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Theorem dmdprdsplitlem 17210
Description: Lemma for dmdprdsplit 17222. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplitlem.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
dmdprdsplitlem.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dmdprdsplitlem.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dmdprdsplitlem.3  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
dmdprdsplitlem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dmdprdsplitlem.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , h    h, i, A    h, G, i    h, I, i    h, F    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    F( i)    W( h, i)    X( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
42, 3dprdf2 17166 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
64, 5fssresd 5758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G ) )
7 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
8 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  =  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }
108, 9eldprd 17161 . . . . . 6  |-  ( dom  ( S  |`  A )  =  A  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
116, 7, 103syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <-> 
( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
121, 11mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )
1312simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1413adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
15 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1612simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
186, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
20 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  } )
21 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
229, 17, 19, 20, 21dprdff 17172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f : A --> ( Base `  G
) )
2322feqmptd 5926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
245ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  C_  I )
2524resmptd 5335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
26 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  ( f `  n ) )
2726mpteq2ia 4539 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  A  |->  ( f `
 n ) )
2825, 27syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
2923, 28eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  |`  A ) )
3029oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) ) )
31 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
322ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  S )
33 dprdgrp 17164 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
34 grpmnd 16188 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3532, 33, 343syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
362, 3dprddomcld 17158 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
3736ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  I  e.  _V )
38 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
393ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  S  =  I )
4017adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  G dom DProd  ( S  |`  A )
)
4119adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
42 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  } )
439, 40, 41, 42dprdfcl 17173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( ( S  |`  A ) `  n
) )
44 fvres 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
4643, 45eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( S `  n
) )
474ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
4847ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G ) )
498subg0cl 16335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  -.  n  e.  A )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5246, 51ifclda 3976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  if (
n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
53 mptexg 6143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  _V  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
5436, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  e. 
_V )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
56 funmpt 5630 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  Fun  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )
589, 17, 19, 20dprdffsupp 17174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f finSupp  .0.  )
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
60 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( I  \ 
( f supp  .0.  )
)  ->  -.  n  e.  ( f supp  .0.  )
)
6160ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  -.  n  e.  ( f supp  .0.  )
)
6259, 61eldifd 3482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  ( A  \  (
f supp  .0.  ) )
)
63 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f supp 
.0.  )  C_  (
f supp  .0.  )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
f supp  .0.  )  C_  ( f supp  .0.  )
)
6536, 5ssexd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  e.  _V )
67 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
688, 67eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
7022, 64, 66, 69suppssr 6949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7170adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7262, 71syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7372ifeq1da 3974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  ) )
74 ifid 3981 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
7573, 74syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
7675, 37suppss2 6952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  ( f supp  .0.  ) )
77 fsuppsssupp 7863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) supp 
.0.  )  C_  (
f supp  .0.  ) )
)  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) finSupp  .0.  )
7855, 57, 58, 76, 77syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
7938, 32, 39, 52, 78dprdwd 17170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  W
)
8038, 32, 39, 79, 21dprdff 17172 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) : I --> ( Base `  G
) )
8138, 32, 39, 79, 31dprdfcntz 17175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) ) )
82 eldifn 3623 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( I  \  A )  ->  -.  n  e.  A )
8382adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A ) )  ->  -.  n  e.  A )
8483iffalsed 3955 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A ) )  ->  if (
n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  =  .0.  )
8584, 37suppss2 6952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  A )
8621, 8, 31, 35, 37, 80, 81, 85, 78gsumzres 17040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
8715, 30, 863eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
88 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
8988ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  e.  W )
908, 38, 32, 39, 89, 79dprdf11 17189 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  <-> 
F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) ) )
9187, 90mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
9291fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) `  X )
)
93 eldifi 3622 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  X  e.  I )
9493ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  X  e.  I )
95 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
n  e.  A  <->  X  e.  A ) )
96 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
f `  n )  =  ( f `  X ) )
9795, 96ifbieq1d 3967 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( X  e.  A , 
( f `  X
) ,  .0.  )
)
98 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)
99 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
10099, 68ifex 4013 . . . . 5  |-  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  _V
10197, 98, 100fvmpt3i 5960 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
10294, 101syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
103 eldifn 3623 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
104103ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  -.  X  e.  A )
105104iffalsed 3955 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
10692, 102, 1053eqtrd 2502 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
10714, 106rexlimddv 2953 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008    |` cres 5010   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supp csupp 6917   X_cixp 7488   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14643   0gc0g 14856    gsumg cgsu 14857   Mndcmnd 16045   Grpcgrp 16179  SubGrpcsubg 16321  Cntzccntz 16479   DProd cdprd 17150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-cmn 16926  df-dprd 17152
This theorem is referenced by:  dprddisj2  17213
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