MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmfi Structured version   Unicode version

Theorem dmfi 7837
Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  e.  Fin )

Proof of Theorem dmfi
StepHypRef Expression
1 fidomdm 7836 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  ~<_  A )
2 domfi 7776 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  dom  A  ~<_  A )  ->  dom  A  e.  Fin )
31, 2mpdan 666 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   dom cdm 4823    ~<_ cdom 7552   Fincfn 7554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558
This theorem is referenced by:  rnfi  7839  hashfun  12544  psgnprfval  16870  gsum2dlem2  17319  gsum2d  17320  gsum2dOLD  17321  tsmsxp  20949  usgrafilem2  24829  nbusgrafi  24865  cusgrasizeindslem3  24892  cusgrasizeinds  24893  vdusgra0nedg  25325  usgfidegfi  25327  hashnbgravd  25329  vdn0frgrav2  25440  vdn1frgrav2  25442  relfi  27895  esum2d  28540  etransclem27  37412  fundmfibi  37944  residfi  37947
  Copyright terms: Public domain W3C validator