Theorem dmexg 6716

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmexg	|- ( A e. V -> dom A e. _V )

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 6582	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 6582	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun1 3652	. . . 4 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 5251	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3498	. . 3 |- dom A C_ U. U. A
6		ssexg 4583	. . 3 |- ( ( dom A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> dom A e. _V )
7	5, 6	mpan 670	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> dom A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 20	1 |- ( A e. V -> dom A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1804   _Vcvv 3095   u. cun 3459   C_ wss 3461   U.cuni 4234   dom cdm 4989   ran crn 4990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-cnv 4997  df-dm 4999  df-rn 5000

This theorem is referenced by:  dmex  6718  iprc  6720  exse2  6724  xpexr2  6726  xpexcnv  6727  soex  6728  cnvexg  6731  coexg  6736  dmfex  6743  cofunexg  6749  offval3  6779  suppval  6905  funsssuppss  6928  suppss  6932  suppssov1  6934  suppssfv  6938  tposexg  6971  tfrlem12  7060  tfrlem13  7061  erexb  7338  oion  7964  unxpwdom2  8017  wemapwe  8142  wemapweOLD  8143  imadomg  8915  fpwwe2lem3  9014  fpwwe2lem12  9022  fpwwe2lem13  9023  hashfn  12422  hashimarn  12475  o1of2  13414  prdsplusg  14732  prdsmulr  14733  prdsvsca  14734  prdshom  14741  ssclem  15065  ssc2  15068  ssctr  15071  subsubc  15096  resf1st  15137  resf2nd  15138  funcres  15139  efgrcl  16607  dprddomprc  16905  dprdval0prc  16907  dprdgrp  16912  dprdf  16913  dprdwOLD  16924  dprdssv  16930  dprdfidOLD  16938  dprdfinvOLD  16940  dprdfaddOLD  16941  dprdfsubOLD  16942  dprdfeq0OLD  16943  dprdf11OLD  16944  subgdmdprd  16955  dmdprdsplitlemOLD  16959  dprddisj2OLD  16962  dprd2da  16965  dpjidclOLD  16988  f1lindf  18730  decpmatval0  19138  pmatcollpw3lem  19157  ordtbaslem  19562  ordtuni  19564  ordtbas2  19565  ordtbas  19566  ordttopon  19567  ordtopn1  19568  ordtopn2  19569  ordtrest2lem  19577  ordtrest2  19578  txindislem  20007  ordthmeolem  20175  ptcmplem2  20426  tuslem  20643  mbfmulc2re  21928  mbfneg  21930  dvnff  22199  dchrptlem3  23413  fiusgraedgfi  24279  sizeusglecusg  24358  wlks  24391  wlkres  24394  trls  24410  crcts  24494  cycls  24495  vdusgraval  24779  vdgrnn0pnf  24781  hashnbgravdg  24785  usgravd0nedg  24790  iseupa  24837  vdgn0frgrav2  24896  vdgn1frgrav2  24898  vdgfrgragt2  24899  ismgmOLD  25194  ofcfval3  27974  braew  28087  omsval  28137  sibfof  28155  cndprobval  28245  bdayval  29383  bdayfo  29410  tailf  30168  tailfb  30170  f1vrnfibi  32151