Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmvlsiga Structured version   Unicode version

Theorem dmvlsiga 28831
Description: Lebesgue-measurable subsets of  RR form a sigma-algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmvlsiga  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )

Proof of Theorem dmvlsiga
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssb 4383 . . 3  |-  ( dom 
vol  C_  ~P RR  <->  A. x  e.  dom  vol x  C_  RR )
2 mblss 22392 . . 3  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
31, 2mprgbir 2787 . 2  |-  dom  vol  C_ 
~P RR
4 rembl 22401 . . 3  |-  RR  e.  dom  vol
5 cmmbl 22395 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  x )  e.  dom  vol )
65rgen 2783 . . 3  |-  A. x  e.  dom  vol ( RR 
\  x )  e. 
dom  vol
7 nnenom 12179 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
87ensymi 7617 . . . . . . . 8  |-  om  ~~  NN
9 domentr 7626 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
108, 9mpan2 675 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  ->  x  ~<_  NN )
11 elpwi 3985 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  x  C_  dom  vol )
12 dfss3 3451 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  dom  vol  <->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
1311, 12sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
14 iunmbl2 22417 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<_  NN  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
1510, 13, 14syl2anr 480 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  x  ~<_  om )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
1615ex 435 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( x  ~<_  om  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
)
17 uniiun 4346 . . . . . 6  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
1817eleq1i 2497 . . . . 5  |-  ( U. x  e.  dom  vol  <->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
1916, 18syl6ibr 230 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  dom  vol ) )
2019rgen 2783 . . 3  |-  A. x  e.  ~P  dom  vol (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  dom  vol )
214, 6, 203pm3.2i 1183 . 2  |-  ( RR  e.  dom  vol  /\  A. x  e.  dom  vol ( RR  \  x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  vol ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  dom  vol ) )
22 reex 9619 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
2322pwex 4599 . . . 4  |-  ~P RR  e.  _V
2423, 3ssexi 4561 . . 3  |-  dom  vol  e.  _V
25 issiga 28813 . . 3  |-  ( dom 
vol  e.  _V  ->  ( dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )  <->  ( dom  vol  C_  ~P RR  /\  ( RR  e.  dom  vol  /\  A. x  e.  dom  vol ( RR  \  x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ~P  dom  vol ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  dom  vol ) ) ) ) )
2624, 25ax-mp 5 . 2  |-  ( dom 
vol  e.  (sigAlgebra `  RR ) 
<->  ( dom  vol  C_  ~P RR  /\  ( RR  e.  dom  vol  /\  A. x  e.  dom  vol ( RR 
\  x )  e. 
dom  vol  /\  A. x  e.  ~P  dom  vol (
x  ~<_  om  ->  U. x  e.  dom  vol ) ) ) )
273, 21, 26mpbir2an 928 1  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   U.cuni 4213   U_ciun 4293   class class class wbr 4417   dom cdm 4845   ` cfv 5592   omcom 6697    ~~ cen 7565    ~<_ cdom 7566   RRcr 9527   NNcn 10598   volcvol 22322  sigAlgebracsiga 28809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xadd 11399  df-ioo 11628  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-xmet 18904  df-met 18905  df-ovol 22323  df-vol 22325  df-siga 28810
This theorem is referenced by:  volmeas  28934  mbfmvolf  28968  elmbfmvol2  28969
  Copyright terms: Public domain W3C validator