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Theorem dmdprdsplitlem 16539
Description: Lemma for dmdprdsplit 16551. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplitlem.w  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
dmdprdsplitlem.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dmdprdsplitlem.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dmdprdsplitlem.3  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
dmdprdsplitlem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
dmdprdsplitlem.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , h    h, i, A    h, G, i    h, I, i    h, F    S, h, i
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    F( i)    W( h, i)    X( h, i)    .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) ) )
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
42, 3dprdf2 16496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  I )
6 fssres 5583 . . . . . . 7  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  A  C_  I )  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )
)
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G ) )
8 fdm 5568 . . . . . 6  |-  ( ( S  |`  A ) : A --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
9 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  =  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }
119, 10eldprd 16491 . . . . . 6  |-  ( dom  ( S  |`  A )  =  A  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
127, 8, 113syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( G DProd  ( S  |`  A ) )  <-> 
( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
131, 12mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  A )  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )
1413simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1514adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
16 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) )
1713simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  A ) )
197, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
21 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  } )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2310, 18, 20, 21, 22dprdff 16501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f : A --> ( Base `  G
) )
2423feqmptd 5749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
255ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  C_  I )
26 resmpt 5161 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
28 iftrue 3802 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  ( f `  n ) )
2928mpteq2ia 4379 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  A  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  A  |->  ( f `
 n ) )
3027, 29syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  |`  A )  =  ( n  e.  A  |->  ( f `  n ) ) )
3124, 30eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  |`  A ) )
3231oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) ) )
33 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
342ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G dom DProd  S )
35 dprdgrp 16494 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
36 grpmnd 15555 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
382, 3dprddomcld 16488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
3938ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  I  e.  _V )
40 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  }
413ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  dom  S  =  I )
4218adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  G dom DProd  ( S  |`  A )
)
4320adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  dom  ( S  |`  A )  =  A )
44 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  } )
4510, 42, 43, 44dprdfcl 16502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( ( S  |`  A ) `  n
) )
46 fvres 5709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
( S  |`  A ) `
 n )  =  ( S `  n
) )
4845, 47eleqtrd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  n  e.  A )  ->  (
f `  n )  e.  ( S `  n
) )
494ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
5049ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G ) )
519subg0cl 15694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  n )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  .0.  e.  ( S `  n ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  /\  -.  n  e.  A )  ->  .0.  e.  ( S `  n
) )
5448, 53ifclda 3826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  I
)  ->  if (
n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  ( S `  n
) )
55 mptexg 5952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  _V  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
5638, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  e. 
_V )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
58 funmpt 5459 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  Fun  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )
6010, 18, 20, 21dprdffsupp 16503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  f finSupp  .0.  )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
62 eldifn 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( I  \ 
( f supp  .0.  )
)  ->  -.  n  e.  ( f supp  .0.  )
)
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  -.  n  e.  ( f supp  .0.  )
)
6461, 63eldifd 3344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  ( A  \  (
f supp  .0.  ) )
)
65 ssid 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f supp 
.0.  )  C_  (
f supp  .0.  )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
f supp  .0.  )  C_  ( f supp  .0.  )
)
6738, 5ssexd 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  A  e.  _V )
69 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
709, 69eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  e.  _V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
7223, 66, 68, 71suppssr 6725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7372adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7464, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I 
\  A ) )  /\  ( f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  A  (
( S  |`  A ) `
 i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( f `  n )  =  .0.  )
7574ifeq1da 3824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  ) )
76 ifid 3831 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( n  e.  A ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
7775, 76syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  ( f supp 
.0.  ) ) )  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
7877, 39suppss2 6728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  ( f supp  .0.  ) )
79 fsuppsssupp 7641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) supp 
.0.  )  C_  (
f supp  .0.  ) )
)  ->  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) finSupp  .0.  )
8057, 59, 60, 78, 79syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
8140, 34, 41, 54, 80dprdwd 16500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  e.  W
)
8240, 34, 41, 81, 22dprdff 16501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) : I --> ( Base `  G
) )
8340, 34, 41, 81, 33dprdfcntz 16504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) ) )
84 eldifn 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( I  \  A )  ->  -.  n  e.  A )
8584adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A ) )  ->  -.  n  e.  A )
86 iffalse 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  .0.  )
8785, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  /\  ( f  e.  {
h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i )  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G 
gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  /\  n  e.  ( I  \  A ) )  ->  if (
n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  =  .0.  )
8887, 39suppss2 6728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  A )
8922, 9, 33, 37, 39, 82, 83, 88, 80gsumzres 16393 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) )  |`  A ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
9016, 32, 893eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) ) )
91 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  W )
9291ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  e.  W )
939, 40, 34, 41, 92, 81dprdf11 16518 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) )  <-> 
F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) ) )
9490, 93mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  ) ) )
9594fveq1d 5698 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
) `  X )
)
96 eldifi 3483 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  X  e.  I )
9796ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  X  e.  I )
98 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
n  e.  A  <->  X  e.  A ) )
99 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( n  =  X  ->  (
f `  n )  =  ( f `  X ) )
10098, 99ifbieq1d 3817 . . . . 5  |-  ( n  =  X  ->  if ( n  e.  A ,  ( f `  n ) ,  .0.  )  =  if ( X  e.  A , 
( f `  X
) ,  .0.  )
)
101 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )
)
102 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
103102, 70ifex 3863 . . . . 5  |-  if ( n  e.  A , 
( f `  n
) ,  .0.  )  e.  _V
104100, 101, 103fvmpt3i 5783 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
10597, 104syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  (
( n  e.  I  |->  if ( n  e.  A ,  ( f `
 n ) ,  .0.  ) ) `  X )  =  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  ) )
106 eldifn 3484 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( I  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
107106ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  -.  X  e.  A )
108 iffalse 3804 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  A  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
109107, 108syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  if ( X  e.  A ,  ( f `  X ) ,  .0.  )  =  .0.  )
11095, 105, 1093eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  ( I  \  A
) )  /\  (
f  e.  { h  e.  X_ i  e.  A  ( ( S  |`  A ) `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  /\  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  f ) ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
11115, 110rexlimddv 2850 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( I  \  A ) )  ->  ( F `  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845    |` cres 4847   Fun wfun 5417   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supp csupp 6695   X_cixp 7268   finSupp cfsupp 7625   Basecbs 14179   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414   Grpcgrp 15415  SubGrpcsubg 15680  Cntzccntz 15838   DProd cdprd 16480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-gim 15792  df-cntz 15840  df-oppg 15866  df-cmn 16284  df-dprd 16482
This theorem is referenced by:  dprddisj2  16542
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