MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrnssfld Structured version   Unicode version

Theorem dmrnssfld 5260
Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)
Assertion
Ref Expression
dmrnssfld  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3116 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 5200 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
31prid1 4135 . . . . . 6  |-  x  e. 
{ x ,  y }
4 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
51, 4uniop 4750 . . . . . . . . 9  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
61, 4uniopel 4751 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  U. <. x ,  y >.  e.  U. A )
75, 6syl5eqelr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  e.  U. A )
8 elssuni 4275 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y }  e.  U. A  ->  { x ,  y }  C_  U. U. A
)
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  C_  U.
U. A )
109sseld 3503 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  U. U. A ) )
113, 10mpi 17 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  x  e. 
U. U. A )
1211exlimiv 1698 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  A  ->  x  e.  U. U. A )
132, 12sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  dom  A  ->  x  e.  U. U. A
)
1413ssriv 3508 . 2  |-  dom  A  C_ 
U. U. A
154elrn2 5241 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x <. x ,  y >.  e.  A )
164prid2 4136 . . . . . 6  |-  y  e. 
{ x ,  y }
179sseld 3503 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  U. U. A ) )
1816, 17mpi 17 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  y  e. 
U. U. A )
1918exlimiv 1698 . . . 4  |-  ( E. x <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  e.  U. U. A )
2015, 19sylbi 195 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
y  e.  U. U. A )
2120ssriv 3508 . 2  |-  ran  A  C_ 
U. U. A
2214, 21unssi 3679 1  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   E.wex 1596    e. wcel 1767    u. cun 3474    C_ wss 3476   {cpr 4029   <.cop 4033   U.cuni 4245   dom cdm 4999   ran crn 5000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010
This theorem is referenced by:  relfld  5532  relcoi2  5534  dmexg  6715  rnexg  6716  wundm  9105  wunrn  9106  psdmrn  15693  dirdm  15720  dirge  15723  tailf  29812  filnetlem3  29817
  Copyright terms: Public domain W3C validator