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Theorem dmdprdsplitlem 16874
Description: Lemma for dmdprdsplit 16886. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplitlem.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
dmdprdsplitlem.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dmdprdsplitlem.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dmdprdsplitlem.3  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
dmdprdsplitlem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dmdprdsplitlem.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , h    h, i, A    h, G, i    h, I, i    h, F    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    F( i)    W( h, i)    X( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
42, 3dprdf2 16831 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
6 fssres 5749 . . . . . . 7  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  A  C_  I )  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )
)
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G ) )
8 fdm 5733 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
9 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  =  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }
119, 10eldprd 16826 . . . . . 6  |-  ( dom  ( S  |`  A )  =  A  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
127, 8, 113syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <-> 
( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
131, 12mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )
1413simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1514adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
16 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1713simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
197, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
21 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  } )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2310, 18, 20, 21, 22dprdff 16836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f : A --> ( Base `  G
) )
2423feqmptd 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
255ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  C_  I )
26 resmpt 5321 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
28 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  ( f `  n ) )
2928mpteq2ia 4529 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  A  |->  ( f `
 n ) )
3027, 29syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
3124, 30eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  |`  A ) )
3231oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) ) )
33 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
342ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  S )
35 dprdgrp 16829 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
36 grpmnd 15863 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
382, 3dprddomcld 16823 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
3938ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  I  e.  _V )
40 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
413ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  S  =  I )
4218adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  G dom DProd  ( S  |`  A )
)
4320adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
44 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  } )
4510, 42, 43, 44dprdfcl 16837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( ( S  |`  A ) `  n
) )
46 fvres 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
4845, 47eleqtrd 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( S `  n
) )
494ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5049ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G ) )
519subg0cl 16004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  -.  n  e.  A )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5448, 53ifclda 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  if (
n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
55 mptexg 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  _V  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
5638, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  e. 
_V )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
58 funmpt 5622 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  Fun  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )
6010, 18, 20, 21dprdffsupp 16838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f finSupp  .0.  )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
62 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( I  \ 
( f supp  .0.  )
)  ->  -.  n  e.  ( f supp  .0.  )
)
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  -.  n  e.  ( f supp  .0.  )
)
6461, 63eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  ( A  \  (
f supp  .0.  ) )
)
65 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f supp 
.0.  )  C_  (
f supp  .0.  )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
f supp  .0.  )  C_  ( f supp  .0.  )
)
6738, 5ssexd 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  e.  _V )
69 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
709, 69eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  e.  _V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
7223, 66, 68, 71suppssr 6928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7372adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7464, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7574ifeq1da 3969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  ) )
76 ifid 3976 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
7775, 76syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
7877, 39suppss2 6931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  ( f supp  .0.  ) )
79 fsuppsssupp 7841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) supp 
.0.  )  C_  (
f supp  .0.  ) )
)  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) finSupp  .0.  )
8057, 59, 60, 78, 79syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
8140, 34, 41, 54, 80dprdwd 16835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  W
)
8240, 34, 41, 81, 22dprdff 16836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) : I --> ( Base `  G
) )
8340, 34, 41, 81, 33dprdfcntz 16839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) ) )
84 eldifn 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( I  \  A )  ->  -.  n  e.  A )
8584adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A ) )  ->  -.  n  e.  A )
86 iffalse 3948 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8785, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A ) )  ->  if (
n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  =  .0.  )
8887, 39suppss2 6931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  A )
8922, 9, 33, 37, 39, 82, 83, 88, 80gsumzres 16705 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
9016, 32, 893eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
91 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
9291ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  e.  W )
939, 40, 34, 41, 92, 81dprdf11 16853 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  <-> 
F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) ) )
9490, 93mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
9594fveq1d 5866 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) `  X )
)
96 eldifi 3626 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  X  e.  I )
9796ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  X  e.  I )
98 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
n  e.  A  <->  X  e.  A ) )
99 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
f `  n )  =  ( f `  X ) )
10098, 99ifbieq1d 3962 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( X  e.  A , 
( f `  X
) ,  .0.  )
)
101 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)
102 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
103102, 70ifex 4008 . . . . 5  |-  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  _V
104100, 101, 103fvmpt3i 5952 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
10597, 104syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
106 eldifn 3627 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
107106ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  -.  X  e.  A )
108 iffalse 3948 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  A  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
109107, 108syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
11095, 105, 1093eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
11115, 110rexlimddv 2959 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    |` cres 5001   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supp csupp 6898   X_cixp 7466   finSupp cfsupp 7825   Basecbs 14486   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692   Mndcmnd 15722   Grpcgrp 15723  SubGrpcsubg 15990  Cntzccntz 16148   DProd cdprd 16815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-cntz 16150  df-oppg 16176  df-cmn 16596  df-dprd 16817
This theorem is referenced by:  dprddisj2  16877
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