Theorem dmressnsn 5105

Description: The domain of a restriction to a singleton is a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmressnsn	|- ( A e. dom F -> dom ( F |` { A } ) = { A } )

Proof of Theorem dmressnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5087	. 2 |- dom ( F |` { A } ) = ( { A } i^i dom F )
2		snssi 4087	. . 3 |- ( A e. dom F -> { A } C_ dom F )
3		df-ss 3393	. . 3 |- ( { A } C_ dom F <-> ( { A } i^i dom F ) = { A } )
4	2, 3	sylib 199	. 2 |- ( A e. dom F -> ( { A } i^i dom F ) = { A } )
5	1, 4	syl5eq 2474	1 |- ( A e. dom F -> dom ( F |` { A } ) = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1437   e. wcel 1872   i^i cin 3378   C_ wss 3379   {csn 3941   dom cdm 4796   |` cres 4798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-br 4367  df-opab 4426  df-xp 4802  df-dm 4806  df-res 4808

This theorem is referenced by:  eldmressnsn  5106  funcoressn  38442  funressnfv  38443