MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmtpos Structured version   Unicode version

Theorem dmtpos 6885
Description: The domain of tpos  F when  dom  F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmtpos  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )

Proof of Theorem dmtpos
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4941 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 ssel 3411 . . . . 5  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( (/) 
e.  dom  F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
31, 2mtoi 178 . . . 4  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  -.  (/) 
e.  dom  F )
4 df-rel 4920 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  <->  dom  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
5 reldmtpos 6881 . . . 4  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )
63, 4, 53imtr4i 266 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
7 relcnv 5287 . . 3  |-  Rel  `' dom  F
86, 7jctir 536 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F ) )
9 vex 3037 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
10 brtpos 6882 . . . . . 6  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
119, 10mp1i 12 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
1211exbidv 1722 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( E. z <. x ,  y
>.tpos  F z  <->  E. z <. y ,  x >. F z ) )
13 opex 4626 . . . . 5  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1413eldm 5113 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  E. z <. x ,  y >.tpos  F z )
15 vex 3037 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
16 vex 3037 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1715, 16opelcnv 5097 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  <. y ,  x >.  e.  dom  F )
18 opex 4626 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
1918eldm 5113 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2017, 19bitri 249 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2112, 14, 203bitr4g 288 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' dom  F
) )
2221eqrelrdv2 5015 . 2  |-  ( ( ( Rel  dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F )  /\  Rel  dom  F )  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
238, 22mpancom 667 1  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   (/)c0 3711   <.cop 3950   class class class wbr 4367    X. cxp 4911   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   Rel wrel 4918  tpos ctpos 6872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-fv 5504  df-tpos 6873
This theorem is referenced by:  rntpos  6886  dftpos2  6890  dftpos3  6891  tposfn2  6895
  Copyright terms: Public domain W3C validator