Theorem dmtpos 6982

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4861	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3425	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 182	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4840	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6978	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 270	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 5206	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 541	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 3047	. . . . . 6 |- z e. _V
10		brtpos 6979	. . . . . 6 |- ( z e. _V -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
11	9, 10	mp1i 13	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
12	11	exbidv 1767	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
13		opex 4663	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
14	13	eldm 5031	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
15		vex 3047	. . . . . 6 |- x e. _V
16		vex 3047	. . . . . 6 |- y e. _V
17	15, 16	opelcnv 5015	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
18		opex 4663	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
19	18	eldm 5031	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
20	17, 19	bitri 253	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	12, 14, 20	3bitr4g 292	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
22	21	eqrelrdv2 4933	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
23	8, 22	mpancom 674	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   (/)c0 3730   <.cop 3973   class class class wbr 4401   X. cxp 4831   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   Rel wrel 4838  tpos ctpos 6969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-fv 5589  df-tpos 6970

This theorem is referenced by:  rntpos  6983  dftpos2  6987  dftpos3  6988  tposfn2  6992