Theorem dmxpOLD 4178

Description: The domain of a cross product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
dmxpOLD	|- (B =/= (/) -> dom ( A X. B) = A)

Proof of Theorem dmxpOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 2884	. . . . 5 |- (B =/= (/) <-> E.y y e. B)
2	1	biimpi 168	. . . 4 |- (B =/= (/) -> E.y y e. B)
3	2	a1d 15	. . 3 |- (B =/= (/) -> (x e. A -> E.y y e. B))
4	3	r19.21aiv 2175	. 2 |- (B =/= (/) -> A.x e. A E.y y e. B)
5		dmopab3 4169	. . 3 |- (A.x e. A E.y y e. B <-> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)} = A)
6		df-xp 4000	. . . . 5 |- (A X. B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
7	6	dmeqi 4158	. . . 4 |- dom ( A X. B) = dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
8	7	eqeq1i 1891	. . 3 |- (dom ( A X. B) = A <-> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)} = A)
9	5, 8	bitr4i 193	. 2 |- (A.x e. A E.y y e. B <-> dom ( A X. B) = A)
10	4, 9	sylib 215	1 |- (B =/= (/) -> dom ( A X. B) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  (/)c0 2875  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-dm 4004

Copyright terms: Public domain