Theorem dmtpos 6870

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4978	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3461	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 178	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4958	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6866	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 266	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 5317	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 538	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 3081	. . . . . 6 |- z e. _V
10		brtpos 6867	. . . . . 6 |- ( z e. _V -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
11	9, 10	mp1i 12	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
12	11	exbidv 1681	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
13		opex 4667	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
14	13	eldm 5148	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
15		vex 3081	. . . . . 6 |- x e. _V
16		vex 3081	. . . . . 6 |- y e. _V
17	15, 16	opelcnv 5132	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
18		opex 4667	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
19	18	eldm 5148	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
20	17, 19	bitri 249	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	12, 14, 20	3bitr4g 288	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
22	21	eqrelrdv2 5050	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
23	8, 22	mpancom 669	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   (/)c0 3748   <.cop 3994   class class class wbr 4403   X. cxp 4949   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   Rel wrel 4956  tpos ctpos 6857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-fv 5537  df-tpos 6858

This theorem is referenced by:  rntpos  6871  dftpos2  6875  dftpos3  6876  tposfn2  6880