MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmfi Structured version   Unicode version

Theorem dmfi 7799
Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  e.  Fin )

Proof of Theorem dmfi
StepHypRef Expression
1 fidomdm 7798 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  ~<_  A )
2 domfi 7738 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  dom  A  ~<_  A )  ->  dom  A  e.  Fin )
31, 2mpdan 668 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   dom cdm 4999    ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  rnfi  7801  hashfun  12457  psgnran  16336  psgnprfval  16342  gsum2dlem2  16789  gsum2d  16790  gsum2dOLD  16791  tsmsxp  20392  usgrafilem2  24088  nbusgrafi  24124  cusgrasizeindslem3  24151  cusgrasizeinds  24152  vdusgra0nedg  24584  usgfidegfi  24586  hashnbgravd  24588  vdn0frgrav2  24700  vdn1frgrav2  24702  relfi  27132  fundmfibi  31780  residfi  31783
  Copyright terms: Public domain W3C validator