MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptss Structured version   Unicode version

Theorem dmmptss 5441
Description: The domain of a mapping is a subset of its base class. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dmmpt2.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
dmmptss  |-  dom  F  C_  A
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)

Proof of Theorem dmmptss
StepHypRef Expression
1 dmmpt2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
21dmmpt 5440 . 2  |-  dom  F  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
3 ssrab2 3544 . 2  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  A
42, 3eqsstri 3493 1  |-  dom  F  C_  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2802   _Vcvv 3076    C_ wss 3435    |-> cmpt 4457   dom cdm 4947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960
This theorem is referenced by:  fvmptss  5890  fvmptex  5892  fvmptnf  5899  mptexg  6055  dmmpt2ssx  6748  curry1val  6774  curry2val  6778  tposssxp  6858  mptfi  7720  cnvimamptfin  7722  cantnfres  7995  bitsval  13737  subcrcl  14847  homarcl  15014  arwval  15029  arwrcl  15030  coafval  15050  submrcl  15592  issubg  15799  isnsg  15828  cntzrcl  15963  gsumconst  16548  issubrg  16987  abvrcl  17028  psrass1lem  17569  psrass1  17600  psrdi  17601  psrdir  17602  psrass23l  17603  psrcom  17604  psrass23  17605  mpfrcl  17727  psropprmul  17815  coe1mul2  17845  isobs  18269  lmrcl  18966  1stcrestlem  19187  kgeni  19241  ptbasfi  19285  elmptrab  19531  isxms2  20154  setsmstopn  20184  tngtopn  20367  isphtpc  20697  pcofval  20713  cfili  20910  cfilfcls  20916  rrxmval  21035  plybss  21794  ulmss  21994  dchrrcl  22711  issubgo  23941  mptct  26168  gsumunsnf  26389  gsummpt2co  26393  sitgclg  26871  cvmsrcl  27296  snmlval  27363  islocfin  28715  eldiophb  29242  elmnc  29640  itgocn  29668  issdrg  29701  elfvmptrab1  30301  dmmpt2ssx2  30874
  Copyright terms: Public domain W3C validator