Theorem dmrngcmp 15098

Description: Domain and range of the domain of the composition.

Hypotheses

Ref	Expression
dmrngcmp.1	|- R = (o` T)
dmrngcmp.2	|- M = dom (dom` T)

Assertion

Ref	Expression
dmrngcmp	|- (T e. Ded -> (dom dom R = M /\ ran dom R = M))

Proof of Theorem dmrngcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedalg 15090	. . . . 5 |- (T e. Ded -> T e. Alg )
2		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
3		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (dom` T) = (dom` T)
4		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (o` T) = (o` T)
5	2, 3, 4	cmppfa 15079	. . . . . 6 |- (T e. Alg -> (Fun (o` T) /\ dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ ran (o` T) C_ dom (dom` T)))
6		dmss 4156	. . . . . . . . 9 |- (dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) -> dom dom (o` T) C_ dom (dom (dom` T) X. dom (dom` T)))
7		dmxpss 4343	. . . . . . . . . 10 |- dom (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) C_ dom (dom` T)
8		sstr 2625	. . . . . . . . . . 11 |- ((dom dom (o` T) C_ dom (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ dom (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) C_ dom (dom` T)) -> dom dom (o` T) C_ dom (dom` T))
9		dmrngcmp.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R = (o` T)
10	9	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . 13 |- (o` T) = R
11	10	dmeqi 4158	. . . . . . . . . . . 12 |- dom (o` T) = dom R
12	11	dmeqi 4158	. . . . . . . . . . 11 |- dom dom (o` T) = dom dom R
13		dmrngcmp.2	. . . . . . . . . . . 12 |- M = dom (dom` T)
14	13	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . 11 |- dom (dom` T) = M
15	8, 12, 14	3sstr3g 2657	. . . . . . . . . 10 |- ((dom dom (o` T) C_ dom (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ dom (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) C_ dom (dom` T)) -> dom dom R C_ M)
16	7, 15	mpan2 760	. . . . . . . . 9 |- (dom dom (o` T) C_ dom (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) -> dom dom R C_ M)
17	6, 16	syl 12	. . . . . . . 8 |- (dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) -> dom dom R C_ M)
18	17	3ad2ant2 898	. . . . . . 7 |- ((Fun (o` T) /\ dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ ran (o` T) C_ dom (dom` T)) -> dom dom R C_ M)
19	18	sseld 2619	. . . . . 6 |- ((Fun (o` T) /\ dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ ran (o` T) C_ dom (dom` T)) -> (x e. dom dom R -> x e. M))
20	5, 19	syl 12	. . . . 5 |- (T e. Alg -> (x e. dom dom R -> x e. M))
21	1, 20	syl 12	. . . 4 |- (T e. Ded -> (x e. dom dom R -> x e. M))
22		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . 12 |- (((dom` T):M-->dom (id` T) /\ x e. M) -> ((dom` T)` x) e. dom (id` T))
23		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom (id` T) = dom (id` T)
24		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (id` T) = (id` T)
25	13, 3, 23, 24	doma 15075	. . . . . . . . . . . . 13 |- (T e. Alg -> (dom` T):M-->dom (id` T))
26	1, 25	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (T e. Ded -> (dom` T):M-->dom (id` T))
27	22, 26	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> ((dom` T)` x) e. dom (id` T))
28		eqid 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- (cod` T) = (cod` T)
29	23, 3, 24, 28	idosd 15091	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Ded /\ ((dom` T)` x) e. dom (id` T)) -> (((dom` T)` ((id` T)` ((dom` T)` x))) = ((dom` T)` x) /\ ((cod` T)` ((id` T)` ((dom` T)` x))) = ((dom` T)` x)))
30	27, 29	syldan 516	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> (((dom` T)` ((id` T)` ((dom` T)` x))) = ((dom` T)` x) /\ ((cod` T)` ((id` T)` ((dom` T)` x))) = ((dom` T)` x)))
