Theorem dmrnssfld 4205

Description: The domain and range of a class are included in its double union.

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- (dom A u. ran A) C_ U.U.A

Proof of Theorem dmrnssfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4154	. . . 4 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
3	1	prid1 3106	. . . . . 6 |- x e. {x, y}
4		uniopel 3556	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. A -> U.<.x, y>. e. U.A)
5		uniop 3555	. . . . . . . . 9 |- U.<.x, y>. = {x, y}
6	4, 5	syl5eqelr 1976	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. A -> {x, y} e. U.A)
7		elssuni 3206	. . . . . . . 8 |- ({x, y} e. U.A -> {x, y} C_ U.U.A)
8	6, 7	syl 12	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. A -> {x, y} C_ U.U.A)
9	8	sseld 2619	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> (x e. {x, y} -> x e. U.U.A))
10	3, 9	mpi 55	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> x e. U.U.A)
11	10	19.23aiv 1674	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. A -> x e. U.U.A)
12	2, 11	sylbi 216	. . 3 |- (x e. dom A -> x e. U.U.A)
13	12	ssriv 2621	. 2 |- dom A C_ U.U.A
14		visset 2295	. . . . 5 |- y e. _V
15	14	elrn2 4196	. . . 4 |- (y e. ran A <-> E.x<.x, y>. e. A)
16	14	prid2 3107	. . . . . 6 |- y e. {x, y}
17	8	sseld 2619	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> (y e. {x, y} -> y e. U.U.A))
18	16, 17	mpi 55	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> y e. U.U.A)
19	18	19.23aiv 1674	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. A -> y e. U.U.A)
20	15, 19	sylbi 216	. . 3 |- (y e. ran A -> y e. U.U.A)
21	20	ssriv 2621	. 2 |- ran A C_ U.U.A
22	13, 21	unssi 2781	1 |- (dom A u. ran A) C_ U.U.A

Syntax hints:   e. wcel 1300  E.wex 1326   u. cun 2591   C_ wss 2593  {cpr 3045  <.cop 3046  U.cuni 3177  dom cdm 3986  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  dmexg 4206  rnexg 4207  asymrefOLD 4309  asymref2OLD 4311  relfld 4419  psdmrn 9991  dirdm 10354  ducidu 14358  cmprelid1 14445  tailf 15633  istail 15634  tailmap 15636  filnetlem1 15640

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain