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Theorem dmdprdsplitlem 17670
Description: Lemma for dmdprdsplit 17680. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplitlem.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
dmdprdsplitlem.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dmdprdsplitlem.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dmdprdsplitlem.3  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
dmdprdsplitlem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dmdprdsplitlem.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , h    h, i, A    h, G, i    h, I, i    h, F    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    F( i)    W( h, i)    X( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
42, 3dprdf2 17639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
64, 5fssresd 5750 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G ) )
7 fdm 5733 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
8 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  =  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }
108, 9eldprd 17636 . . . . . 6  |-  ( dom  ( S  |`  A )  =  A  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
116, 7, 103syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <-> 
( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
121, 11mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )
1312simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1413adantr 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
15 simprr 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1612simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
1716ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
186, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
1918ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
20 simprl 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  } )
21 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
229, 17, 19, 20, 21dprdff 17645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f : A --> ( Base `  G
) )
2322feqmptd 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
245ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  C_  I )
2524resmptd 5156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
26 iftrue 3887 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  ( f `  n ) )
2726mpteq2ia 4485 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  A  |->  ( f `
 n ) )
2825, 27syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
2923, 28eqtr4d 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  |`  A ) )
3029oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) ) )
31 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
322ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  S )
33 dprdgrp 17637 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
34 grpmnd 16678 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
362, 3dprddomcld 17633 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
3736ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  I  e.  _V )
38 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
393ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  S  =  I )
4017adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  G dom DProd  ( S  |`  A )
)
4119adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
42 simplrl 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  } )
439, 40, 41, 42dprdfcl 17646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( ( S  |`  A ) `  n
) )
44 fvres 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
4544adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
4643, 45eleqtrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( S `  n
) )
474ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
4847ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G ) )
498subg0cl 16825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5150adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  -.  n  e.  A )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5246, 51ifclda 3913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  if (
n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
53 mptexg 6135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  _V  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
5436, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  e. 
_V )
5554ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
56 funmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  Fun  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )
589, 17, 19, 20dprdffsupp 17647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f finSupp  .0.  )
59 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
60 eldifn 3556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( I  \ 
( f supp  .0.  )
)  ->  -.  n  e.  ( f supp  .0.  )
)
6160ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  -.  n  e.  ( f supp  .0.  )
)
6259, 61eldifd 3415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  ( A  \  (
f supp  .0.  ) )
)
63 ssid 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f supp 
.0.  )  C_  (
f supp  .0.  )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
f supp  .0.  )  C_  ( f supp  .0.  )
)
6536, 5ssexd 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6665ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  e.  _V )
67 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
688, 67eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
7022, 64, 66, 69suppssr 6946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7170adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7262, 71syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7372ifeq1da 3911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  ) )
74 ifid 3918 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
7573, 74syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
7675, 37suppss2 6949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  ( f supp  .0.  ) )
77 fsuppsssupp 7899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) supp 
.0.  )  C_  (
f supp  .0.  ) )
)  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) finSupp  .0.  )
7855, 57, 58, 76, 77syl22anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
7938, 32, 39, 52, 78dprdwd 17643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  W
)
8038, 32, 39, 79, 21dprdff 17645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) : I --> ( Base `  G
) )
8138, 32, 39, 79, 31dprdfcntz 17648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) ) )
82 eldifn 3556 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( I  \  A )  ->  -.  n  e.  A )
8382adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A ) )  ->  -.  n  e.  A )
8483iffalsed 3892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A ) )  ->  if (
n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  =  .0.  )
8584, 37suppss2 6949 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  A )
8621, 8, 31, 35, 37, 80, 81, 85, 78gsumzres 17543 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
8715, 30, 863eqtrd 2489 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
88 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
8988ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  e.  W )
908, 38, 32, 39, 89, 79dprdf11 17656 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  <-> 
F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) ) )
9187, 90mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
9291fveq1d 5867 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) `  X )
)
93 eldifi 3555 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  X  e.  I )
9493ad2antlr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  X  e.  I )
95 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
n  e.  A  <->  X  e.  A ) )
96 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
f `  n )  =  ( f `  X ) )
9795, 96ifbieq1d 3904 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( X  e.  A , 
( f `  X
) ,  .0.  )
)
98 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)
99 fvex 5875 . . . . . 6  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
10099, 68ifex 3949 . . . . 5  |-  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  _V
10197, 98, 100fvmpt3i 5953 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
10294, 101syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
103 eldifn 3556 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
104103ad2antlr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  -.  X  e.  A )
105104iffalsed 3892 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
10692, 102, 1053eqtrd 2489 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
10714, 106rexlimddv 2883 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834    |` cres 4836   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supp csupp 6914   X_cixp 7522   finSupp cfsupp 7883   Basecbs 15121   0gc0g 15338    gsumg cgsu 15339   Mndcmnd 16535   Grpcgrp 16669  SubGrpcsubg 16811  Cntzccntz 16969   DProd cdprd 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-cmn 17432  df-dprd 17627
This theorem is referenced by:  dprddisj2  17672
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