MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmresi Structured version   Unicode version

Theorem dmresi 5148
Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmresi  |-  dom  (  _I  |`  A )  =  A

Proof of Theorem dmresi
StepHypRef Expression
1 ssv 3461 . . 3  |-  A  C_  _V
2 dmi 5037 . . 3  |-  dom  _I  =  _V
31, 2sseqtr4i 3474 . 2  |-  A  C_  dom  _I
4 ssdmres 5114 . 2  |-  ( A 
C_  dom  _I  <->  dom  (  _I  |`  A )  =  A )
53, 4mpbi 208 1  |-  dom  (  _I  |`  A )  =  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405   _Vcvv 3058    C_ wss 3413    _I cid 4732   dom cdm 4822    |` cres 4824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-dm 4832  df-res 4834
This theorem is referenced by:  fnresi  5678  iordsmo  7060  hartogslem1  8000  dfac9  8547  hsmexlem5  8841  relexpdmg  13022  relexpfld  13029  relexpaddg  13033  dirdm  16186  islinds2  19138  lindsind2  19144  f1linds  19150  wilthlem3  23723  ausisusgra  24759  cusgraexilem2  24871  idssxp  27896  filnetlem3  30595  filnetlem4  30596  dfrcl2  35633  brfvrcld2  35651  iunrelexp0  35661  relexpiidm  35663  relexp01min  35672  idhe  35748  residfi  37928  usgresvm1  38053  usgresvm1ALT  38057
  Copyright terms: Public domain W3C validator