MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmtpop Structured version   Unicode version

Theorem dmtpop 5470
Description: The domain of an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dmsnop.1  |-  B  e. 
_V
dmprop.1  |-  D  e. 
_V
dmtpop.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dmtpop  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  { A ,  C ,  E }

Proof of Theorem dmtpop
StepHypRef Expression
1 df-tp 4015 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. ,  <. E ,  F >. }  =  ( { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )
21dmeqi 5190 . . 3  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  dom  ( {
<. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )
3 dmun 5195 . . 3  |-  dom  ( { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  { <. E ,  F >. } )  =  ( dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  u.  dom  { <. E ,  F >. } )
4 dmsnop.1 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
5 dmprop.1 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
64, 5dmprop 5469 . . . 4  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
7 dmtpop.1 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
87dmsnop 5468 . . . 4  |-  dom  { <. E ,  F >. }  =  { E }
96, 8uneq12i 3638 . . 3  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  u.  dom  { <. E ,  F >. } )  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
102, 3, 93eqtri 2474 . 2  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
11 df-tp 4015 . 2  |-  { A ,  C ,  E }  =  ( { A ,  C }  u.  { E } )
1210, 11eqtr4i 2473 1  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. , 
<. E ,  F >. }  =  { A ,  C ,  E }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    u. cun 3456   {csn 4010   {cpr 4012   {ctp 4014   <.cop 4016   dom cdm 4985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pr 4672
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-rab 2800  df-v 3095  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-br 4434  df-dm 4995
This theorem is referenced by:  fntp  5630
  Copyright terms: Public domain W3C validator