Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmgmaddn0 Structured version   Unicode version

Theorem dmgmaddn0 26961
Description: If  A is not a nonpositive integer, then  A  +  N is nonzero for any nonnegative integer  N. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dmgmaddn0  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  N )  =/=  0 )

Proof of Theorem dmgmaddn0
StepHypRef Expression
1 eldmgm 26960 . . . 4  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  -.  -u A  e.  NN0 )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  -.  -u A  e.  NN0 )
4 df-neg 9590 . . . . . 6  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
54eqeq1i 2445 . . . . 5  |-  ( -u A  =  N  <->  ( 0  -  A )  =  N )
6 0cnd 9371 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  e.  CC )
7 eldifi 3473 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  ->  A  e.  CC )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
9 nn0cn 10581 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
116, 8, 10subaddd 9729 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( 0  -  A
)  =  N  <->  ( A  +  N )  =  0 ) )
125, 11syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u A  =  N  <->  ( A  +  N )  =  0 ) )
13 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
14 eleq1 2498 . . . . 5  |-  ( -u A  =  N  ->  (
-u A  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
1513, 14syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u A  =  N  ->  -u A  e.  NN0 )
)
1612, 15sylbird 235 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  N
)  =  0  ->  -u A  e.  NN0 )
)
1716necon3bd 2640 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -.  -u A  e.  NN0  ->  ( A  +  N
)  =/=  0 ) )
183, 17mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  N )  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601    \ cdif 3320  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    + caddc 9277    - cmin 9587   -ucneg 9588   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639
This theorem is referenced by:  dmgmn0  26964  dmgmdivn0  26966  lgamcvg2  26993
  Copyright terms: Public domain W3C validator