Theorem dmdprdsplit2lem 17073

Description: Lemma for dmdprdsplit 17075. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	|- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
dprdsplit.i	|- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
dprdsplit.u	|- ( ph -> I = ( C u. D ) )
dmdprdsplit.z	|- Z = (Cntz ` G )
dmdprdsplit.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplit2.1	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
dmdprdsplit2.2	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
dmdprdsplit2.3	|- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4	|- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
dmdprdsplit2lem.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit2lem	|- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdsplit.u	. . . . . 6 |- ( ph -> I = ( C u. D ) )
2	1	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> I = ( C u. D ) )
3	2	eleq2d 2513	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> Y e. ( C u. D ) ) )
4		elun 3630	. . . 4 |- ( Y e. ( C u. D ) <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) )
5	3, 4	syl6bb 261	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) ) )
6		dmdprdsplit2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
7	6	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
8		dprdsplit.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
9		ssun1 3652	. . . . . . . . . . 11 |- C C_ ( C u. D )
10	9, 1	syl5sseqr 3538	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C C_ I )
11	8, 10	fssresd 5742	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) )
12		fdm 5725	. . . . . . . . 9 |- ( ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` C ) = C )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( S |` C ) = C )
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
15		simplr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
16		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> Y e. C )
17		simprr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X =/= Y )
18		dmdprdsplit.z	. . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` G )
19	7, 14, 15, 16, 17, 18	dprdcntz 17020	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) )
20		fvres 5870	. . . . . . 7 |- ( X e. C -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
21	20	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
22		fvres 5870	. . . . . . . 8 |- ( Y e. C -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
23	22	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
24	23	fveq2d 5860	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) = ( Z ` ( S ` Y ) ) )
25	19, 21, 24	3sstr3d 3531	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
26	25	exp32 605	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. C -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
27	20	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
28	6	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
29	13	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
30		simplr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
31	28, 29, 30	dprdub 17051	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
32	27, 31	eqsstr3d 3524	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
33		dmdprdsplit2.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
35		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
36	35	dprdssv 17035	. . . . . . . 8 |- ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G )
37		fvres 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. D -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
38	37	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
39		dmdprdsplit2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
40	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` D ) )
41		ssun2 3653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D C_ ( C u. D )
42	41, 1	syl5sseqr 3538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D C_ I )
43	8, 42	fssresd 5742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
44		fdm 5725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` D ) = D )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` D ) = D )
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` D ) = D )
47		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> Y e. D )
48	40, 46, 47	dprdub 17051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
49	38, 48	eqsstr3d 3524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
50	35, 18	cntz2ss 16349	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G ) /\ ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
51	36, 49, 50	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
52	34, 51	sstrd 3499	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
53	32, 52	sstrd 3499	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
54	53	exp32 605	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. D -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
55	26, 54	jaod 380	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. C \/ Y e. D ) -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
56	5, 55	sylbid 215	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
57		dprdgrp 17017	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> G e. Grp )
58	6, 57	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
59	58	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G e. Grp )
60	35	subgacs 16215	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
61		acsmre 15031	. . . . . 6 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
62	59, 60, 61	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
63		difundir 3736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C u. D ) \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) )
64	2	difeq1d 3606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C u. D ) \ { X } ) )
65		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. C )
66	65	snssd 4160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { X } C_ C )
67		sslin 3709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { X } C_ C -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
69		incom 3676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C i^i D ) = ( D i^i C )
70		dprdsplit.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
71	70	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( C i^i D ) = (/) )
72	69, 71	syl5eqr 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i C ) = (/) )
73		sseq0 3803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) /\ ( D i^i C ) = (/) ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
74	68, 72, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
75		disj3 3857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D i^i { X } ) = (/) <-> D = ( D \ { X } ) )
76	74, 75	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> D = ( D \ { X } ) )
77	76	uneq2d 3643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( C \ { X } ) u. D ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) ) )
78	63, 64, 77	3eqtr4a 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. D ) )
79	78	imaeq2d 5327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) )
80		imaundi 5408	. . . . . . . . 9 |- ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) )
81	79, 80	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
82	81	unieqd 4244	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
83		uniun 4253	. . . . . . 7 |- U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) )
84	82, 83	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) )
85		dmdprdsplit2lem.k	. . . . . . . . 9 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
86		difss 3616	. . . . . . . . . . 11 |- ( C \ { X } ) C_ C
87		imass2 5362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) )
88		uniss 4255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
89	86, 87, 88	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C )
90		imassrn 5338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) C_ ran S
91		frn 5727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
92	8, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
94		mresspw 14971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
95	62, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
96	93, 95	sstrd 3499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ ~P ( Base ` G ) )
97	90, 96	syl5ss 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) )
98		sspwuni 4401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
99	97, 98	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
100	89, 99	syl5ss 3500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) )
101	62, 85, 100	mrcssidd 15004	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
102		imassrn 5338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " D ) C_ ran S
103	102, 96	syl5ss 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) )
104		sspwuni 4401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
105	103, 104	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
106	62, 85, 105	mrcssidd 15004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( K ` U. ( S " D ) ) )
107	85	dprdspan 17053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
108	39, 107	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
