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Theorem dmdprdsplitlemOLD 17403
Description: Lemma for dmdprdsplit 17414. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dmdprdsplitlem 17402 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlemOLD.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplitlemOLD.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
dmdprdsplitlemOLD.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dmdprdsplitlemOLD.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dmdprdsplitlemOLD.3  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
dmdprdsplitlemOLD.4  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dmdprdsplitlemOLD.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlemOLD  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , h    h, i, A    h, G, i    h, I, i    h, F    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    F( i)    W( h, i)    X( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlemOLD
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlemOLD.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
2 dmdprdsplitlemOLD.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dmdprdsplitlemOLD.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
42, 3dprdf2 17358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5 dmdprdsplitlemOLD.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
6 fssres 5733 . . . . . . 7  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  A  C_  I )  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )
)
74, 5, 6syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G ) )
8 fdm 5717 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
9 dmdprdsplitlemOLD.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
119, 10eldprdOLD 17355 . . . . . 6  |-  ( dom  ( S  |`  A )  =  A  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  f ) ) ) )
127, 8, 113syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <-> 
( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
131, 12mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )
1413simprd 461 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1514adantr 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  ( G  gsumg  F )  =  ( G 
gsumg  f ) )
16 simprr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1713simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
197, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
21 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )
22 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2310, 18, 20, 21, 22dprdffOLD 17370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f : A --> ( Base `  G
) )
2423feqmptd 5901 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
255ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  C_  I )
26 resmpt 5142 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
28 iftrue 3890 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  ( f `  n ) )
2928mpteq2ia 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  A  |->  ( f `
 n ) )
3027, 29syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
3124, 30eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  |`  A ) )
3231oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) ) )
33 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
342ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  S )
35 dprdgrp 17356 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
36 grpmnd 16384 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
38 reldmdprd 17346 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  dom DProd
3938brrelex2i 4864 . . . . . . . . . 10  |-  ( G dom DProd  S  ->  S  e. 
_V )
40 dmexg 6714 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  dom  S  e.  _V )
412, 39, 403syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  S  e.  _V )
423, 41eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4342ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  I  e.  _V )
44 dmdprdsplitlemOLD.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  ( `' h " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }
453ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  S  =  I )
4618adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
4720adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
48 simplrl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin } )
4910, 46, 47, 48dprdfclOLD 17371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( ( S  |`  A ) `  n
) )
50 fvres 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
5150adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
5249, 51eleqtrd 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( S `  n
) )
534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5453ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G )
)
559subg0cl 16531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5756adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  -.  n  e.  A )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5852, 57ifclda 3916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  e.  ( S `  n ) )
5910, 18, 20, 21dprdffiOLD 17372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
60 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
61 eldifn 3565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( I  \ 
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
6261ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  -.  n  e.  ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
6360, 62eldifd 3424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
64 ssid 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
6623, 65suppssrOLD 5998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6766adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6863, 67syldan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  ( `' h "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
6968ifeq1da 3914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  ) )
70 ifid 3921 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
7169, 70syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
7271suppss2OLD 6510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
73 ssfi 7774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
7459, 72, 73syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
7544, 34, 45, 58, 74dprdwdOLD 17369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  W
)
7644, 34, 45, 75, 22dprdffOLD 17370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) : I --> ( Base `  G
) )
7744, 34, 45, 75, 33dprdfcntzOLD 17373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) ) )
78 eldifn 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( I  \  A )  ->  -.  n  e.  A )
7978adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A
) )  ->  -.  n  e.  A )
80 iffalse 3893 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A
) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8281suppss2OLD 6510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( `' ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  A )
8322, 9, 33, 37, 43, 76, 77, 82, 74gsumzresOLD 17240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
8416, 32, 833eqtrd 2447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
85 dmdprdsplitlemOLD.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
8685ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  e.  W )
879, 44, 34, 45, 86, 75dprdf11OLD 17388 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  <-> 
F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) ) )
8884, 87mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
8988fveq1d 5850 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) `  X )
)
90 eldifi 3564 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  X  e.  I )
9190ad2antlr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  X  e.  I )
92 eleq1 2474 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
n  e.  A  <->  X  e.  A ) )
93 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
f `  n )  =  ( f `  X ) )
9492, 93ifbieq1d 3907 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( X  e.  A , 
( f `  X
) ,  .0.  )
)
95 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)
96 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
97 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
989, 97eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
9996, 98ifex 3952 . . . . 5  |-  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  _V
10094, 95, 99fvmpt3i 5936 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
10191, 100syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
102 eldifn 3565 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
103102ad2antlr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  -.  X  e.  A )
104 iffalse 3893 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  A  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
105103, 104syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
10689, 101, 1053eqtrd 2447 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  ( `' h " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
10715, 106rexlimddv 2899 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   ifcif 3884   {csn 3971   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4821   dom cdm 4822    |` cres 4824   "cima 4825   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   X_cixp 7506   Fincfn 7553   Basecbs 14839   0gc0g 15052    gsumg cgsu 15053   Mndcmnd 16241   Grpcgrp 16375  SubGrpcsubg 16517  Cntzccntz 16675   DProd cdprd 17342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-gim 16629  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-cmn 17122  df-dprd 17344
This theorem is referenced by:  dprddisj2OLD  17406
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