MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmulsr Structured version   Unicode version

Theorem dmmulsr 9459
Description: Domain of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmmulsr  |-  dom  .R  =  ( R.  X.  R. )

Proof of Theorem dmmulsr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mr 9432 . . . 4  |-  .R  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ]  ~R  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .P.  u )  +P.  (
v  .P.  f )
) ,  ( ( w  .P.  f )  +P.  ( v  .P.  u ) ) >. ]  ~R  ) ) }
21dmeqi 5202 . . 3  |-  dom  .R  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f
>. ]  ~R  )  /\  z  =  [ <. (
( w  .P.  u
)  +P.  ( v  .P.  f ) ) ,  ( ( w  .P.  f )  +P.  (
v  .P.  u )
) >. ]  ~R  )
) }
3 dmoprabss 6366 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ]  ~R  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .P.  u )  +P.  (
v  .P.  f )
) ,  ( ( w  .P.  f )  +P.  ( v  .P.  u ) ) >. ]  ~R  ) ) } 
C_  ( R.  X.  R. )
42, 3eqsstri 3534 . 2  |-  dom  .R  C_  ( R.  X.  R. )
5 0nsr 9452 . . 3  |-  -.  (/)  e.  R.
6 mulclsr 9457 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  .R  y
)  e.  R. )
75, 6oprssdm 6438 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  C_  dom  .R
84, 7eqssi 3520 1  |-  dom  .R  =  ( R.  X.  R. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   <.cop 4033    X. cxp 4997   dom cdm 4999  (class class class)co 6282   {coprab 6283   [cec 7306    +P. cpp 9235    .P. cmp 9236    ~R cer 9238   R.cnr 9239    .R cmr 9244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-ni 9246  df-pli 9247  df-mi 9248  df-lti 9249  df-plpq 9282  df-mpq 9283  df-ltpq 9284  df-enq 9285  df-nq 9286  df-erq 9287  df-plq 9288  df-mq 9289  df-1nq 9290  df-rq 9291  df-ltnq 9292  df-np 9355  df-plp 9357  df-mp 9358  df-ltp 9359  df-enr 9429  df-nr 9430  df-mr 9432
This theorem is referenced by:  mulcomsr  9462  mulasssr  9463  distrsr  9464
  Copyright terms: Public domain W3C validator