MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptg Unicode version

Theorem dmmptg 5326
Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem dmmptg
StepHypRef Expression
1 elex 2924 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2741 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 rabid2 2845 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  B  e. 
_V }  <->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
42, 3sylibr 204 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V } )
5 eqid 2404 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65dmmpt 5324 . 2  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
74, 6syl6reqr 2455 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    e. cmpt 4226   dom cdm 4837
This theorem is referenced by:  iinon  6561  onoviun  6564  noinfep  7570  cantnfdm  7575  axcc2lem  8272  o1lo1  12286  o1lo12  12287  lo1mptrcl  12370  o1mptrcl  12371  o1add2  12372  o1mul2  12373  o1sub2  12374  lo1add  12375  lo1mul  12376  o1dif  12378  rlimneg  12395  lo1le  12400  rlimno1  12402  o1fsum  12547  divsfval  13727  iscnp2  17257  ptcnplem  17606  xkoinjcn  17672  fbasrn  17869  prdsdsf  18350  ressprdsds  18354  mbfmptcl  19482  mbfdm2  19483  dvmptcl  19798  dvmptadd  19799  dvmptmul  19800  dvmptres2  19801  dvmptcmul  19803  dvmptcj  19807  dvmptco  19811  rolle  19827  dvlip  19830  dvlipcn  19831  dvle  19844  dvivthlem1  19845  dvivth  19847  dvfsumle  19858  dvfsumge  19859  dvmptrecl  19861  dvfsumlem2  19864  pserdv  20298  logtayl  20504  rlimcxp  20765  o1cxp  20766  measdivcstOLD  24531  probfinmeasbOLD  24639  probmeasb  24641  dstrvprob  24682  cvmsss2  24914  sdclem2  26336  dmmzp  26680  stoweidlem27  27643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850
  Copyright terms: Public domain W3C validator