Theorem dmdprdsplit2lem 17756

Description: Lemma for dmdprdsplit 17758. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	|- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
dprdsplit.i	|- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
dprdsplit.u	|- ( ph -> I = ( C u. D ) )
dmdprdsplit.z	|- Z = (Cntz ` G )
dmdprdsplit.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplit2.1	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
dmdprdsplit2.2	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
dmdprdsplit2.3	|- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4	|- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
dmdprdsplit2lem.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit2lem	|- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdsplit.u	. . . . . 6 |- ( ph -> I = ( C u. D ) )
2	1	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> I = ( C u. D ) )
3	2	eleq2d 2534	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> Y e. ( C u. D ) ) )
4		elun 3565	. . . 4 |- ( Y e. ( C u. D ) <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) )
5	3, 4	syl6bb 269	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) ) )
6		dmdprdsplit2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
7	6	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
8		dprdsplit.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
9		ssun1 3588	. . . . . . . . . . 11 |- C C_ ( C u. D )
10	9, 1	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C C_ I )
11	8, 10	fssresd 5762	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) )
12		fdm 5745	. . . . . . . . 9 |- ( ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` C ) = C )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( S |` C ) = C )
14	13	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
15		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
16		simprl 772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> Y e. C )
17		simprr 774	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X =/= Y )
18		dmdprdsplit.z	. . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` G )
19	7, 14, 15, 16, 17, 18	dprdcntz 17718	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) )
20		fvres 5893	. . . . . . 7 |- ( X e. C -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
21	20	ad2antlr 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
22		fvres 5893	. . . . . . . 8 |- ( Y e. C -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
23	22	ad2antrl 742	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
24	23	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) = ( Z ` ( S ` Y ) ) )
25	19, 21, 24	3sstr3d 3460	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
26	25	exp32 616	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. C -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
27	20	ad2antlr 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
28	6	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
29	13	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
30		simplr 770	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
31	28, 29, 30	dprdub 17736	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
32	27, 31	eqsstr3d 3453	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
33		dmdprdsplit2.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
34	33	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
35		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
36	35	dprdssv 17727	. . . . . . . 8 |- ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G )
37		fvres 5893	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. D -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
38	37	ad2antrl 742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
39		dmdprdsplit2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
40	39	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` D ) )
41		ssun2 3589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D C_ ( C u. D )
42	41, 1	syl5sseqr 3467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D C_ I )
43	8, 42	fssresd 5762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
44		fdm 5745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` D ) = D )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` D ) = D )
46	45	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` D ) = D )
47		simprl 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> Y e. D )
48	40, 46, 47	dprdub 17736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
49	38, 48	eqsstr3d 3453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
50	35, 18	cntz2ss 17064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G ) /\ ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
51	36, 49, 50	sylancr 676	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
52	34, 51	sstrd 3428	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
53	32, 52	sstrd 3428	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
54	53	exp32 616	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. D -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
55	26, 54	jaod 387	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. C \/ Y e. D ) -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
56	5, 55	sylbid 223	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
57		dprdgrp 17715	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> G e. Grp )
58	6, 57	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
59	58	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G e. Grp )
60	35	subgacs 16930	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
61		acsmre 15636	. . . . . 6 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
62	59, 60, 61	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
63		difundir 3687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C u. D ) \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) )
64	2	difeq1d 3539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C u. D ) \ { X } ) )
65		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. C )
66	65	snssd 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { X } C_ C )
67		sslin 3649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { X } C_ C -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
69		incom 3616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C i^i D ) = ( D i^i C )
70		dprdsplit.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
71	70	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( C i^i D ) = (/) )
72	69, 71	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i C ) = (/) )
73		sseq0 3769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) /\ ( D i^i C ) = (/) ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
74	68, 72, 73	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
75		disj3 3813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D i^i { X } ) = (/) <-> D = ( D \ { X } ) )
76	74, 75	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> D = ( D \ { X } ) )
77	76	uneq2d 3579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( C \ { X } ) u. D ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) ) )
78	63, 64, 77	3eqtr4a 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. D ) )
79	78	imaeq2d 5174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) )
80		imaundi 5254	. . . . . . . . 9 |- ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) )
81	79, 80	syl6eq 2521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
82	81	unieqd 4200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
83		uniun 4209	. . . . . . 7 |- U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) )
84	82, 83	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) )
85		dmdprdsplit2lem.k	. . . . . . . . 9 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
86		difss 3549	. . . . . . . . . . 11 |- ( C \ { X } ) C_ C
87		imass2 5210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) )
88		uniss 4211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
89	86, 87, 88	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C )
90		imassrn 5185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) C_ ran S
91		frn 5747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
92	8, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
93	92	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
94		mresspw 15576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
95	62, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
96	93, 95	sstrd 3428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ ~P ( Base ` G ) )
97	90, 96	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) )
98		sspwuni 4360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
99	97, 98	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
100	89, 99	syl5ss 3429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) )
101	62, 85, 100	mrcssidd 15609	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
102		imassrn 5185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " D ) C_ ran S
103	102, 96	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) )
104		sspwuni 4360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
105	103, 104	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
