Theorem dmdprdsplitlem 17670

Description: Lemma for dmdprdsplit 17680. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdsplitlem.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplitlem.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
dmdprdsplitlem.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dmdprdsplitlem.2	|- ( ph -> dom S = I )
dmdprdsplitlem.3	|- ( ph -> A C_ I )
dmdprdsplitlem.4	|- ( ph -> F e. W )
dmdprdsplitlem.5	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplitlem	|- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , h   h, i, A   h, G, i   h, I, i   h, F   S, h, i

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   F( i)   W( h, i)   X( h, i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem

Dummy variables f n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdsplitlem.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )
2		dmdprdsplitlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd S )
3		dmdprdsplitlem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom S = I )
4	2, 3	dprdf2 17639	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
5		dmdprdsplitlem.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ I )
6	4, 5	fssresd 5750	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) )
7		fdm 5733	. . . . . 6 |- ( ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` A ) = A )
8		dmdprdsplitlem.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
9		eqid 2451	. . . . . . 7 |- { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } = { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. }
10	8, 9	eldprd 17636	. . . . . 6 |- ( dom ( S |` A ) = A -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
11	6, 7, 10	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
12	1, 11	mpbid 214	. . . 4 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) )
13	12	simprd 465	. . 3 |- ( ph -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
14	13	adantr 467	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
15		simprr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
16	12	simpld 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` A ) )
17	16	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
18	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` A ) = A )
19	18	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom ( S |` A ) = A )
20		simprl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
21		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
22	9, 17, 19, 20, 21	dprdff 17645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f : A --> ( Base ` G ) )
23	22	feqmptd 5918	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
24	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A C_ I )
25	24	resmptd 5156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
26		iftrue 3887	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = ( f ` n ) )
27	26	mpteq2ia 4485	. . . . . . . . 9 |- ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) )
28	25, 27	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
29	23, 28	eqtr4d 2488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) )
30	29	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) )
31		eqid 2451	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
32	2	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd S )
33		dprdgrp 17637	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
34		grpmnd 16678	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G e. Mnd )
36	2, 3	dprddomcld 17633	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
37	36	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> I e. _V )
38		dmdprdsplitlem.w	. . . . . . . 8 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
39	3	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom S = I )
40	17	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
41	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> dom ( S |` A ) = A )
42		simplrl 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
43	9, 40, 41, 42	dprdfcl 17646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( ( S |` A ) ` n ) )
44		fvres 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
45	44	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
46	43, 45	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( S ` n ) )
47	4	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
48	47	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
49	8	subg0cl 16825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
51	50	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ -. n e. A ) -> .0. e. ( S ` n ) )
52	46, 51	ifclda 3913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. ( S ` n ) )
53		mptexg 6135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. _V -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
54	36, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
55	54	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
56		funmpt 5618	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
58	9, 17, 19, 20	dprdffsupp 17647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f finSupp .0. )
59		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. A )
60		eldifn 3556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
61	60	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
62	59, 61	eldifd 3415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) )
63		ssid 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
65	36, 5	ssexd 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. _V )
66	65	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A e. _V )
67		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0g ` G ) e. _V
68	8, 67	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .0. e. _V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> .0. e. _V )
70	22, 64, 66, 69	suppssr 6946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
71	70	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
72	62, 71	syldan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) = .0. )
73	72	ifeq1da 3911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( n e. A , .0. , .0. ) )
74		ifid 3918	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( n e. A , .0. , .0. ) = .0.
75	73, 74	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
76	75, 37	suppss2 6949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
77		fsuppsssupp 7899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
78	55, 57, 58, 76, 77	syl22anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
79	38, 32, 39, 52, 78	dprdwd 17643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. W )
80	38, 32, 39, 79, 21	dprdff 17645	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) : I --> ( Base ` G ) )
81	38, 32, 39, 79, 31	dprdfcntz 17648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
82		eldifn 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( I \ A ) -> -. n e. A )
83	82	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> -. n e. A )
84	83	iffalsed 3892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
85	84, 37	suppss2 6949	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ A )
86	21, 8, 31, 35, 37, 80, 81, 85, 78	gsumzres 17543	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
87	15, 30, 86	3eqtrd 2489	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
88		dmdprdsplitlem.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
89	88	ad2antrr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F e. W )
90	8, 38, 32, 39, 89, 79	dprdf11 17656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) <-> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
91	87, 90	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
92	91	fveq1d 5867	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) )
93		eldifi 3555	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> X e. I )
94	93	ad2antlr 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> X e. I )
95		eleq1 2517	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( n e. A <-> X e. A ) )
96		fveq2 5865	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( f ` n ) = ( f ` X ) )
97	95, 96	ifbieq1d 3904	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
98		eqid 2451	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
99		fvex 5875	. . . . . 6 |- ( f ` n ) e. _V
100	99, 68	ifex 3949	. . . . 5 |- if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. _V
101	97, 98, 100	fvmpt3i 5953	. . . 4 |- ( X e. I -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
102	94, 101	syl 17	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
103		eldifn 3556	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> -. X e. A )
104	103	ad2antlr 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> -. X e. A )
105	104	iffalsed 3892	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) = .0. )
106	92, 102, 105	3eqtrd 2489	. 2 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = .0. )
107	14, 106	rexlimddv 2883	1 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   |` cres 4836   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supp csupp 6914   X_cixp 7522   finSupp cfsupp 7883   Basecbs 15121   0gc0g 15338   gsum_g cgsu 15339   Mndcmnd 16535   Grpcgrp 16669  SubGrpcsubg 16811  Cntzccntz 16969   DProd cdprd 17625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-cmn 17432  df-dprd 17627

This theorem is referenced by:  dprddisj2  17672