Theorem dmtpos 6885

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4941	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3411	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 178	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4920	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6881	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 266	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 5287	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 536	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 3037	. . . . . 6 |- z e. _V
10		brtpos 6882	. . . . . 6 |- ( z e. _V -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
11	9, 10	mp1i 12	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
12	11	exbidv 1722	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
13		opex 4626	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
14	13	eldm 5113	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
15		vex 3037	. . . . . 6 |- x e. _V
16		vex 3037	. . . . . 6 |- y e. _V
17	15, 16	opelcnv 5097	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
18		opex 4626	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
19	18	eldm 5113	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
20	17, 19	bitri 249	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	12, 14, 20	3bitr4g 288	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
22	21	eqrelrdv2 5015	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
23	8, 22	mpancom 667	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   E.wex 1620   e. wcel 1826   _Vcvv 3034   C_ wss 3389   (/)c0 3711   <.cop 3950   class class class wbr 4367   X. cxp 4911   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   Rel wrel 4918  tpos ctpos 6872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-fv 5504  df-tpos 6873

This theorem is referenced by:  rntpos  6886  dftpos2  6890  dftpos3  6891  tposfn2  6895