MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlemOLD Structured version   Unicode version

Theorem dmdprdsplitlemOLD 16957
Description: Lemma for dmdprdsplit 16968. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dmdprdsplitlem 16956 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlemOLD.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplitlemOLD.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
dmdprdsplitlemOLD.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dmdprdsplitlemOLD.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dmdprdsplitlemOLD.3  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
dmdprdsplitlemOLD.4  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dmdprdsplitlemOLD.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlemOLD  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , h    h, i, A    h, G, i    h, I, i    h, F    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    F( i)    W( h, i)    X( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlemOLD
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlemOLD.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
2 dmdprdsplitlemOLD.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dmdprdsplitlemOLD.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
42, 3dprdf2 16913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5 dmdprdsplitlemOLD.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
6 fssres 5757 . . . . . . 7  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  A  C_  I )  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )
)
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G ) )
8 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
9 dmdprdsplitlemOLD.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
119, 10eldprdOLD 16910 . . . . . 6  |-  ( dom  ( S  |`  A )  =  A  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  f ) ) ) )
127, 8, 113syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <-> 
( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
131, 12mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )
1413simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1514adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  f ) )
16 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1713simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
197, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
21 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2310, 18, 20, 21, 22dprdffOLD 16924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f : A --> ( Base `  G
) )
2423feqmptd 5927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
255ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  C_  I )
26 resmpt 5329 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
28 iftrue 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  ( f `  n ) )
2928mpteq2ia 4535 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  A  |->  ( f `
 n ) )
3027, 29syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
3124, 30eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  |`  A ) )
3231oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) ) )
33 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
342ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  S )
35 dprdgrp 16911 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
36 grpmnd 15934 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
38 reldmdprd 16901 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  dom DProd
3938brrelex2i 5047 . . . . . . . . . 10  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
40 dmexg 6726 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
412, 39, 403syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
423, 41eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4342ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  I  e.  _V )
44 dmdprdsplitlemOLD.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
453ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  S  =  I )
4618adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
4720adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
48 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )
4910, 46, 47, 48dprdfclOLD 16925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( ( S  |`  A ) `  n
) )
50 fvres 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
5249, 51eleqtrd 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( S `  n
) )
534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5453ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
559subg0cl 16081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  -.  n  e.  A )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5852, 57ifclda 3977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  e.  ( S `  n ) )
5910, 18, 20, 21dprdffiOLD 16926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
61 eldifn 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( I  \ 
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  -.  n  e.  ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
6360, 62eldifd 3492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
64 ssid 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
6623, 65suppssrOLD 6022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6766adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6863, 67syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6968ifeq1da 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  ) )
70 ifid 3982 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
7169, 70syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
7271suppss2OLD 6525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
73 ssfi 7752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
7459, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
7544, 34, 45, 58, 74dprdwdOLD 16923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  W
)
7644, 34, 45, 75, 22dprdffOLD 16924 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) : I --> ( Base `  G
) )
7744, 34, 45, 75, 33dprdfcntzOLD 16927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) ) )
78 eldifn 3632 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( I  \  A )  ->  -.  n  e.  A )
7978adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A
) )  ->  -.  n  e.  A )
80 iffalse 3954 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8179, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A
) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8281suppss2OLD 6525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  A )
8322, 9, 33, 37, 43, 76, 77, 82, 74gsumzresOLD 16791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
8416, 32, 833eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
85 dmdprdsplitlemOLD.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
8685ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  e.  W )
879, 44, 34, 45, 86, 75dprdf11OLD 16942 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  <-> 
F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) ) )
8884, 87mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
8988fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) `  X )
)
90 eldifi 3631 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  X  e.  I )
9190ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  X  e.  I )
92 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
n  e.  A  <->  X  e.  A ) )
93 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
f `  n )  =  ( f `  X ) )
9492, 93ifbieq1d 3968 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( X  e.  A , 
( f `  X
) ,  .0.  )
)
95 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)
96 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
97 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
989, 97eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
9996, 98ifex 4014 . . . . 5  |-  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  _V
10094, 95, 99fvmpt3i 5961 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
10191, 100syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
102 eldifn 3632 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
103102ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  -.  X  e.  A )
104 iffalse 3954 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  A  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
105103, 104syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
10689, 101, 1053eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
10715, 106rexlimddv 2963 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   dom cdm 5005    |` cres 5007   "cima 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   X_cixp 7481   Fincfn 7528   Basecbs 14507   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15925  SubGrpcsubg 16067  Cntzccntz 16225   DProd cdprd 16897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-gim 16179  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-cmn 16673  df-dprd 16899
This theorem is referenced by:  dprddisj2OLD  16960
  Copyright terms: Public domain W3C validator