31	30	simprd 352	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> ((cod` T)` ((id` T)` ((dom` T)` x))) = ((dom` T)` x))
32	31	eqcomd 1889	. . . . . . . 8 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> ((dom` T)` x) = ((cod` T)` ((id` T)` ((dom` T)` x))))
33		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> T e. Ded )
34	22, 25	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Alg /\ x e. M) -> ((dom` T)` x) e. dom (id` T))
35	2, 3, 23, 24	idmoa 15078	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Alg /\ ((dom` T)` x) e. dom (id` T)) -> ((id` T)` ((dom` T)` x)) e. dom (dom` T))
36	34, 35	syldan 516	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Alg /\ x e. M) -> ((id` T)` ((dom` T)` x)) e. dom (dom` T))
37	36, 1	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> ((id` T)` ((dom` T)` x)) e. dom (dom` T))
38	13	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. M <-> x e. dom (dom` T))
39	38	biimpi 168	. . . . . . . . . 10 |- (x e. M -> x e. dom (dom` T))
40	39	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> x e. dom (dom` T))
41	2, 3, 28, 9	cmppfd 15092	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ ((id` T)` ((dom` T)` x)) e. dom (dom` T) /\ x e. dom (dom` T)) -> (<.x, ((id` T)` ((dom` T)` x))>. e. dom R <-> ((dom` T)` x) = ((cod` T)` ((id` T)` ((dom` T)` x)))))
42	33, 37, 40, 41	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> (<.x, ((id` T)` ((dom` T)` x))>. e. dom R <-> ((dom` T)` x) = ((cod` T)` ((id` T)` ((dom` T)` x)))))
43	32, 42	mpbird 213	. . . . . . 7 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> <.x, ((id` T)` ((dom` T)` x))>. e. dom R)
44		fvex 4689	. . . . . . . 8 |- ((id` T)` ((dom` T)` x)) e. _V
45		opeq2 3159	. . . . . . . . 9 |- (a = ((id` T)` ((dom` T)` x)) -> <.x, a>. = <.x, ((id` T)` ((dom` T)` x))>.)
46	45	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (a = ((id` T)` ((dom` T)` x)) -> (<.x, a>. e. dom R <-> <.x, ((id` T)` ((dom` T)` x))>. e. dom R))
47	44, 46	cla4ev 2371	. . . . . . 7 |- (<.x, ((id` T)` ((dom` T)` x))>. e. dom R -> E.a<.x, a>. e. dom R)
48	43, 47	syl 12	. . . . . 6 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> E.a<.x, a>. e. dom R)
49		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
50	49	eldm2 4154	. . . . . 6 |- (x e. dom dom R <-> E.a<.x, a>. e. dom R)
51	48, 50	sylibr 217	. . . . 5 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> x e. dom dom R)
52	51	ex 402	. . . 4 |- (T e. Ded -> (x e. M -> x e. dom dom R))
53	21, 52	impbid 574	. . 3 |- (T e. Ded -> (x e. dom dom R <-> x e. M))
54	53	eqrdv 1882	. 2 |- (T e. Ded -> dom dom R = M)
55		rnss 4189	. . . . . . . . 9 |- (dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) -> ran dom (o` T) C_ ran (dom (dom` T) X. dom (dom` T)))
56		rnxpss 4344	. . . . . . . . . 10 |- ran (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) C_ dom (dom` T)
57		sstr 2625	. . . . . . . . . . 11 |- ((ran dom (o` T) C_ ran (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ ran (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) C_ dom (dom` T)) -> ran dom (o` T) C_ dom (dom` T))
58	11	rneqi 4187	. . . . . . . . . . 11 |- ran dom (o` T) = ran dom R
59	57, 58, 14	3sstr3g 2657	. . . . . . . . . 10 |- ((ran dom (o` T) C_ ran (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ ran (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) C_ dom (dom` T)) -> ran dom R C_ M)
60	56, 59	mpan2 760	. . . . . . . . 9 |- (ran dom (o` T) C_ ran (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) -> ran dom R C_ M)
61	55, 60	syl 12	. . . . . . . 8 |- (dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) -> ran dom R C_ M)
