Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dmdprdsplitlem 17670
 Description: Lemma for dmdprdsplit 17680. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0
dmdprdsplitlem.w finSupp
dmdprdsplitlem.1 DProd
dmdprdsplitlem.2
dmdprdsplitlem.3
dmdprdsplitlem.4
dmdprdsplitlem.5 g DProd
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5 g DProd
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8 DProd
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8
42, 3dprdf2 17639 . . . . . . 7 SubGrp
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7
64, 5fssresd 5750 . . . . . 6 SubGrp
7 fdm 5733 . . . . . 6 SubGrp
8 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7
9 eqid 2451 . . . . . . 7 finSupp finSupp
108, 9eldprd 17636 . . . . . 6 g DProd DProd finSupp g g
116, 7, 103syl 18 . . . . 5 g DProd DProd finSupp g g
121, 11mpbid 214 . . . 4 DProd finSupp g g
1312simprd 465 . . 3 finSupp g g
1413adantr 467 . 2 finSupp g g
15 simprr 766 . . . . . 6 finSupp g g g g
1612simpld 461 . . . . . . . . . . 11 DProd
1716ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 finSupp g g DProd
186, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11
1918ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
20 simprl 764 . . . . . . . . . 10 finSupp g g finSupp
21 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
229, 17, 19, 20, 21dprdff 17645 . . . . . . . . 9 finSupp g g
2322feqmptd 5918 . . . . . . . 8 finSupp g g
245ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
2524resmptd 5156 . . . . . . . . 9 finSupp g g
26 iftrue 3887 . . . . . . . . . 10
2726mpteq2ia 4485 . . . . . . . . 9
2825, 27syl6eq 2501 . . . . . . . 8 finSupp g g
2923, 28eqtr4d 2488 . . . . . . 7 finSupp g g
3029oveq2d 6306 . . . . . 6 finSupp g g g g
31 eqid 2451 . . . . . . 7 Cntz Cntz
322ad2antrr 732 . . . . . . . 8 finSupp g g DProd
33 dprdgrp 17637 . . . . . . . 8 DProd
34 grpmnd 16678 . . . . . . . 8
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 finSupp g g
362, 3dprddomcld 17633 . . . . . . . 8
3736ad2antrr 732 . . . . . . 7 finSupp g g
38 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8 finSupp
393ad2antrr 732 . . . . . . . 8 finSupp g g
4017adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g DProd
4119adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g
42 simplrl 770 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g finSupp
439, 40, 41, 42dprdfcl 17646 . . . . . . . . . . 11 finSupp g g
44 fvres 5879 . . . . . . . . . . . 12
4544adantl 468 . . . . . . . . . . 11 finSupp g g
4643, 45eleqtrd 2531 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
474ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp g g SubGrp
4847ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g SubGrp
498subg0cl 16825 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 finSupp g g
5150adantr 467 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
5246, 51ifclda 3913 . . . . . . . . 9 finSupp g g
53 mptexg 6135 . . . . . . . . . . . 12
5436, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11
5554ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
56 funmpt 5618 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
589, 17, 19, 20dprdffsupp 17647 . . . . . . . . . 10 finSupp g g finSupp
59 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp g g supp
60 eldifn 3556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 supp supp
6160ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp g g supp supp
6259, 61eldifd 3415 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp g g supp supp
63 ssid 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 supp supp
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp g g supp supp
6536, 5ssexd 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp g g
67 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
688, 67eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp g g
7022, 64, 66, 69suppssr 6946 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp g g supp
7170adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp g g supp supp
7262, 71syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp g g supp
7372ifeq1da 3911 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g supp
74 ifid 3918 . . . . . . . . . . . 12
7573, 74syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11 finSupp g g supp
7675, 37suppss2 6949 . . . . . . . . . 10 finSupp g g supp supp
77 fsuppsssupp 7899 . . . . . . . . . 10 finSupp supp supp finSupp
7855, 57, 58, 76, 77syl22anc 1269 . . . . . . . . 9 finSupp g g finSupp
7938, 32, 39, 52, 78dprdwd 17643 . . . . . . . 8 finSupp g g
8038, 32, 39, 79, 21dprdff 17645 . . . . . . 7 finSupp g g
8138, 32, 39, 79, 31dprdfcntz 17648 . . . . . . 7 finSupp g g Cntz
82 eldifn 3556 . . . . . . . . . 10
8382adantl 468 . . . . . . . . 9 finSupp g g
8483iffalsed 3892 . . . . . . . 8 finSupp g g
8584, 37suppss2 6949 . . . . . . 7 finSupp g g supp
8621, 8, 31, 35, 37, 80, 81, 85, 78gsumzres 17543 . . . . . 6 finSupp g g g g
8715, 30, 863eqtrd 2489 . . . . 5 finSupp g g g g
88 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7
8988ad2antrr 732 . . . . . 6 finSupp g g
908, 38, 32, 39, 89, 79dprdf11 17656 . . . . 5 finSupp g g g g
9187, 90mpbid 214 . . . 4 finSupp g g
9291fveq1d 5867 . . 3 finSupp g g
93 eldifi 3555 . . . . 5
9493ad2antlr 733 . . . 4 finSupp g g
95 eleq1 2517 . . . . . 6
96 fveq2 5865 . . . . . 6
9795, 96ifbieq1d 3904 . . . . 5
98 eqid 2451 . . . . 5
99 fvex 5875 . . . . . 6
10099, 68ifex 3949 . . . . 5
10197, 98, 100fvmpt3i 5953 . . . 4
10294, 101syl 17 . . 3 finSupp g g
103 eldifn 3556 . . . . 5
104103ad2antlr 733 . . . 4 finSupp g g
105104iffalsed 3892 . . 3 finSupp g g
10692, 102, 1053eqtrd 2489 . 2 finSupp g g
10714, 106rexlimddv 2883 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wrex 2738  crab 2741  cvv 3045   cdif 3401   wss 3404  cif 3881   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cdm 4834   cres 4836   wfun 5576  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   supp csupp 6914  cixp 7522   finSupp cfsupp 7883  cbs 15121  c0g 15338   g cgsu 15339  cmnd 16535  cgrp 16669  SubGrpcsubg 16811  Cntzccntz 16969   DProd cdprd 17625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-cmn 17432  df-dprd 17627 This theorem is referenced by:  dprddisj2  17672
 Copyright terms: Public domain W3C validator