MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmtpos Structured version   Unicode version

Theorem dmtpos 6870
Description: The domain of tpos  F when  dom  F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmtpos  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )

Proof of Theorem dmtpos
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4978 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 ssel 3461 . . . . 5  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( (/) 
e.  dom  F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
31, 2mtoi 178 . . . 4  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  -.  (/) 
e.  dom  F )
4 df-rel 4958 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  <->  dom  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
5 reldmtpos 6866 . . . 4  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )
63, 4, 53imtr4i 266 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
7 relcnv 5317 . . 3  |-  Rel  `' dom  F
86, 7jctir 538 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F ) )
9 vex 3081 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
10 brtpos 6867 . . . . . 6  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
119, 10mp1i 12 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
1211exbidv 1681 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( E. z <. x ,  y
>.tpos  F z  <->  E. z <. y ,  x >. F z ) )
13 opex 4667 . . . . 5  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1413eldm 5148 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  E. z <. x ,  y >.tpos  F z )
15 vex 3081 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
16 vex 3081 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1715, 16opelcnv 5132 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  <. y ,  x >.  e.  dom  F )
18 opex 4667 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
1918eldm 5148 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2017, 19bitri 249 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2112, 14, 203bitr4g 288 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' dom  F
) )
2221eqrelrdv2 5050 . 2  |-  ( ( ( Rel  dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F )  /\  Rel  dom  F )  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
238, 22mpancom 669 1  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   <.cop 3994   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   Rel wrel 4956  tpos ctpos 6857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-fv 5537  df-tpos 6858
This theorem is referenced by:  rntpos  6871  dftpos2  6875  dftpos3  6876  tposfn2  6880
  Copyright terms: Public domain W3C validator