Theorem dmdprdsplitlem 16874

Description: Lemma for dmdprdsplit 16886. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdsplitlem.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplitlem.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
dmdprdsplitlem.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dmdprdsplitlem.2	|- ( ph -> dom S = I )
dmdprdsplitlem.3	|- ( ph -> A C_ I )
dmdprdsplitlem.4	|- ( ph -> F e. W )
dmdprdsplitlem.5	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplitlem	|- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , h   h, i, A   h, G, i   h, I, i   h, F   S, h, i

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   F( i)   W( h, i)   X( h, i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem

Dummy variables f n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdsplitlem.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )
2		dmdprdsplitlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd S )
3		dmdprdsplitlem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom S = I )
4	2, 3	dprdf2 16831	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
5		dmdprdsplitlem.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ I )
6		fssres 5749	. . . . . . 7 |- ( ( S : I --> (SubGrp ` G ) /\ A C_ I ) -> ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) )
8		fdm 5733	. . . . . 6 |- ( ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` A ) = A )
9		dmdprdsplitlem.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
10		eqid 2467	. . . . . . 7 |- { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } = { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. }
11	9, 10	eldprd 16826	. . . . . 6 |- ( dom ( S |` A ) = A -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
12	7, 8, 11	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
13	1, 12	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) )
14	13	simprd 463	. . 3 |- ( ph -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
15	14	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
16		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
17	13	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` A ) )
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
19	7, 8	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` A ) = A )
20	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom ( S |` A ) = A )
21		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
22		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
23	10, 18, 20, 21, 22	dprdff 16836	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f : A --> ( Base ` G ) )
24	23	feqmptd 5918	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
25	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A C_ I )
26		resmpt 5321	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ I -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
28		iftrue 3945	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = ( f ` n ) )
29	28	mpteq2ia 4529	. . . . . . . . 9 |- ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) )
30	27, 29	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
31	24, 30	eqtr4d 2511	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) )
32	31	oveq2d 6298	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) )
33		eqid 2467	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
34	2	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd S )
35		dprdgrp 16829	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
36		grpmnd 15863	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
37	34, 35, 36	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G e. Mnd )
38	2, 3	dprddomcld 16823	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> I e. _V )
40		dmdprdsplitlem.w	. . . . . . . 8 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
41	3	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom S = I )
42	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
43	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> dom ( S |` A ) = A )
44		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
45	10, 42, 43, 44	dprdfcl 16837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( ( S |` A ) ` n ) )
46		fvres 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
48	45, 47	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( S ` n ) )
49	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
50	49	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
51	9	subg0cl 16004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ -. n e. A ) -> .0. e. ( S ` n ) )
54	48, 53	ifclda 3971	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. ( S ` n ) )
55		mptexg 6128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. _V -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
56	38, 55	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
57	56	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
58		funmpt 5622	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
60	10, 18, 20, 21	dprdffsupp 16838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f finSupp .0. )
61		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. A )
62		eldifn 3627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
63	62	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
64	61, 63	eldifd 3487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) )
65		ssid 3523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
67	38, 5	ssexd 4594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. _V )
68	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A e. _V )
69		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0g ` G ) e. _V
70	9, 69	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .0. e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> .0. e. _V )
72	23, 66, 68, 71	suppssr 6928	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
73	72	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
74	64, 73	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) = .0. )
75	74	ifeq1da 3969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( n e. A , .0. , .0. ) )
76		ifid 3976	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( n e. A , .0. , .0. ) = .0.
77	75, 76	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
78	77, 39	suppss2 6931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
79		fsuppsssupp 7841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
80	57, 59, 60, 78, 79	syl22anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
81	40, 34, 41, 54, 80	dprdwd 16835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. W )
82	40, 34, 41, 81, 22	dprdff 16836	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) : I --> ( Base ` G ) )
83	40, 34, 41, 81, 33	dprdfcntz 16839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
84		eldifn 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( I \ A ) -> -. n e. A )
85	84	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> -. n e. A )
86		iffalse 3948	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. A -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
88	87, 39	suppss2 6931	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ A )
89	22, 9, 33, 37, 39, 82, 83, 88, 80	gsumzres 16705	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
90	16, 32, 89	3eqtrd 2512	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
91		dmdprdsplitlem.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
92	91	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F e. W )
93	9, 40, 34, 41, 92, 81	dprdf11 16853	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) <-> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
94	90, 93	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
95	94	fveq1d 5866	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) )
96		eldifi 3626	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> X e. I )
97	96	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> X e. I )
98		eleq1 2539	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( n e. A <-> X e. A ) )
99		fveq2 5864	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( f ` n ) = ( f ` X ) )
100	98, 99	ifbieq1d 3962	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
101		eqid 2467	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
102		fvex 5874	. . . . . 6 |- ( f ` n ) e. _V
103	102, 70	ifex 4008	. . . . 5 |- if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. _V
104	100, 101, 103	fvmpt3i 5952	. . . 4 |- ( X e. I -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
105	97, 104	syl 16	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
106		eldifn 3627	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> -. X e. A )
107	106	ad2antlr 726	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> -. X e. A )
108		iffalse 3948	. . . 4 |- ( -. X e. A -> if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) = .0. )
109	107, 108	syl 16	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) = .0. )
110	95, 105, 109	3eqtrd 2512	. 2 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = .0. )
111	15, 110	rexlimddv 2959	1 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   |` cres 5001   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supp csupp 6898   X_cixp 7466   finSupp cfsupp 7825   Basecbs 14486   0gc0g 14691   gsum_g cgsu 14692   Mndcmnd 15722   Grpcgrp 15723  SubGrpcsubg 15990  Cntzccntz 16148   DProd cdprd 16815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-cntz 16150  df-oppg 16176  df-cmn 16596  df-dprd 16817

This theorem is referenced by:  dprddisj2  16877