dochdmm1  35055  lclkrlem2c  35154  lclkrlem2v  35173  lcfrlem18  35205
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