Theorem dmtpos 6967

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 5026	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3498	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 178	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 5006	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6963	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 266	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 5373	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 538	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 3116	. . . . . 6 |- z e. _V
10		brtpos 6964	. . . . . 6 |- ( z e. _V -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
11	9, 10	mp1i 12	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
12	11	exbidv 1690	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
13		opex 4711	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
14	13	eldm 5199	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
15		vex 3116	. . . . . 6 |- x e. _V
16		vex 3116	. . . . . 6 |- y e. _V
17	15, 16	opelcnv 5183	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
18		opex 4711	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
19	18	eldm 5199	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
20	17, 19	bitri 249	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	12, 14, 20	3bitr4g 288	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
22	21	eqrelrdv2 5101	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
23	8, 22	mpancom 669	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Rel wrel 5004  tpos ctpos 6954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-fv 5595  df-tpos 6955

This theorem is referenced by:  rntpos  6968  dftpos2  6972  dftpos3  6973  tposfn2  6977