MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmpropg Structured version   Unicode version

Theorem dmpropg 5471
Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmpropg  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)

Proof of Theorem dmpropg
StepHypRef Expression
1 dmsnopg 5469 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
2 dmsnopg 5469 . . 3  |-  ( D  e.  W  ->  dom  {
<. C ,  D >. }  =  { C }
)
3 uneq12 3638 . . 3  |-  ( ( dom  { <. A ,  B >. }  =  { A }  /\  dom  { <. C ,  D >. }  =  { C }
)  ->  ( dom  {
<. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
5 df-pr 4017 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
65dmeqi 5194 . . 3  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  dom  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
7 dmun 5199 . . 3  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
86, 7eqtri 2472 . 2  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
9 df-pr 4017 . 2  |-  { A ,  C }  =  ( { A }  u.  { C } )
104, 8, 93eqtr4g 2509 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    u. cun 3459   {csn 4014   {cpr 4016   <.cop 4020   dom cdm 4989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-br 4438  df-dm 4999
This theorem is referenced by:  dmprop  5473  funtpg  5628  fnprg  5632  s4dom  12849  estrreslem2  32610
  Copyright terms: Public domain W3C validator