MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptg Structured version   Unicode version

Theorem dmmptg 5332
Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem dmmptg
StepHypRef Expression
1 elex 2979 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2789 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 rabid2 2896 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e. 
_V }  <->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
42, 3sylibr 212 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V } )
5 eqid 2441 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65dmmpt 5330 . 2  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
74, 6syl6reqr 2492 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    e. cmpt 4347   dom cdm 4836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849
This theorem is referenced by:  suppssov1  6720  suppssfv  6724  iinon  6797  onoviun  6800  noinfep  7861  cantnfdm  7866  cantnfdmOLD  7868  axcc2lem  8601  o1lo1  13011  o1lo12  13012  lo1mptrcl  13095  o1mptrcl  13096  o1add2  13097  o1mul2  13098  o1sub2  13099  lo1add  13100  lo1mul  13101  o1dif  13103  rlimneg  13120  lo1le  13125  rlimno1  13127  o1fsum  13272  divsfval  14481  iscnp2  18802  ptcnplem  19153  xkoinjcn  19219  fbasrn  19416  prdsdsf  19901  ressprdsds  19905  mbfmptcl  21074  mbfdm2  21075  dvmptcl  21392  dvmptadd  21393  dvmptmul  21394  dvmptres2  21395  dvmptcmul  21397  dvmptcj  21401  dvmptco  21405  rolle  21421  dvlip  21424  dvlipcn  21425  dvle  21438  dvivthlem1  21439  dvivth  21441  dvfsumle  21452  dvfsumge  21453  dvmptrecl  21455  dvfsumlem2  21458  pserdv  21853  logtayl  22064  rlimcxp  22326  o1cxp  22327  gsummpt2co  26184  measdivcstOLD  26574  probfinmeasbOLD  26741  probmeasb  26743  dstrvprob  26784  cvmsss2  27093  sdclem2  28563  dmmzp  28994  stoweidlem27  29747  ovmpt3rabdm  30087
  Copyright terms: Public domain W3C validator