Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmvlsiga Structured version   Unicode version

Theorem dmvlsiga 27880
Description: Lebesgue-measurable subsets of  RR form a sigma-algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmvlsiga  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )

Proof of Theorem dmvlsiga
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssb 4412 . . 3  |-  ( dom 
vol  C_  ~P RR  <->  A. x  e.  dom  vol x  C_  RR )
2 mblss 21769 . . 3  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
31, 2mprgbir 2828 . 2  |-  dom  vol  C_ 
~P RR
4 rembl 21778 . . 3  |-  RR  e.  dom  vol
5 cmmbl 21772 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  x )  e.  dom  vol )
65rgen 2824 . . 3  |-  A. x  e.  dom  vol ( RR 
\  x )  e. 
dom  vol
7 nnenom 12059 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
87ensymi 7566 . . . . . . . 8  |-  om  ~~  NN
9 domentr 7575 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
108, 9mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  ->  x  ~<_  NN )
11 elpwi 4019 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  x  C_  dom  vol )
12 dfss3 3494 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  dom  vol  <->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
1311, 12sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
14 iunmbl2 21794 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<_  NN  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
1510, 13, 14syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
1615ex 434 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( x  ~<_  om  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
)
17 uniiun 4378 . . . . . 6  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
1817eleq1i 2544 . . . . 5  |-  ( U. x  e.  dom  vol  <->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
1916, 18syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  dom  vol ) )
2019rgen 2824 . . 3  |-  A. x  e.  ~P  dom  vol (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  dom  vol )
214, 6, 203pm3.2i 1174 . 2  |-  ( RR  e.  dom  vol  /\  A. x  e.  dom  vol ( RR  \  x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  vol ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  dom  vol ) )
22 reex 9584 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
2322pwex 4630 . . . 4  |-  ~P RR  e.  _V
2423, 3ssexi 4592 . . 3  |-  dom  vol  e.  _V
25 issiga 27862 . . 3  |-  ( dom 
vol  e.  _V  ->  ( dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )  <->  ( dom  vol  C_  ~P RR  /\  ( RR  e.  dom  vol  /\  A. x  e.  dom  vol ( RR  \  x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  vol ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  dom  vol ) ) ) ) )
2624, 25ax-mp 5 . 2  |-  ( dom 
vol  e.  (sigAlgebra `  RR ) 
<->  ( dom  vol  C_  ~P RR  /\  ( RR  e.  dom  vol  /\  A. x  e.  dom  vol ( RR 
\  x )  e. 
dom  vol  /\  A. x  e.  ~P  dom  vol (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  dom  vol ) ) ) )
273, 21, 26mpbir2an 918 1  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588   omcom 6685    ~~ cen 7514    ~<_ cdom 7515   RRcr 9492   NNcn 10537   volcvol 21702  sigAlgebracsiga 27858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11320  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-xmet 18223  df-met 18224  df-ovol 21703  df-vol 21704  df-siga 27859
This theorem is referenced by:  volmeas  27954  mbfmvolf  27988  elmbfmvol2  27989
  Copyright terms: Public domain W3C validator