Theorem dmtpos 6752

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4862	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3345	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 178	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4842	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6748	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 266	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 5201	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 538	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 2970	. . . . . 6 |- z e. _V
10		brtpos 6749	. . . . . 6 |- ( z e. _V -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
11	9, 10	mp1i 12	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
12	11	exbidv 1680	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
13		opex 4551	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
14	13	eldm 5032	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
15		vex 2970	. . . . . 6 |- x e. _V
16		vex 2970	. . . . . 6 |- y e. _V
17	15, 16	opelcnv 5016	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
18		opex 4551	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
19	18	eldm 5032	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
20	17, 19	bitri 249	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	12, 14, 20	3bitr4g 288	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
22	21	eqrelrdv2 4934	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
23	8, 22	mpancom 669	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   (/)c0 3632   <.cop 3878   class class class wbr 4287   X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   Rel wrel 4840  tpos ctpos 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421  df-tpos 6740

This theorem is referenced by:  rntpos  6753  dftpos2  6757  dftpos3  6758  tposfn2  6762