Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmgmdivn0 Structured version   Unicode version

Theorem dmgmdivn0 28238
Description: Lemma for lgamf 28252. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dmgmn0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
dmgmdivn0.a  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dmgmdivn0  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  M )  +  1 )  =/=  0 )

Proof of Theorem dmgmdivn0
StepHypRef Expression
1 dmgmn0.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
21eldifad 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 dmgmdivn0.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43nncnd 10552 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
53nnne0d 10580 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
62, 4, 4, 5divdird 10358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  M )  /  M
)  =  ( ( A  /  M )  +  ( M  /  M ) ) )
74, 5dividd 10318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  /  M
)  =  1 )
87oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  M )  +  ( M  /  M ) )  =  ( ( A  /  M )  +  1 ) )
96, 8eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  M )  /  M
)  =  ( ( A  /  M )  +  1 ) )
102, 4addcld 9615 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +  M
)  e.  CC )
113nnnn0d 10852 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
12 dmgmaddn0 28233 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( A  +  M )  =/=  0 )
131, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +  M
)  =/=  0 )
1410, 4, 13, 5divne0d 10336 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  M )  /  M
)  =/=  0 )
159, 14eqnetrrd 2761 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  M )  +  1 )  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    / cdiv 10206   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  28240  lgamgulmlem3  28241  lgamgulmlem5  28243  lgamgulmlem6  28244  lgamgulm2  28246  lgamcvg2  28265  gamcvg  28266  gamcvg2lem  28269  regamcl  28271  iprodgam  28730
  Copyright terms: Public domain W3C validator