MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmulsr Structured version   Unicode version

Theorem dmmulsr 9492
Description: Domain of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmmulsr  |-  dom  .R  =  ( R.  X.  R. )

Proof of Theorem dmmulsr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mr 9465 . . . 4  |-  .R  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ]  ~R  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .P.  u )  +P.  (
v  .P.  f )
) ,  ( ( w  .P.  f )  +P.  ( v  .P.  u ) ) >. ]  ~R  ) ) }
21dmeqi 5024 . . 3  |-  dom  .R  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f
>. ]  ~R  )  /\  z  =  [ <. (
( w  .P.  u
)  +P.  ( v  .P.  f ) ) ,  ( ( w  .P.  f )  +P.  (
v  .P.  u )
) >. ]  ~R  )
) }
3 dmoprabss 6364 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ]  ~R  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .P.  u )  +P.  (
v  .P.  f )
) ,  ( ( w  .P.  f )  +P.  ( v  .P.  u ) ) >. ]  ~R  ) ) } 
C_  ( R.  X.  R. )
42, 3eqsstri 3471 . 2  |-  dom  .R  C_  ( R.  X.  R. )
5 0nsr 9485 . . 3  |-  -.  (/)  e.  R.
6 mulclsr 9490 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  .R  y
)  e.  R. )
75, 6oprssdm 6436 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  C_  dom  .R
84, 7eqssi 3457 1  |-  dom  .R  =  ( R.  X.  R. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   <.cop 3977    X. cxp 4820   dom cdm 4822  (class class class)co 6277   {coprab 6278   [cec 7345    +P. cpp 9268    .P. cmp 9269    ~R cer 9271   R.cnr 9272    .R cmr 9277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-ni 9279  df-pli 9280  df-mi 9281  df-lti 9282  df-plpq 9315  df-mpq 9316  df-ltpq 9317  df-enq 9318  df-nq 9319  df-erq 9320  df-plq 9321  df-mq 9322  df-1nq 9323  df-rq 9324  df-ltnq 9325  df-np 9388  df-plp 9390  df-mp 9391  df-ltp 9392  df-enr 9462  df-nr 9463  df-mr 9465
This theorem is referenced by:  mulcomsr  9495  mulasssr  9496  distrsr  9497
  Copyright terms: Public domain W3C validator