Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmgmaddn0 Structured version   Unicode version

Theorem dmgmaddn0 28438
Description: If  A is not a nonpositive integer, then  A  +  N is nonzero for any nonnegative integer  N. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dmgmaddn0  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  N )  =/=  0 )

Proof of Theorem dmgmaddn0
StepHypRef Expression
1 eldmgm 28437 . . . 4  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  -.  -u A  e.  NN0 )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  -.  -u A  e.  NN0 )
4 df-neg 9813 . . . . . 6  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
54eqeq1i 2450 . . . . 5  |-  ( -u A  =  N  <->  ( 0  -  A )  =  N )
6 0cnd 9592 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  e.  CC )
7 eldifi 3611 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  A  e.  CC )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
9 nn0cn 10811 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
116, 8, 10subaddd 9954 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( 0  -  A
)  =  N  <->  ( A  +  N )  =  0 ) )
125, 11syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u A  =  N  <->  ( A  +  N )  =  0 ) )
13 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
14 eleq1 2515 . . . . 5  |-  ( -u A  =  N  ->  (
-u A  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
1513, 14syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u A  =  N  ->  -u A  e.  NN0 )
)
1612, 15sylbird 235 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  N
)  =  0  ->  -u A  e.  NN0 )
)
1716necon3bd 2655 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -.  -u A  e.  NN0  ->  ( A  +  N
)  =/=  0 ) )
183, 17mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  N )  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495    + caddc 9498    - cmin 9810   -ucneg 9811   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871
This theorem is referenced by:  dmgmn0  28441  dmgmdivn0  28443  lgamcvg2  28470
  Copyright terms: Public domain W3C validator