MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptg Structured version   Unicode version

Theorem dmmptg 5502
Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem dmmptg
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2857 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 rabid2 3039 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e. 
_V }  <->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
42, 3sylibr 212 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V } )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65dmmpt 5500 . 2  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
74, 6syl6reqr 2527 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012
This theorem is referenced by:  ovmpt3rabdm  6517  suppssov1  6929  suppssfv  6933  iinon  7008  onoviun  7011  noinfep  8072  cantnfdm  8077  cantnfdmOLD  8079  axcc2lem  8812  o1lo1  13319  o1lo12  13320  lo1mptrcl  13403  o1mptrcl  13404  o1add2  13405  o1mul2  13406  o1sub2  13407  lo1add  13408  lo1mul  13409  o1dif  13411  rlimneg  13428  lo1le  13433  rlimno1  13435  o1fsum  13586  divsfval  14798  iscnp2  19506  ptcnplem  19857  xkoinjcn  19923  fbasrn  20120  prdsdsf  20605  ressprdsds  20609  mbfmptcl  21779  mbfdm2  21780  dvmptcl  22097  dvmptadd  22098  dvmptmul  22099  dvmptres2  22100  dvmptcmul  22102  dvmptcj  22106  dvmptco  22110  rolle  22126  dvlip  22129  dvlipcn  22130  dvle  22143  dvivthlem1  22144  dvivth  22146  dvfsumle  22157  dvfsumge  22158  dvmptrecl  22160  dvfsumlem2  22163  pserdv  22558  logtayl  22769  rlimcxp  23031  o1cxp  23032  gsummpt2co  27434  measdivcstOLD  27835  probfinmeasbOLD  28007  probmeasb  28009  dstrvprob  28050  cvmsss2  28359  sdclem2  29838  dmmzp  30269  dvmptresicc  31249  dvcosax  31256  itgcoscmulx  31287  stoweidlem27  31327  dirkeritg  31402  fourierdlem16  31423  fourierdlem21  31428  fourierdlem22  31429  fourierdlem39  31446  fourierdlem57  31464  fourierdlem58  31465  fourierdlem60  31467  fourierdlem61  31468  fourierdlem70  31477  fourierdlem73  31480  fourierdlem83  31490
  Copyright terms: Public domain W3C validator