Theorem dmressnsn 5300

Description: The domain of a restriction to a singleton is a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmressnsn	|- ( A e. dom F -> dom ( F |` { A } ) = { A } )

Proof of Theorem dmressnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5282	. 2 |- dom ( F |` { A } ) = ( { A } i^i dom F )
2		snssi 4160	. . 3 |- ( A e. dom F -> { A } C_ dom F )
3		df-ss 3475	. . 3 |- ( { A } C_ dom F <-> ( { A } i^i dom F ) = { A } )
4	2, 3	sylib 196	. 2 |- ( A e. dom F -> ( { A } i^i dom F ) = { A } )
5	1, 4	syl5eq 2507	1 |- ( A e. dom F -> dom ( F |` { A } ) = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 1823   i^i cin 3460   C_ wss 3461   {csn 4016   dom cdm 4988   |` cres 4990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-dm 4998  df-res 5000

This theorem is referenced by:  eldmressnsn  5301  funcoressn  32454  funressnfv  32455