Theorem dmncan2 16225

Description: Cancellation law for domains.

Hypotheses

Ref	Expression
dmncan.1	|- G = (1st` R)
dmncan.2	|- H = (2nd` R)
dmncan.3	|- X = ran G
dmncan.4	|- Z = (Id` G)

Assertion

Ref	Expression
dmncan2	|- (((R e. Dmn /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) /\ C =/= Z) -> ((AHC) = (BHC) -> A = B))

Proof of Theorem dmncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmncan.1	. . . . . . 7 |- G = (1st` R)
2		dmncan.2	. . . . . . 7 |- H = (2nd` R)
3		dmncan.3	. . . . . . 7 |- X = ran G
4	1, 2, 3	crngcom 16149	. . . . . 6 |- ((R e. CRing /\ A e. X /\ C e. X) -> (AHC) = (CHA))
5	4	3adant3r2 1078	. . . . 5 |- ((R e. CRing /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (AHC) = (CHA))
6	1, 2, 3	crngcom 16149	. . . . . 6 |- ((R e. CRing /\ B e. X /\ C e. X) -> (BHC) = (CHB))
7	6	3adant3r1 1077	. . . . 5 |- ((R e. CRing /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (BHC) = (CHB))
8	5, 7	eqeq12d 1899	. . . 4 |- ((R e. CRing /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AHC) = (BHC) <-> (CHA) = (CHB)))
9		dmncrng 16204	. . . 4 |- (R e. Dmn -> R e. CRing)
10	8, 9	sylan 497	. . 3 |- ((R e. Dmn /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AHC) = (BHC) <-> (CHA) = (CHB)))
11	10	adantr 425	. 2 |- (((R e. Dmn /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) /\ C =/= Z) -> ((AHC) = (BHC) <-> (CHA) = (CHB)))
12		dmncan.4	. . . 4 |- Z = (Id` G)
13	1, 2, 3, 12	dmncan1 16224	. . 3 |- (((R e. Dmn /\ (C e. X /\ A e. X /\ B e. X)) /\ C =/= Z) -> ((CHA) = (CHB) -> A = B))
14		3anrot 863	. . . 4 |- ((C e. X /\ A e. X /\ B e. X) <-> (A e. X /\ B e. X /\ C e. X))
15	14	biimpri 169	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (C e. X /\ A e. X /\ B e. X))
16	13, 15	sylanl2 510	. 2 |- (((R e. Dmn /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) /\ C =/= Z) -> ((CHA) = (CHB) -> A = B))
17	11, 16	sylbid 220	1 |- (((R e. Dmn /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) /\ C =/= Z) -> ((AHC) = (BHC) -> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  Idcgi 9312  CRingccring 16143  Dmncdmn 16195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-ring 9464  df-ass 10360  df-exid 10362  df-mgm 10366  df-sgr 10378  df-mnd 10385  df-com2 10395  df-cring 16144  df-idl 16158  df-pridl 16159  df-prrng 16196  df-dmn 16197  df-igen 16208

Copyright terms: Public domain