Theorem dmressnsn 30166

Description: The domain of a restriction to a singleton is a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmressnsn	|- ( A e. dom F -> dom ( F |` { A } ) = { A } )

Proof of Theorem dmressnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5229	. 2 |- dom ( F |` { A } ) = ( { A } i^i dom F )
2		snssi 4115	. . 3 |- ( A e. dom F -> { A } C_ dom F )
3		df-ss 3440	. . 3 |- ( { A } C_ dom F <-> ( { A } i^i dom F ) = { A } )
4	2, 3	sylib 196	. 2 |- ( A e. dom F -> ( { A } i^i dom F ) = { A } )
5	1, 4	syl5eq 2504	1 |- ( A e. dom F -> dom ( F |` { A } ) = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   i^i cin 3425   C_ wss 3426   {csn 3975   dom cdm 4938   |` cres 4940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pr 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-br 4391  df-opab 4449  df-xp 4944  df-dm 4948  df-res 4950

This theorem is referenced by:  eldmressnsn  30167  funcoressn  30171  funressnfv  30172