Theorem dmdprdsplitlem 16539

Description: Lemma for dmdprdsplit 16551. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdsplitlem.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplitlem.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
dmdprdsplitlem.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dmdprdsplitlem.2	|- ( ph -> dom S = I )
dmdprdsplitlem.3	|- ( ph -> A C_ I )
dmdprdsplitlem.4	|- ( ph -> F e. W )
dmdprdsplitlem.5	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplitlem	|- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , h   h, i, A   h, G, i   h, I, i   h, F   S, h, i

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   F( i)   W( h, i)   X( h, i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem

Dummy variables f n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdsplitlem.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )
2		dmdprdsplitlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd S )
3		dmdprdsplitlem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom S = I )
4	2, 3	dprdf2 16496	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
5		dmdprdsplitlem.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ I )
6		fssres 5583	. . . . . . 7 |- ( ( S : I --> (SubGrp ` G ) /\ A C_ I ) -> ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) )
8		fdm 5568	. . . . . 6 |- ( ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` A ) = A )
9		dmdprdsplitlem.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
10		eqid 2443	. . . . . . 7 |- { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } = { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. }
11	9, 10	eldprd 16491	. . . . . 6 |- ( dom ( S |` A ) = A -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
12	7, 8, 11	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
13	1, 12	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) )
14	13	simprd 463	. . 3 |- ( ph -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
15	14	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
16		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
17	13	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` A ) )
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
19	7, 8	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` A ) = A )
20	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom ( S |` A ) = A )
21		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
22		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
23	10, 18, 20, 21, 22	dprdff 16501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f : A --> ( Base ` G ) )
24	23	feqmptd 5749	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
25	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A C_ I )
26		resmpt 5161	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ I -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
28		iftrue 3802	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = ( f ` n ) )
29	28	mpteq2ia 4379	. . . . . . . . 9 |- ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) )
30	27, 29	syl6eq 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
31	24, 30	eqtr4d 2478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) )
32	31	oveq2d 6112	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) )
33		eqid 2443	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
34	2	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd S )
35		dprdgrp 16494	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
36		grpmnd 15555	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
37	34, 35, 36	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G e. Mnd )
38	2, 3	dprddomcld 16488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> I e. _V )
40		dmdprdsplitlem.w	. . . . . . . 8 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
41	3	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom S = I )
42	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
43	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> dom ( S |` A ) = A )
44		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
45	10, 42, 43, 44	dprdfcl 16502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( ( S |` A ) ` n ) )
46		fvres 5709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
48	45, 47	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( S ` n ) )
49	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
50	49	ffvelrnda 5848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
51	9	subg0cl 15694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ -. n e. A ) -> .0. e. ( S ` n ) )
54	48, 53	ifclda 3826	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. ( S ` n ) )
55		mptexg 5952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. _V -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
56	38, 55	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
57	56	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
58		funmpt 5459	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
60	10, 18, 20, 21	dprdffsupp 16503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f finSupp .0. )
61		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. A )
62		eldifn 3484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
63	62	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
64	61, 63	eldifd 3344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) )
65		ssid 3380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
67	38, 5	ssexd 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. _V )
68	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A e. _V )
69		fvex 5706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0g ` G ) e. _V
70	9, 69	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .0. e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> .0. e. _V )
72	23, 66, 68, 71	suppssr 6725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
73	72	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
74	64, 73	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) = .0. )
75	74	ifeq1da 3824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( n e. A , .0. , .0. ) )
76		ifid 3831	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( n e. A , .0. , .0. ) = .0.
77	75, 76	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
78	77, 39	suppss2 6728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
79		fsuppsssupp 7641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
80	57, 59, 60, 78, 79	syl22anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
81	40, 34, 41, 54, 80	dprdwd 16500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. W )
82	40, 34, 41, 81, 22	dprdff 16501	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) : I --> ( Base ` G ) )
83	40, 34, 41, 81, 33	dprdfcntz 16504	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
84		eldifn 3484	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( I \ A ) -> -. n e. A )
85	84	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> -. n e. A )
86		iffalse 3804	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. A -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
88	87, 39	suppss2 6728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ A )
89	22, 9, 33, 37, 39, 82, 83, 88, 80	gsumzres 16393	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
90	16, 32, 89	3eqtrd 2479	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
91		dmdprdsplitlem.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
92	91	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F e. W )
93	9, 40, 34, 41, 92, 81	dprdf11 16518	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) <-> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
94	90, 93	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
95	94	fveq1d 5698	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) )
96		eldifi 3483	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> X e. I )
97	96	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> X e. I )
98		eleq1 2503	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( n e. A <-> X e. A ) )
99		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( f ` n ) = ( f ` X ) )
100	98, 99	ifbieq1d 3817	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
101		eqid 2443	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
102		fvex 5706	. . . . . 6 |- ( f ` n ) e. _V
103	102, 70	ifex 3863	. . . . 5 |- if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. _V
104	100, 101, 103	fvmpt3i 5783	. . . 4 |- ( X e. I -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
105	97, 104	syl 16	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
106		eldifn 3484	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> -. X e. A )
107	106	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> -. X e. A )
108		iffalse 3804	. . . 4 |- ( -. X e. A -> if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) = .0. )
109	107, 108	syl 16	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) = .0. )
110	95, 105, 109	3eqtrd 2479	. 2 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = .0. )
111	15, 110	rexlimddv 2850	1 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   dom cdm 4845   |` cres 4847   Fun wfun 5417   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supp csupp 6695   X_cixp 7268   finSupp cfsupp 7625   Basecbs 14179   0gc0g 14383   gsum_g cgsu 14384   Mndcmnd 15414   Grpcgrp 15415  SubGrpcsubg 15680  Cntzccntz 15838   DProd cdprd 16480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-gim 15792  df-cntz 15840  df-oppg 15866  df-cmn 16284  df-dprd 16482

This theorem is referenced by:  dprddisj2  16542