MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmsnopg Structured version   Unicode version

Theorem dmsnopg 5313
Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmsnopg  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)

Proof of Theorem dmsnopg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2978 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2 vex 2978 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
31, 2opth1 4568 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  ->  x  =  A )
43exlimiv 1688 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >.  ->  x  =  A )
5 opeq1 4062 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  <. x ,  B >.  =  <. A ,  B >. )
6 opeq2 4063 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  B >. )
76eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. x ,  B >.  = 
<. A ,  B >. ) )
87spcegv 3061 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( <. x ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  ->  E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. ) )
95, 8syl5 32 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  =  A  ->  E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. ) )
104, 9impbid2 204 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. 
<->  x  =  A ) )
111eldm2 5041 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } )
12 opex 4559 . . . . . 6  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1312elsnc 3904 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
1413exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
1511, 14bitri 249 . . 3  |-  ( x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
16 elsn 3894 . . 3  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
1710, 15, 163bitr4g 288 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <-> 
x  e.  { A } ) )
1817eqrdv 2441 1  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {csn 3880   <.cop 3886   dom cdm 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pr 4534
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-rab 2727  df-v 2977  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-br 4296  df-dm 4853
This theorem is referenced by:  dmsnopss  5314  dmpropg  5315  dmsnop  5316  rnsnopg  5321  fnsng  5468  funprg  5470  funtpg  5471  fntpg  5476  suppsnop  6707  funsnfsupp  7647  setsval  14201  eupap1  23600  bnj96  31861  bnj535  31886
  Copyright terms: Public domain W3C validator