Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmgmaddnn0 Structured version   Unicode version

Theorem dmgmaddnn0 26860
Description: If  A is not a nonpositive integer and  N is a nonnegative integer, then  A  +  N is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dmgmn0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
dmgmaddnn0.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
dmgmaddnn0  |-  ( ph  ->  ( A  +  N
)  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )

Proof of Theorem dmgmaddnn0
StepHypRef Expression
1 dmgmn0.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
21eldifad 3328 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 dmgmaddnn0.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
43nn0cnd 10625 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
52, 4addcld 9392 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  N
)  e.  CC )
6 eldmgm 26855 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )
71, 6sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\ 
-.  -u A  e.  NN0 ) )
87simprd 460 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  -u A  e.  NN0 )
92, 4negdi2d 9720 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( A  +  N )  =  (
-u A  -  N
) )
109oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( A  +  N )  +  N )  =  ( ( -u A  -  N )  +  N
) )
112negcld 9693 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  CC )
1211, 4npcand 9710 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u A  -  N )  +  N
)  =  -u A
)
1310, 12eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( A  +  N )  +  N )  =  -u A )
1413adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -u ( A  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u ( A  +  N
)  +  N )  =  -u A )
15 simpr 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -u ( A  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u ( A  +  N )  e.  NN0 )
163adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -u ( A  +  N )  e. 
NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
1715, 16nn0addcld 10627 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -u ( A  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u ( A  +  N
)  +  N )  e.  NN0 )
1814, 17eqeltrrd 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -u ( A  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u A  e.  NN0 )
198, 18mtand 652 . 2  |-  ( ph  ->  -.  -u ( A  +  N )  e.  NN0 )
20 eldmgm 26855 . 2  |-  ( ( A  +  N )  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( ( A  +  N )  e.  CC  /\  -.  -u ( A  +  N )  e.  NN0 ) )
215, 19, 20sylanbrc 657 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  N
)  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    \ cdif 3313  (class class class)co 6080   CCcc 9267    + caddc 9272    - cmin 9582   -ucneg 9583   NNcn 10309   NN0cn0 10566   ZZcz 10633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634
This theorem is referenced by:  lgamcvg2  26888  gamp1  26891
  Copyright terms: Public domain W3C validator