109		df-ima 5002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S " D ) = ran ( S |` D )
110	109	unieqi 4243	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( S " D ) = U. ran ( S |` D )
111	110	fveq2i 5859	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ` U. ( S " D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) )
112	108, 111	syl6eqr 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
113	112	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
114	106, 113	sseqtr4d 3526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
115		unss12 3661	. . . . . . . 8 |- ( ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) /\ U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
116	101, 114, 115	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
117	85	mrccl 14990	. . . . . . . . 9 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
118	62, 100, 117	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
119		dprdsubg 17050	. . . . . . . . . 10 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
120	39, 119	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
121	120	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
122		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
123	122	lsmunss 16657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
124	118, 121, 123	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
125	116, 124	sstrd 3499	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
126	84, 125	eqsstrd 3523	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
127	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
128	62, 85, 127, 99	mrcssd 15003	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( K ` U. ( S " C ) ) )
129	85	dprdspan 17053	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
130	6, 129	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
131		df-ima 5002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) = ran ( S |` C )
132	131	unieqi 4243	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( S " C ) = U. ran ( S |` C )
133	132	fveq2i 5859	. . . . . . . . . 10 |- ( K ` U. ( S " C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) )
134	130, 133	syl6eqr 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
135	134	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
136	128, 135	sseqtr4d 3526	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
137	33	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
138	136, 137	sstrd 3499	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
139	122, 18	lsmsubg 16653	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
140	118, 121, 138, 139	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
141	85	mrcsscl 14999	. . . . 5 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) /\ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
142	62, 126, 140, 141	syl3anc 1229	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
143		sslin 3709	. . . 4 |- ( ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
144	142, 143	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
145	10	sselda 3489	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. I )
146	8	ffvelrnda 6016	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. I ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
147	145, 146	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
148		dmdprdsplit.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
149	20	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
150	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
151	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> dom ( S |` C ) = C )
152	150, 151, 65	dprdub 17051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
153	149, 152	eqsstr3d 3524	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
154		dprdsubg 17050	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
155	6, 154	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
156	155	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
157	122	lsmlub 16662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
158	147, 118, 156, 157	syl3anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
159	153, 136, 158	mpbi2and 921	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
160		ssrin 3708	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
161	159, 160	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
162		dmdprdsplit2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
163	162	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
164	161, 163	sseqtrd 3525	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ { .0. } )
165	122	lsmub1 16655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
166	147, 118, 165	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
167	148	subg0cl 16188	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` X ) )
168	147, 167	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( S ` X ) )
169	166, 168	sseldd 3490	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
170	148	subg0cl 16188	. . . . . . . 8 |- ( ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
171	121, 170	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
172	169, 171	elind 3673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
173	172	snssd 4160	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { .0. } C_ ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
174	164, 173	eqssd 3506	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
175		resima2 5297	. . . . . . . . 9 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
176	86, 175	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
177	176	unieqd 4244	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
178	177	fveq2d 5860	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) = ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
179	149, 178	ineq12d 3686	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
180	150, 151, 65, 148, 85	dprddisj 17021	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
181	179, 180	eqtr3d 2486	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
182	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
183		ffun 5723	. . . . . . . 8 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> Fun S )
184		funiunfv 6145	. . . . . . . 8 |- ( Fun S -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
185	182, 183, 184	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
186	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
187	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
188		eldifi 3611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y e. C )
189	188	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y e. C )
190		simplr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> X e. C )
191		eldifsni 4141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y =/= X )
192	191	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y =/= X )
193	186, 187, 189, 190, 192, 18	dprdcntz 17020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) )
194		fvres 5870	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. C -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
195	189, 194	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
196	20	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
197	196	fveq2d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) = ( Z ` ( S ` X ) ) )
198	193, 195, 197	3sstr3d 3531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
199	198	ralrimiva 2857	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
200		iunss 4356	. . . . . . . 8 |- ( U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) <-> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
201	199, 200	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
202	185, 201	eqsstr3d 3524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
203	35	subgss 16181	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
204	147, 203	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
205	35, 18	cntzsubg 16353	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
206	59, 204, 205	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
207	85	mrcsscl 14999	. . . . . 6 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) /\ ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
208	62, 202, 206, 207	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
209	18, 118, 147, 208	cntzrecd 16675	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
210	122, 147, 118, 121, 148, 174, 181, 18, 209	lsmdisj3 16680	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) = { .0. } )
211	144, 210	sseqtrd 3525	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } )
212	56, 211	jca 532	1 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   U_ciun 4315   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   |` cres 4991   "cima 4992   Fun wfun 5572   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   0gc0g 14819  Moorecmre 14961  mrClscmrc 14962  ACScacs 14964   Grpcgrp 16032  SubGrpcsubg 16174  Cntzccntz 16332   LSSumclsm 16633   DProd cdprd 17003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-ghm 16244  df-gim 16286  df-cntz 16334  df-oppg 16360  df-lsm 16635  df-cmn 16779  df-dprd 17005

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  17074