Theorem dmdprdsplitlem 17210

Description: Lemma for dmdprdsplit 17222. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdsplitlem.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplitlem.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
dmdprdsplitlem.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dmdprdsplitlem.2	|- ( ph -> dom S = I )
dmdprdsplitlem.3	|- ( ph -> A C_ I )
dmdprdsplitlem.4	|- ( ph -> F e. W )
dmdprdsplitlem.5	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplitlem	|- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , h   h, i, A   h, G, i   h, I, i   h, F   S, h, i

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   F( i)   W( h, i)   X( h, i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem

Dummy variables f n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdsplitlem.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )
2		dmdprdsplitlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd S )
3		dmdprdsplitlem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom S = I )
4	2, 3	dprdf2 17166	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
5		dmdprdsplitlem.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ I )
6	4, 5	fssresd 5758	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) )
7		fdm 5741	. . . . . 6 |- ( ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` A ) = A )
8		dmdprdsplitlem.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
9		eqid 2457	. . . . . . 7 |- { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } = { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. }
10	8, 9	eldprd 17161	. . . . . 6 |- ( dom ( S |` A ) = A -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
11	6, 7, 10	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
12	1, 11	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) )
13	12	simprd 463	. . 3 |- ( ph -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
14	13	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
15		simprr 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
16	12	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` A ) )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
18	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` A ) = A )
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom ( S |` A ) = A )
20		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
21		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
22	9, 17, 19, 20, 21	dprdff 17172	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f : A --> ( Base ` G ) )
23	22	feqmptd 5926	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
24	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A C_ I )
25	24	resmptd 5335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
26		iftrue 3950	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = ( f ` n ) )
27	26	mpteq2ia 4539	. . . . . . . . 9 |- ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) )
28	25, 27	syl6eq 2514	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
29	23, 28	eqtr4d 2501	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) )
30	29	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) )
31		eqid 2457	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
32	2	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd S )
33		dprdgrp 17164	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
34		grpmnd 16188	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
35	32, 33, 34	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G e. Mnd )
36	2, 3	dprddomcld 17158	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
37	36	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> I e. _V )
38		dmdprdsplitlem.w	. . . . . . . 8 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
39	3	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom S = I )
40	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
41	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> dom ( S |` A ) = A )
42		simplrl 761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
43	9, 40, 41, 42	dprdfcl 17173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( ( S |` A ) ` n ) )
44		fvres 5886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
45	44	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
46	43, 45	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( S ` n ) )
47	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
48	47	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
49	8	subg0cl 16335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ -. n e. A ) -> .0. e. ( S ` n ) )
52	46, 51	ifclda 3976	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. ( S ` n ) )
53		mptexg 6143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. _V -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
54	36, 53	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
56		funmpt 5630	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
58	9, 17, 19, 20	dprdffsupp 17174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f finSupp .0. )
59		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. A )
60		eldifn 3623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
61	60	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
62	59, 61	eldifd 3482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) )
63		ssid 3518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
65	36, 5	ssexd 4603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. _V )
66	65	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A e. _V )
67		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0g ` G ) e. _V
68	8, 67	eqeltri 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .0. e. _V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> .0. e. _V )
70	22, 64, 66, 69	suppssr 6949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
71	70	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
72	62, 71	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) = .0. )
73	72	ifeq1da 3974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( n e. A , .0. , .0. ) )
74		ifid 3981	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( n e. A , .0. , .0. ) = .0.
75	73, 74	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
76	75, 37	suppss2 6952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
77		fsuppsssupp 7863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
78	55, 57, 58, 76, 77	syl22anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
79	38, 32, 39, 52, 78	dprdwd 17170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. W )
80	38, 32, 39, 79, 21	dprdff 17172	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) : I --> ( Base ` G ) )
81	38, 32, 39, 79, 31	dprdfcntz 17175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
82		eldifn 3623	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( I \ A ) -> -. n e. A )
83	82	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> -. n e. A )
84	83	iffalsed 3955	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
85	84, 37	suppss2 6952	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ A )
86	21, 8, 31, 35, 37, 80, 81, 85, 78	gsumzres 17040	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
87	15, 30, 86	3eqtrd 2502	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
88		dmdprdsplitlem.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
89	88	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F e. W )
90	8, 38, 32, 39, 89, 79	dprdf11 17189	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) <-> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
91	87, 90	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
92	91	fveq1d 5874	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) )
93		eldifi 3622	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> X e. I )
94	93	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> X e. I )
95		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( n e. A <-> X e. A ) )
96		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( f ` n ) = ( f ` X ) )
97	95, 96	ifbieq1d 3967	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
98		eqid 2457	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
99		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( f ` n ) e. _V
100	99, 68	ifex 4013	. . . . 5 |- if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. _V
101	97, 98, 100	fvmpt3i 5960	. . . 4 |- ( X e. I -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
102	94, 101	syl 16	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
103		eldifn 3623	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> -. X e. A )
104	103	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> -. X e. A )
105	104	iffalsed 3955	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) = .0. )
106	92, 102, 105	3eqtrd 2502	. 2 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = .0. )
107	14, 106	rexlimddv 2953	1 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   |` cres 5010   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supp csupp 6917   X_cixp 7488   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14643   0gc0g 14856   gsum_g cgsu 14857   Mndcmnd 16045   Grpcgrp 16179  SubGrpcsubg 16321  Cntzccntz 16479   DProd cdprd 17150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-cmn 16926  df-dprd 17152

This theorem is referenced by:  dprddisj2  17213