Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlem Structured version   Unicode version

Theorem dmdprdsplitlem 16874
 Description: Lemma for dmdprdsplit 16886. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0
dmdprdsplitlem.w finSupp
dmdprdsplitlem.1 DProd
dmdprdsplitlem.2
dmdprdsplitlem.3
dmdprdsplitlem.4
dmdprdsplitlem.5 g DProd
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5 g DProd
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8 DProd
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8
42, 3dprdf2 16831 . . . . . . 7 SubGrp
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7
6 fssres 5749 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6 SubGrp
8 fdm 5733 . . . . . 6 SubGrp
9 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7
10 eqid 2467 . . . . . . 7 finSupp finSupp
119, 10eldprd 16826 . . . . . 6 g DProd DProd finSupp g g
127, 8, 113syl 20 . . . . 5 g DProd DProd finSupp g g
131, 12mpbid 210 . . . 4 DProd finSupp g g
1413simprd 463 . . 3 finSupp g g
1514adantr 465 . 2 finSupp g g
16 simprr 756 . . . . . 6 finSupp g g g g
1713simpld 459 . . . . . . . . . . 11 DProd
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 finSupp g g DProd
197, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
21 simprl 755 . . . . . . . . . 10 finSupp g g finSupp
22 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
2310, 18, 20, 21, 22dprdff 16836 . . . . . . . . 9 finSupp g g
2423feqmptd 5918 . . . . . . . 8 finSupp g g
255ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
26 resmpt 5321 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9 finSupp g g
28 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10
2928mpteq2ia 4529 . . . . . . . . 9
3027, 29syl6eq 2524 . . . . . . . 8 finSupp g g
3124, 30eqtr4d 2511 . . . . . . 7 finSupp g g
3231oveq2d 6298 . . . . . 6 finSupp g g g g
33 eqid 2467 . . . . . . 7 Cntz Cntz
342ad2antrr 725 . . . . . . . 8 finSupp g g DProd
35 dprdgrp 16829 . . . . . . . 8 DProd
36 grpmnd 15863 . . . . . . . 8
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7 finSupp g g
382, 3dprddomcld 16823 . . . . . . . 8
3938ad2antrr 725 . . . . . . 7 finSupp g g
40 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8 finSupp
413ad2antrr 725 . . . . . . . 8 finSupp g g
4218adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g DProd
4320adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g
44 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g finSupp
4510, 42, 43, 44dprdfcl 16837 . . . . . . . . . . 11 finSupp g g
46 fvres 5878 . . . . . . . . . . . 12
4746adantl 466 . . . . . . . . . . 11 finSupp g g
4845, 47eleqtrd 2557 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
494ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp g g SubGrp
5049ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g SubGrp
519subg0cl 16004 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11 finSupp g g
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
5448, 53ifclda 3971 . . . . . . . . 9 finSupp g g
55 mptexg 6128 . . . . . . . . . . . 12
5638, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
58 funmpt 5622 . . . . . . . . . . 11
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 finSupp g g
6010, 18, 20, 21dprdffsupp 16838 . . . . . . . . . 10 finSupp g g finSupp
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp g g supp
62 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 supp supp
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp g g supp supp
6461, 63eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp g g supp supp
65 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 supp supp
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp g g supp supp
6738, 5ssexd 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp g g
69 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
709, 69eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp g g
7223, 66, 68, 71suppssr 6928 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp g g supp
7372adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp g g supp supp
7464, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp g g supp
7574ifeq1da 3969 . . . . . . . . . . . 12 finSupp g g supp
76 ifid 3976 . . . . . . . . . . . 12
7775, 76syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11 finSupp g g supp
7877, 39suppss2 6931 . . . . . . . . . 10 finSupp g g supp supp
79 fsuppsssupp 7841 . . . . . . . . . 10 finSupp supp supp finSupp
8057, 59, 60, 78, 79syl22anc 1229 . . . . . . . . 9 finSupp g g finSupp
8140, 34, 41, 54, 80dprdwd 16835 . . . . . . . 8 finSupp g g
8240, 34, 41, 81, 22dprdff 16836 . . . . . . 7 finSupp g g
8340, 34, 41, 81, 33dprdfcntz 16839 . . . . . . 7 finSupp g g Cntz
84 eldifn 3627 . . . . . . . . . 10
8584adantl 466 . . . . . . . . 9 finSupp g g
86 iffalse 3948 . . . . . . . . 9
8785, 86syl 16 . . . . . . . 8 finSupp g g
8887, 39suppss2 6931 . . . . . . 7 finSupp g g supp
8922, 9, 33, 37, 39, 82, 83, 88, 80gsumzres 16705 . . . . . 6 finSupp g g g g
9016, 32, 893eqtrd 2512 . . . . 5 finSupp g g g g
91 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7
9291ad2antrr 725 . . . . . 6 finSupp g g
939, 40, 34, 41, 92, 81dprdf11 16853 . . . . 5 finSupp g g g g
9490, 93mpbid 210 . . . 4 finSupp g g
9594fveq1d 5866 . . 3 finSupp g g
96 eldifi 3626 . . . . 5
9796ad2antlr 726 . . . 4 finSupp g g
98 eleq1 2539 . . . . . 6
99 fveq2 5864 . . . . . 6
10098, 99ifbieq1d 3962 . . . . 5
101 eqid 2467 . . . . 5
102 fvex 5874 . . . . . 6
103102, 70ifex 4008 . . . . 5
104100, 101, 103fvmpt3i 5952 . . . 4
10597, 104syl 16 . . 3 finSupp g g
106 eldifn 3627 . . . . 5
107106ad2antlr 726 . . . 4 finSupp g g
108 iffalse 3948 . . . 4
109107, 108syl 16 . . 3 finSupp g g
11095, 105, 1093eqtrd 2512 . 2 finSupp g g
11115, 110rexlimddv 2959 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  cif 3939   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cdm 4999   cres 5001   wfun 5580  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   supp csupp 6898  cixp 7466   finSupp cfsupp 7825  cbs 14486  c0g 14691   g cgsu 14692  cmnd 15722  cgrp 15723  SubGrpcsubg 15990  Cntzccntz 16148   DProd cdprd 16815 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-cntz 16150  df-oppg 16176  df-cmn 16596  df-dprd 16817 This theorem is referenced by:  dprddisj2  16877
 Copyright terms: Public domain W3C validator