Theorem dmrecpq 6226

Description: Domain of reciprocal on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
dmrecpq	|- dom *Q = Q.

Proof of Theorem dmrecpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rq 6193	. . 3 |- *Q = {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)}
2	1	dmeqi 4158	. 2 |- dom *Q = dom {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)}
3		recidpq 6223	. . . . 5 |- (x e. Q. -> (x .Q (*Q` x)) = 1Q)
4		fvex 4689	. . . . . 6 |- (*Q` x) e. _V
5		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (y = (*Q` x) -> (x .Q y) = (x .Q (*Q` x)))
6	5	eqeq1d 1892	. . . . . 6 |- (y = (*Q` x) -> ((x .Q y) = 1Q <-> (x .Q (*Q` x)) = 1Q))
7	4, 6	cla4ev 2371	. . . . 5 |- ((x .Q (*Q` x)) = 1Q -> E.y(x .Q y) = 1Q)
8	3, 7	syl 12	. . . 4 |- (x e. Q. -> E.y(x .Q y) = 1Q)
9	8	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. Q. E.y(x .Q y) = 1Q
10		dmopab3 4169	. . 3 |- (A.x e. Q. E.y(x .Q y) = 1Q <-> dom {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)} = Q.)
11	9, 10	mpbi 206	. 2 |- dom {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)} = Q.
12	2, 11	eqtri 1908	1 |- dom *Q = Q.

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  {copab 3395  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131  1Qc1q 6132   .Q cmq 6134  *Qcrq 6135

This theorem is referenced by:  reclem1pr 6308  reclem2pr 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-mq 6192  df-rq 6193  df-1q 6195

Copyright terms: Public domain