Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlemOLD Structured version   Unicode version

Theorem dmdprdsplitlemOLD 17403
 Description: Lemma for dmdprdsplit 17414. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of dmdprdsplitlem 17402 as of 14-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlemOLD.0
dmdprdsplitlemOLD.w
dmdprdsplitlemOLD.1 DProd
dmdprdsplitlemOLD.2
dmdprdsplitlemOLD.3
dmdprdsplitlemOLD.4
dmdprdsplitlemOLD.5 g DProd
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlemOLD
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dmdprdsplitlemOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlemOLD.5 . . . . 5 g DProd
2 dmdprdsplitlemOLD.1 . . . . . . . 8 DProd
3 dmdprdsplitlemOLD.2 . . . . . . . 8
42, 3dprdf2 17358 . . . . . . 7 SubGrp
5 dmdprdsplitlemOLD.3 . . . . . . 7
6 fssres 5733 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
74, 5, 6syl2anc 659 . . . . . 6 SubGrp
8 fdm 5717 . . . . . 6 SubGrp
9 dmdprdsplitlemOLD.0 . . . . . . 7
10 eqid 2402 . . . . . . 7
119, 10eldprdOLD 17355 . . . . . 6 g DProd DProd g g
127, 8, 113syl 20 . . . . 5 g DProd DProd g g
131, 12mpbid 210 . . . 4 DProd g g
1413simprd 461 . . 3 g g
1514adantr 463 . 2 g g
16 simprr 758 . . . . . 6 g g g g
1713simpld 457 . . . . . . . . . . 11 DProd
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 g g DProd
197, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 g g
21 simprl 756 . . . . . . . . . 10 g g
22 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
2310, 18, 20, 21, 22dprdffOLD 17370 . . . . . . . . 9 g g
2423feqmptd 5901 . . . . . . . 8 g g
255ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 g g
26 resmpt 5142 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 g g
28 iftrue 3890 . . . . . . . . . 10
2928mpteq2ia 4476 . . . . . . . . 9
3027, 29syl6eq 2459 . . . . . . . 8 g g
3124, 30eqtr4d 2446 . . . . . . 7 g g
3231oveq2d 6293 . . . . . 6 g g g g
33 eqid 2402 . . . . . . 7 Cntz Cntz
342ad2antrr 724 . . . . . . . 8 g g DProd
35 dprdgrp 17356 . . . . . . . 8 DProd
36 grpmnd 16384 . . . . . . . 8
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7 g g
38 reldmdprd 17346 . . . . . . . . . . 11 DProd
3938brrelex2i 4864 . . . . . . . . . 10 DProd
40 dmexg 6714 . . . . . . . . . 10
412, 39, 403syl 20 . . . . . . . . 9
423, 41eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8
4342ad2antrr 724 . . . . . . 7 g g
44 dmdprdsplitlemOLD.w . . . . . . . 8
453ad2antrr 724 . . . . . . . 8 g g
4618adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 g g DProd
4720adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 g g
48 simplrl 762 . . . . . . . . . . . 12 g g
4910, 46, 47, 48dprdfclOLD 17371 . . . . . . . . . . 11 g g
50 fvres 5862 . . . . . . . . . . . 12
5150adantl 464 . . . . . . . . . . 11 g g
5249, 51eleqtrd 2492 . . . . . . . . . 10 g g
534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 g g SubGrp
5453ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . 12 g g SubGrp
559subg0cl 16531 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 g g
5756adantr 463 . . . . . . . . . 10 g g
5852, 57ifclda 3916 . . . . . . . . 9 g g
5910, 18, 20, 21dprdffiOLD 17372 . . . . . . . . . 10 g g
60 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g
61 eldifn 3565 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g
6360, 62eldifd 3424 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
64 ssid 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g g
6623, 65suppssrOLD 5998 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g
6766adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
6863, 67syldan 468 . . . . . . . . . . . . 13 g g
6968ifeq1da 3914 . . . . . . . . . . . 12 g g
70 ifid 3921 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11 g g
7271suppss2OLD 6510 . . . . . . . . . 10 g g
73 ssfi 7774 . . . . . . . . . 10
7459, 72, 73syl2anc 659 . . . . . . . . 9 g g
7544, 34, 45, 58, 74dprdwdOLD 17369 . . . . . . . 8 g g
7644, 34, 45, 75, 22dprdffOLD 17370 . . . . . . 7 g g
7744, 34, 45, 75, 33dprdfcntzOLD 17373 . . . . . . 7 g g Cntz
78 eldifn 3565 . . . . . . . . . 10
7978adantl 464 . . . . . . . . 9 g g
80 iffalse 3893 . . . . . . . . 9
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 g g
8281suppss2OLD 6510 . . . . . . 7 g g
8322, 9, 33, 37, 43, 76, 77, 82, 74gsumzresOLD 17240 . . . . . 6 g g g g
8416, 32, 833eqtrd 2447 . . . . 5 g g g g
85 dmdprdsplitlemOLD.4 . . . . . . 7
8685ad2antrr 724 . . . . . 6 g g
879, 44, 34, 45, 86, 75dprdf11OLD 17388 . . . . 5 g g g g
8884, 87mpbid 210 . . . 4 g g
8988fveq1d 5850 . . 3 g g
90 eldifi 3564 . . . . 5
9190ad2antlr 725 . . . 4 g g
92 eleq1 2474 . . . . . 6
93 fveq2 5848 . . . . . 6
9492, 93ifbieq1d 3907 . . . . 5
95 eqid 2402 . . . . 5
96 fvex 5858 . . . . . 6
97 fvex 5858 . . . . . . 7
989, 97eqeltri 2486 . . . . . 6
9996, 98ifex 3952 . . . . 5
10094, 95, 99fvmpt3i 5936 . . . 4
10191, 100syl 17 . . 3 g g
102 eldifn 3565 . . . . 5
103102ad2antlr 725 . . . 4 g g
104 iffalse 3893 . . . 4
105103, 104syl 17 . . 3 g g
10689, 101, 1053eqtrd 2447 . 2 g g
10715, 106rexlimddv 2899 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2754  crab 2757  cvv 3058   cdif 3410   wss 3413  cif 3884  csn 3971   class class class wbr 4394   cmpt 4452  ccnv 4821   cdm 4822   cres 4824  cima 4825  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277  cixp 7506  cfn 7553  cbs 14839  c0g 15052   g cgsu 15053  cmnd 16241  cgrp 16375  SubGrpcsubg 16517  Cntzccntz 16675   DProd cdprd 17342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-gim 16629  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-cmn 17122  df-dprd 17344 This theorem is referenced by:  dprddisj2OLD  17406
 Copyright terms: Public domain W3C validator