MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptg Structured version   Unicode version

Theorem dmmptg 5351
Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem dmmptg
StepHypRef Expression
1 elex 3089 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2815 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 rabid2 3003 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e. 
_V }  <->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
42, 3sylibr 215 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V } )
5 eqid 2422 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65dmmpt 5349 . 2  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
74, 6syl6reqr 2482 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   {crab 2775   _Vcvv 3080    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866
This theorem is referenced by:  ovmpt3rabdm  6540  suppssov1  6958  suppssfv  6962  iinon  7070  onoviun  7073  noinfep  8173  cantnfdm  8177  axcc2lem  8873  negfi  10561  swrd0  12792  o1lo1  13600  o1lo12  13601  lo1mptrcl  13684  o1mptrcl  13685  o1add2  13686  o1mul2  13687  o1sub2  13688  lo1add  13689  lo1mul  13690  o1dif  13692  rlimneg  13709  lo1le  13714  rlimno1  13716  o1fsum  13872  divsfval  15452  iscnp2  20253  ptcnplem  20634  xkoinjcn  20700  fbasrn  20897  prdsdsf  21380  ressprdsds  21384  mbfmptcl  22591  mbfdm2  22592  dvmptcl  22911  dvmptadd  22912  dvmptmul  22913  dvmptres2  22914  dvmptcmul  22916  dvmptcj  22920  dvmptco  22924  rolle  22940  dvlip  22943  dvlipcn  22944  dvle  22957  dvivthlem1  22958  dvivth  22960  dvfsumle  22971  dvfsumge  22972  dvmptrecl  22974  dvfsumlem2  22977  pserdv  23382  logtayl  23603  relogbf  23726  rlimcxp  23897  o1cxp  23898  gsummpt2co  28550  psgnfzto1stlem  28621  measdivcstOLD  29054  probfinmeasbOLD  29269  probmeasb  29271  dstrvprob  29312  cvmsss2  30005  sdclem2  32035  dmmzp  35544  dvmptresicc  37731  dvcosax  37738  dvnprodlem3  37763  itgcoscmulx  37786  stoweidlem27  37827  dirkeritg  37904  fourierdlem16  37925  fourierdlem21  37930  fourierdlem22  37931  fourierdlem39  37949  fourierdlem57  37967  fourierdlem58  37968  fourierdlem60  37970  fourierdlem61  37971  fourierdlem73  37983  fourierdlem83  37993  0ome  38258  elbigofrcl  39983
  Copyright terms: Public domain W3C validator