MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmfi Structured version   Unicode version

Theorem dmfi 7697
Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dmfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  e.  Fin )

Proof of Theorem dmfi
StepHypRef Expression
1 fidomdm 7696 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  ~<_  A )
2 domfi 7637 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  dom  A  ~<_  A )  ->  dom  A  e.  Fin )
31, 2mpdan 668 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   dom cdm 4940    ~<_ cdom 7410   Fincfn 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-1o 7022  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-fin 7416
This theorem is referenced by:  rnfi  7699  hashfun  12303  psgnran  16125  psgnprfval  16131  gsum2dlem2  16569  gsum2d  16570  gsum2dOLD  16571  tsmsxp  19847  usgrafilem2  23462  nbusgrafi  23494  cusgrasizeindslem3  23520  cusgrasizeinds  23521  vdusgra0nedg  23715  hashnbgravd  23717  relfi  26076  usgfidegfi  30667  vdn0frgrav2  30756  vdn1frgrav2  30758
  Copyright terms: Public domain W3C validator