106	62, 85, 105	mrcssidd 15609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( K ` U. ( S " D ) ) )
107	85	dprdspan 17738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
108	39, 107	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
109		df-ima 4852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S " D ) = ran ( S |` D )
110	109	unieqi 4199	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( S " D ) = U. ran ( S |` D )
111	110	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ` U. ( S " D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) )
112	108, 111	syl6eqr 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
113	112	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
114	106, 113	sseqtr4d 3455	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
115		unss12 3597	. . . . . . . 8 |- ( ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) /\ U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
116	101, 114, 115	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
117	85	mrccl 15595	. . . . . . . . 9 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
118	62, 100, 117	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
119		dprdsubg 17735	. . . . . . . . . 10 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
120	39, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
121	120	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
122		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
123	122	lsmunss 17388	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
124	118, 121, 123	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
125	116, 124	sstrd 3428	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
126	84, 125	eqsstrd 3452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
127	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
128	62, 85, 127, 99	mrcssd 15608	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( K ` U. ( S " C ) ) )
129	85	dprdspan 17738	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
130	6, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
131		df-ima 4852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) = ran ( S |` C )
132	131	unieqi 4199	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( S " C ) = U. ran ( S |` C )
133	132	fveq2i 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( K ` U. ( S " C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) )
134	130, 133	syl6eqr 2523	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
135	134	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
136	128, 135	sseqtr4d 3455	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
137	33	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
138	136, 137	sstrd 3428	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
139	122, 18	lsmsubg 17384	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
140	118, 121, 138, 139	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
141	85	mrcsscl 15604	. . . . 5 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) /\ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
142	62, 126, 140, 141	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
143		sslin 3649	. . . 4 |- ( ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
144	142, 143	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
145	10	sselda 3418	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. I )
146	8	ffvelrnda 6037	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. I ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
147	145, 146	syldan 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
148		dmdprdsplit.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
149	20	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
150	6	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
151	13	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> dom ( S |` C ) = C )
152	150, 151, 65	dprdub 17736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
153	149, 152	eqsstr3d 3453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
154		dprdsubg 17735	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
155	6, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
156	155	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
157	122	lsmlub 17393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
158	147, 118, 156, 157	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
159	153, 136, 158	mpbi2and 935	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
160		ssrin 3648	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
161	159, 160	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
162		dmdprdsplit2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
163	162	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
164	161, 163	sseqtrd 3454	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ { .0. } )
165	122	lsmub1 17386	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
166	147, 118, 165	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
167	148	subg0cl 16903	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` X ) )
168	147, 167	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( S ` X ) )
169	166, 168	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
170	148	subg0cl 16903	. . . . . . . 8 |- ( ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
171	121, 170	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
172	169, 171	elind 3609	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
173	172	snssd 4108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { .0. } C_ ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
174	164, 173	eqssd 3435	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
175		resima2 5144	. . . . . . . . 9 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
176	86, 175	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
177	176	unieqd 4200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
178	177	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) = ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
179	149, 178	ineq12d 3626	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
180	150, 151, 65, 148, 85	dprddisj 17719	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
181	179, 180	eqtr3d 2507	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
182	8	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
183		ffun 5742	. . . . . . . 8 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> Fun S )
184		funiunfv 6171	. . . . . . . 8 |- ( Fun S -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
185	182, 183, 184	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
186	6	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
187	13	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
188		eldifi 3544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y e. C )
189	188	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y e. C )
190		simplr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> X e. C )
191		eldifsni 4089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y =/= X )
192	191	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y =/= X )
193	186, 187, 189, 190, 192, 18	dprdcntz 17718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) )
194		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. C -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
195	189, 194	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
196	20	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
197	196	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) = ( Z ` ( S ` X ) ) )
198	193, 195, 197	3sstr3d 3460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
199	198	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
200		iunss 4310	. . . . . . . 8 |- ( U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) <-> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
201	199, 200	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
202	185, 201	eqsstr3d 3453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
203	35	subgss 16896	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
204	147, 203	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
205	35, 18	cntzsubg 17068	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
206	59, 204, 205	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
207	85	mrcsscl 15604	. . . . . 6 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) /\ ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
208	62, 202, 206, 207	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
209	18, 118, 147, 208	cntzrecd 17406	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
210	122, 147, 118, 121, 148, 174, 181, 18, 209	lsmdisj3 17411	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) = { .0. } )
211	144, 210	sseqtrd 3454	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } )
212	56, 211	jca 541	1 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   0gc0g 15416  Moorecmre 15566  mrClscmrc 15567  ACScacs 15569   Grpcgrp 16747  SubGrpcsubg 16889  Cntzccntz 17047   LSSumclsm 17364   DProd cdprd 17703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-dprd 17705

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  17757