62	61	3ad2ant2 898	. . . . . . 7 |- ((Fun (o` T) /\ dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ ran (o` T) C_ dom (dom` T)) -> ran dom R C_ M)
63	62	sseld 2619	. . . . . 6 |- ((Fun (o` T) /\ dom (o` T) C_ (dom (dom` T) X. dom (dom` T)) /\ ran (o` T) C_ dom (dom` T)) -> (x e. ran dom R -> x e. M))
64	5, 63	syl 12	. . . . 5 |- (T e. Alg -> (x e. ran dom R -> x e. M))
65	1, 64	syl 12	. . . 4 |- (T e. Ded -> (x e. ran dom R -> x e. M))
66		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . 10 |- (((cod` T):M-->dom (id` T) /\ x e. M) -> ((cod` T)` x) e. dom (id` T))
67	13, 3, 23, 24, 28	coda 15076	. . . . . . . . . . 11 |- (T e. Alg -> (cod` T):M-->dom (id` T))
68	1, 67	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (T e. Ded -> (cod` T):M-->dom (id` T))
69	66, 68	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> ((cod` T)` x) e. dom (id` T))
70	23, 3, 24, 28	idosd 15091	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Ded /\ ((cod` T)` x) e. dom (id` T)) -> (((dom` T)` ((id` T)` ((cod` T)` x))) = ((cod` T)` x) /\ ((cod` T)` ((id` T)` ((cod` T)` x))) = ((cod` T)` x)))
71	70	simplld 348	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ ((cod` T)` x) e. dom (id` T)) -> ((dom` T)` ((id` T)` ((cod` T)` x))) = ((cod` T)` x))
72	69, 71	syldan 516	. . . . . . . 8 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> ((dom` T)` ((id` T)` ((cod` T)` x))) = ((cod` T)` x))
73	66, 67	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Alg /\ x e. M) -> ((cod` T)` x) e. dom (id` T))
74	2, 3, 23, 24	idmoa 15078	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Alg /\ ((cod` T)` x) e. dom (id` T)) -> ((id` T)` ((cod` T)` x)) e. dom (dom` T))
75	73, 74	syldan 516	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. Alg /\ x e. M) -> ((id` T)` ((cod` T)` x)) e. dom (dom` T))
76	75, 1	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> ((id` T)` ((cod` T)` x)) e. dom (dom` T))
77	2, 3, 28, 9	cmppfd 15092	. . . . . . . . 9 |- ((T e. Ded /\ x e. dom (dom` T) /\ ((id` T)` ((cod` T)` x)) e. dom (dom` T)) -> (<.((id` T)` ((cod` T)` x)), x>. e. dom R <-> ((dom` T)` ((id` T)` ((cod` T)` x))) = ((cod` T)` x)))
78	33, 40, 76, 77	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> (<.((id` T)` ((cod` T)` x)), x>. e. dom R <-> ((dom` T)` ((id` T)` ((cod` T)` x))) = ((cod` T)` x)))
79	72, 78	mpbird 213	. . . . . . 7 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> <.((id` T)` ((cod` T)` x)), x>. e. dom R)
80		fvex 4689	. . . . . . . 8 |- ((id` T)` ((cod` T)` x)) e. _V
81		opeq1 3158	. . . . . . . . 9 |- (a = ((id` T)` ((cod` T)` x)) -> <.a, x>. = <.((id` T)` ((cod` T)` x)), x>.)
82	81	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (a = ((id` T)` ((cod` T)` x)) -> (<.a, x>. e. dom R <-> <.((id` T)` ((cod` T)` x)), x>. e. dom R))
83	80, 82	cla4ev 2371	. . . . . . 7 |- (<.((id` T)` ((cod` T)` x)), x>. e. dom R -> E.a<.a, x>. e. dom R)
84	79, 83	syl 12	. . . . . 6 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> E.a<.a, x>. e. dom R)
85	49	elrn2 4196	. . . . . 6 |- (x e. ran dom R <-> E.a<.a, x>. e. dom R)
86	84, 85	sylibr 217	. . . . 5 |- ((T e. Ded /\ x e. M) -> x e. ran dom R)
87	86	ex 402	. . . 4 |- (T e. Ded -> (x e. M -> x e. ran dom R))
88	65, 87	impbid 574	. . 3 |- (T e. Ded -> (x e. ran dom R <-> x e. M))
89	88	eqrdv 1882	. 2 |- (T e. Ded -> ran dom R = M)
90	54, 89	jca 310	1 |- (T e. Ded -> (dom dom R = M /\ ran dom R = M))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992  -->wf 3994  ` cfv 3998   Alg calg 15058  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061  oco_ 15062   Ded cded 15081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082

Copyright terms: Public domain