Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnnumch1 Structured version   Unicode version

Theorem dnnumch1 35598
 Description: Define an enumeration of a set from a choice function; second part, it restricts to a bijection. EDITORIAL: overlaps dfac8a 8459 (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dnnumch.f recs
dnnumch.a
dnnumch.g
Assertion
Ref Expression
dnnumch1
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dnnumch1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dnnumch.a . 2
2 recsval 7130 . . . . . . 7 recs recs
3 dnnumch.f . . . . . . . 8 recs
43fveq1i 5882 . . . . . . 7 recs
53tfr1 7123 . . . . . . . . . . 11
6 fnfun 5691 . . . . . . . . . . 11
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
8 vex 3090 . . . . . . . . . 10
9 resfunexg 6145 . . . . . . . . . 10
107, 8, 9mp2an 676 . . . . . . . . 9
11 rneq 5080 . . . . . . . . . . . . 13
12 df-ima 4867 . . . . . . . . . . . . 13
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12
1413difeq2d 3589 . . . . . . . . . . 11
1514fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10
16 rneq 5080 . . . . . . . . . . . . 13
1716difeq2d 3589 . . . . . . . . . . . 12
1817fveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11
1918cbvmptv 4518 . . . . . . . . . 10
20 fvex 5891 . . . . . . . . . 10
2115, 19, 20fvmpt 5964 . . . . . . . . 9
2210, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8
233reseq1i 5121 . . . . . . . . 9 recs
2423fveq2i 5884 . . . . . . . 8 recs
2522, 24eqtr3i 2460 . . . . . . 7 recs
262, 4, 253eqtr4g 2495 . . . . . 6
2726ad2antlr 731 . . . . 5
28 difss 3598 . . . . . . . . 9
29 elpw2g 4588 . . . . . . . . . 10
301, 29syl 17 . . . . . . . . 9
3128, 30mpbiri 236 . . . . . . . 8
32 dnnumch.g . . . . . . . 8
33 neeq1 2712 . . . . . . . . . 10
34 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11
35 id 23 . . . . . . . . . . 11
3634, 35eleq12d 2511 . . . . . . . . . 10
3733, 36imbi12d 321 . . . . . . . . 9
3837rspcva 3186 . . . . . . . 8
3931, 32, 38syl2anc 665 . . . . . . 7
4039adantr 466 . . . . . 6
4140imp 430 . . . . 5
4227, 41eqeltrd 2517 . . . 4
4342ex 435 . . 3
4443ralrimiva 2846 . 2
455tz7.49c 7171 . 2
461, 44, 45syl2anc 665 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783  cvv 3087   cdif 3439   wss 3442  c0 3767  cpw 3985   cmpt 4484   crn 4855   cres 4856  cima 4857  con0 5442   wfun 5595   wfn 5596  wf1o 5600  cfv 5601  recscrecs 7097 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-wrecs 7036  df-recs 7098 This theorem is referenced by:  dnnumch2  35599
 Copyright terms: Public domain W3C validator