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Theorem dmdprdsplitlemOLD 17212
Description: Lemma for dmdprdsplit 17223. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dmdprdsplitlem 17211 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlemOLD.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplitlemOLD.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
dmdprdsplitlemOLD.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dmdprdsplitlemOLD.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dmdprdsplitlemOLD.3  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
dmdprdsplitlemOLD.4  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dmdprdsplitlemOLD.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlemOLD  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , h    h, i, A    h, G, i    h, I, i    h, F    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    F( i)    W( h, i)    X( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlemOLD
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlemOLD.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
2 dmdprdsplitlemOLD.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dmdprdsplitlemOLD.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
42, 3dprdf2 17167 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5 dmdprdsplitlemOLD.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
6 fssres 5757 . . . . . . 7  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  A  C_  I )  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )
)
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G ) )
8 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
9 dmdprdsplitlemOLD.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
119, 10eldprdOLD 17164 . . . . . 6  |-  ( dom  ( S  |`  A )  =  A  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  f ) ) ) )
127, 8, 113syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <-> 
( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
131, 12mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )
1413simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1514adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  f ) )
16 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1713simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
197, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
21 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2310, 18, 20, 21, 22dprdffOLD 17179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f : A --> ( Base `  G
) )
2423feqmptd 5926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
255ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  C_  I )
26 resmpt 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
28 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  ( f `  n ) )
2928mpteq2ia 4539 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  A  |->  ( f `
 n ) )
3027, 29syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
3124, 30eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  |`  A ) )
3231oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) ) )
33 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
342ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  S )
35 dprdgrp 17165 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
36 grpmnd 16189 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
38 reldmdprd 17155 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  dom DProd
3938brrelex2i 5050 . . . . . . . . . 10  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
40 dmexg 6730 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
412, 39, 403syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
423, 41eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4342ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  I  e.  _V )
44 dmdprdsplitlemOLD.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
453ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  S  =  I )
4618adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
4720adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
48 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )
4910, 46, 47, 48dprdfclOLD 17180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( ( S  |`  A ) `  n
) )
50 fvres 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
5249, 51eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( S `  n
) )
534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5453ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
559subg0cl 16336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  -.  n  e.  A )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5852, 57ifclda 3976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  e.  ( S `  n ) )
5910, 18, 20, 21dprdffiOLD 17181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
61 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( I  \ 
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  -.  n  e.  ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
6360, 62eldifd 3482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
64 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
6623, 65suppssrOLD 6022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6766adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6863, 67syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6968ifeq1da 3974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  ) )
70 ifid 3981 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
7169, 70syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
7271suppss2OLD 6529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
73 ssfi 7759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
7459, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
7544, 34, 45, 58, 74dprdwdOLD 17178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  W
)
7644, 34, 45, 75, 22dprdffOLD 17179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) : I --> ( Base `  G
) )
7744, 34, 45, 75, 33dprdfcntzOLD 17182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) ) )
78 eldifn 3623 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( I  \  A )  ->  -.  n  e.  A )
7978adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A
) )  ->  -.  n  e.  A )
80 iffalse 3953 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8179, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A
) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8281suppss2OLD 6529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  A )
8322, 9, 33, 37, 43, 76, 77, 82, 74gsumzresOLD 17045 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
8416, 32, 833eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
85 dmdprdsplitlemOLD.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
8685ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  e.  W )
879, 44, 34, 45, 86, 75dprdf11OLD 17197 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  <-> 
F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) ) )
8884, 87mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
8988fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) `  X )
)
90 eldifi 3622 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  X  e.  I )
9190ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  X  e.  I )
92 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
n  e.  A  <->  X  e.  A ) )
93 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
f `  n )  =  ( f `  X ) )
9492, 93ifbieq1d 3967 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( X  e.  A , 
( f `  X
) ,  .0.  )
)
95 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)
96 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
97 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
989, 97eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
9996, 98ifex 4013 . . . . 5  |-  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  _V
10094, 95, 99fvmpt3i 5960 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
10191, 100syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
102 eldifn 3623 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
103102ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  -.  X  e.  A )
104 iffalse 3953 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  A  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
105103, 104syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
10689, 101, 1053eqtrd 2502 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
10715, 106rexlimddv 2953 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008    |` cres 5010   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   X_cixp 7488   Fincfn 7535   Basecbs 14644   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046   Grpcgrp 16180  SubGrpcsubg 16322  Cntzccntz 16480   DProd cdprd 17151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-gim 16434  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-cmn 16927  df-dprd 17153
This theorem is referenced by:  dprddisj2OLD  17215
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