MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmpropg Structured version   Unicode version

Theorem dmpropg 5479
Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmpropg  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)

Proof of Theorem dmpropg
StepHypRef Expression
1 dmsnopg 5477 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
2 dmsnopg 5477 . . 3  |-  ( D  e.  W  ->  dom  {
<. C ,  D >. }  =  { C }
)
3 uneq12 3653 . . 3  |-  ( ( dom  { <. A ,  B >. }  =  { A }  /\  dom  { <. C ,  D >. }  =  { C }
)  ->  ( dom  {
<. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
5 df-pr 4030 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
65dmeqi 5202 . . 3  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  dom  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
7 dmun 5207 . . 3  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
86, 7eqtri 2496 . 2  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
9 df-pr 4030 . 2  |-  { A ,  C }  =  ( { A }  u.  { C } )
104, 8, 93eqtr4g 2533 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   dom cdm 4999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-dm 5009
This theorem is referenced by:  dmprop  5481  funtpg  5636  fnprg  5640  s4dom  12826
  Copyright terms: Public domain W3C validator