Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  doca3N Structured version   Unicode version

Theorem doca3N 34777
Description: Double orthocomplement of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
doca2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
doca2.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
doca2.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
doca3N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X )

Proof of Theorem doca3N
StepHypRef Expression
1 doca2.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 doca2.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
31, 2diacnvclN 34701 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  dom  I )
4 doca2.n . . . 4  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
51, 2, 4doca2N 34776 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  X )  e.  dom  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
63, 5syldan 470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  ( I `  ( `' I `  X ) ) )
71, 2diaf11N 34699 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> ran  I )
8 f1ocnvfv2 5989 . . . . 5  |-  ( ( I : dom  I -1-1-onto-> ran  I  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
97, 8sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
109fveq2d 5700 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  ( I `  ( `' I `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
1110fveq2d 5700 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
I `  ( `' I `  X )
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
126, 11, 93eqtr3d 2483 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423   HLchlt 33000   LHypclh 33633   DIsoAcdia 34678   ocAcocaN 34769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-riotaBAD 32609
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-undef 6797  df-map 7221  df-poset 15121  df-plt 15133  df-lub 15149  df-glb 15150  df-join 15151  df-meet 15152  df-p0 15214  df-p1 15215  df-lat 15221  df-clat 15283  df-oposet 32826  df-cmtN 32827  df-ol 32828  df-oml 32829  df-covers 32916  df-ats 32917  df-atl 32948  df-cvlat 32972  df-hlat 33001  df-llines 33147  df-lplanes 33148  df-lvols 33149  df-lines 33150  df-psubsp 33152  df-pmap 33153  df-padd 33445  df-lhyp 33637  df-laut 33638  df-ldil 33753  df-ltrn 33754  df-trl 33808  df-disoa 34679  df-docaN 34770
This theorem is referenced by:  diarnN  34779
  Copyright terms: Public domain W3C validator