Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmgmaddn0 Structured version   Unicode version

Theorem dmgmaddn0 28191
Description: If  A is not a nonpositive integer, then  A  +  N is nonzero for any nonnegative integer  N. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dmgmaddn0  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  N )  =/=  0 )

Proof of Theorem dmgmaddn0
StepHypRef Expression
1 eldmgm 28190 . . . 4  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  -.  -u A  e.  NN0 )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  -.  -u A  e.  NN0 )
4 df-neg 9797 . . . . . 6  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
54eqeq1i 2467 . . . . 5  |-  ( -u A  =  N  <->  ( 0  -  A )  =  N )
6 0cnd 9578 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  e.  CC )
7 eldifi 3619 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  A  e.  CC )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
9 nn0cn 10794 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
116, 8, 10subaddd 9937 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( 0  -  A
)  =  N  <->  ( A  +  N )  =  0 ) )
125, 11syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u A  =  N  <->  ( A  +  N )  =  0 ) )
13 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
14 eleq1 2532 . . . . 5  |-  ( -u A  =  N  ->  (
-u A  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
1513, 14syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u A  =  N  ->  -u A  e.  NN0 )
)
1612, 15sylbird 235 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  N
)  =  0  ->  -u A  e.  NN0 )
)
1716necon3bd 2672 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -.  -u A  e.  NN0  ->  ( A  +  N
)  =/=  0 ) )
183, 17mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  N )  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    \ cdif 3466  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481    + caddc 9484    - cmin 9794   -ucneg 9795   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854
This theorem is referenced by:  dmgmn0  28194  dmgmdivn0  28196  lgamcvg2  28223
  Copyright terms: Public domain W3C validator