MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmopab Structured version   Unicode version

Theorem dmopab 5213
Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dmopab  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  {
x  |  E. y ph }
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem dmopab
StepHypRef Expression
1 nfopab1 4513 . . 3  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
2 nfopab2 4514 . . 3  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
31, 2dfdmf 5196 . 2  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  {
x  |  E. y  x { <. x ,  y
>.  |  ph } y }
4 df-br 4448 . . . . 5  |-  ( x { <. x ,  y
>.  |  ph } y  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
5 opabid 4754 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  ph )
64, 5bitri 249 . . . 4  |-  ( x { <. x ,  y
>.  |  ph } y  <->  ph )
76exbii 1644 . . 3  |-  ( E. y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y  <->  E. y ph )
87abbii 2601 . 2  |-  { x  |  E. y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y }  =  { x  |  E. y ph }
93, 8eqtri 2496 1  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ph }  =  {
x  |  E. y ph }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504   dom cdm 4999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-dm 5009
This theorem is referenced by:  dmopabss  5214  dmopab3  5215  opabiotadm  5930  fndmin  5989  dmoprab  6368  zfrep6  6753  hartogslem1  7968  rankf  8213  dfac3  8503  axdc2lem  8829  shftdm  12870  adjeu  26581  mptfnf  27268
  Copyright terms: Public domain W3C validator