MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmp Structured version   Unicode version

Theorem dmmp 9437
Description: Domain of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmmp  |-  dom  .P.  =  ( P.  X.  P. )

Proof of Theorem dmmp
Dummy variables  x  y  z  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 9408 . 2  |-  .P.  =  ( x  e.  P. ,  y  e.  P.  |->  { z  |  E. u  e.  x  E. v  e.  y  z  =  ( u  .Q  v ) } )
2 mulclnq 9371 . 2  |-  ( ( u  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( u  .Q  v
)  e.  Q. )
31, 2genpdm 9426 1  |-  dom  .P.  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    X. cxp 4852   dom cdm 4854    .Q cmq 9280   P.cnp 9283    .P. cmp 9286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ni 9296  df-mi 9298  df-lti 9299  df-mpq 9333  df-enq 9335  df-nq 9336  df-erq 9337  df-mq 9339  df-1nq 9340  df-np 9405  df-mp 9408
This theorem is referenced by:  mulcompr  9447  mulasspr  9448  distrpr  9452
  Copyright terms: Public domain W3C validator