MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmtpos Structured version   Unicode version

Theorem dmtpos 6967
Description: The domain of tpos  F when  dom  F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmtpos  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )

Proof of Theorem dmtpos
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelxp 5026 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 ssel 3498 . . . . 5  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( (/) 
e.  dom  F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
31, 2mtoi 178 . . . 4  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  -.  (/) 
e.  dom  F )
4 df-rel 5006 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  <->  dom  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
5 reldmtpos 6963 . . . 4  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )
63, 4, 53imtr4i 266 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
7 relcnv 5373 . . 3  |-  Rel  `' dom  F
86, 7jctir 538 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F ) )
9 vex 3116 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
10 brtpos 6964 . . . . . 6  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
119, 10mp1i 12 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
1211exbidv 1690 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( E. z <. x ,  y
>.tpos  F z  <->  E. z <. y ,  x >. F z ) )
13 opex 4711 . . . . 5  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1413eldm 5199 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  E. z <. x ,  y >.tpos  F z )
15 vex 3116 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
16 vex 3116 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1715, 16opelcnv 5183 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  <. y ,  x >.  e.  dom  F )
18 opex 4711 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
1918eldm 5199 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2017, 19bitri 249 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2112, 14, 203bitr4g 288 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' dom  F
) )
2221eqrelrdv2 5101 . 2  |-  ( ( ( Rel  dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F )  /\  Rel  dom  F )  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
238, 22mpancom 669 1  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Rel wrel 5004  tpos ctpos 6954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-fv 5595  df-tpos 6955
This theorem is referenced by:  rntpos  6968  dftpos2  6972  dftpos3  6973  tposfn2  6977
  Copyright terms: Public domain W3C validator