Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  doch2val2 Structured version   Unicode version

Theorem doch2val2 36036
Description: Double orthocomplement for  DVecH vector space. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
doch2val2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
doch2val2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
doch2val2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
doch2val2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
doch2val2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
doch2val2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
doch2val2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
Assertion
Ref Expression
doch2val2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  = 
|^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )
Distinct variable groups:    z, H    z, I    z, K    z, V    z, W    z, X
Allowed substitution hints:    ph( z)    U( z)   
._|_ ( z)

Proof of Theorem doch2val2
StepHypRef Expression
1 doch2val2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 doch2val2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
3 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
4 doch2val2.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 doch2val2.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 doch2val2.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 doch2val2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 doch2val2.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8dochval2 36024 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  V
)  ->  (  ._|_  `  X )  =  ( I `  ( ( oc `  K ) `
 ( `' I `  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z } ) ) ) )
101, 2, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  =  ( I `  ( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )
1110fveq2d 5861 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  ( I `
 ( ( oc
`  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) ) )
121simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
13 hlop 34034 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  OP )
15 ssrab2 3578 . . . . . . 7  |-  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  C_ 
ran  I
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  C_  ran  I )
174, 5, 6, 7dih1rn 35959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  e.  ran  I
)
181, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  ran  I
)
19 sseq2 3519 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  V  ->  ( X  C_  z  <->  X  C_  V
) )
2019elrab 3254 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  <->  ( V  e.  ran  I  /\  X  C_  V ) )
2118, 2, 20sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)
22 ne0i 3784 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  ->  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  =/=  (/) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  =/=  (/) )
244, 5dihintcl 36016 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  C_ 
ran  I  /\  {
z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  =/=  (/) ) )  ->  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }  e.  ran  I )
251, 16, 23, 24syl12anc 1221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  e.  ran  I )
26 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2726, 4, 5dihcnvcl 35943 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)  e.  ( Base `  K ) )
281, 25, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )  e.  (
Base `  K )
)
2926, 3opoccl 33866 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  e.  (
Base `  K )
)
3014, 28, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  e.  (
Base `  K )
)
3126, 3, 4, 5, 8dochvalr2 36034 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( oc
`  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  (  ._|_  `  ( I `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )  =  ( I `  ( ( oc `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) ) )
321, 30, 31syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( I `
 ( ( oc
`  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )  =  ( I `  ( ( oc `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) ) )
3326, 3opococ 33867 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) )  =  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } ) )
3414, 28, 33syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) )  =  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } ) )
3534fveq2d 5861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  (
( oc `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )  =  ( I `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) )
364, 5dihcnvid2 35945 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  |^| { z  e. 
ran  I  |  X  C_  z }  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  =  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )
371, 25, 36syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) )  =  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )
3835, 37eqtrd 2501 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  (
( oc `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( `' I `  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
) ) ) )  =  |^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z }
)
3911, 32, 383eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  = 
|^| { z  e.  ran  I  |  X  C_  z } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   {crab 2811    C_ wss 3469   (/)c0 3778   |^|cint 4275   `'ccnv 4991   ran crn 4993   ` cfv 5579   Basecbs 14479   occoc 14552   OPcops 33844   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750   DIsoHcdih 35900   ocHcoch 36019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020
This theorem is referenced by:  dochspss  36050
  Copyright terms: Public domain W3C validator