Theorem dmdprdsplit2lem 16544

Description: Lemma for dmdprdsplit 16546. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	|- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
dprdsplit.i	|- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
dprdsplit.u	|- ( ph -> I = ( C u. D ) )
dmdprdsplit.z	|- Z = (Cntz ` G )
dmdprdsplit.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplit2.1	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
dmdprdsplit2.2	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
dmdprdsplit2.3	|- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4	|- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
dmdprdsplit2lem.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit2lem	|- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdsplit.u	. . . . . 6 |- ( ph -> I = ( C u. D ) )
2	1	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> I = ( C u. D ) )
3	2	eleq2d 2510	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> Y e. ( C u. D ) ) )
4		elun 3497	. . . 4 |- ( Y e. ( C u. D ) <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) )
5	3, 4	syl6bb 261	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) ) )
6		dmdprdsplit2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
7	6	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
8		dprdsplit.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
9		ssun1 3519	. . . . . . . . . . 11 |- C C_ ( C u. D )
10	9, 1	syl5sseqr 3405	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C C_ I )
11		fssres 5578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S : I --> (SubGrp ` G ) /\ C C_ I ) -> ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) )
13		fdm 5563	. . . . . . . . 9 |- ( ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` C ) = C )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( S |` C ) = C )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
16		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
17		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> Y e. C )
18		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X =/= Y )
19		dmdprdsplit.z	. . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` G )
20	7, 15, 16, 17, 18, 19	dprdcntz 16492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) )
21		fvres 5704	. . . . . . 7 |- ( X e. C -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
22	21	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
23		fvres 5704	. . . . . . . 8 |- ( Y e. C -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
25	24	fveq2d 5695	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) = ( Z ` ( S ` Y ) ) )
26	20, 22, 25	3sstr3d 3398	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
27	26	exp32 605	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. C -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
28	21	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
29	6	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
30	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
31		simplr 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
32	29, 30, 31	dprdub 16522	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
33	28, 32	eqsstr3d 3391	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
34		dmdprdsplit2.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
35	34	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
36		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
37	36	dprdssv 16506	. . . . . . . 8 |- ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G )
38		fvres 5704	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. D -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
39	38	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
40		dmdprdsplit2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` D ) )
42		ssun2 3520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D C_ ( C u. D )
43	42, 1	syl5sseqr 3405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D C_ I )
44		fssres 5578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S : I --> (SubGrp ` G ) /\ D C_ I ) -> ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
45	8, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
46		fdm 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` D ) = D )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` D ) = D )
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` D ) = D )
49		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> Y e. D )
50	41, 48, 49	dprdub 16522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
51	39, 50	eqsstr3d 3391	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
52	36, 19	cntz2ss 15850	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G ) /\ ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
53	37, 51, 52	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
54	35, 53	sstrd 3366	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
55	33, 54	sstrd 3366	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
56	55	exp32 605	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. D -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
57	27, 56	jaod 380	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. C \/ Y e. D ) -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
58	5, 57	sylbid 215	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
59		dprdgrp 16489	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> G e. Grp )
60	6, 59	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
61	60	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G e. Grp )
62	36	subgacs 15716	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
63		acsmre 14590	. . . . . 6 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
64	61, 62, 63	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
65		difundir 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C u. D ) \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) )
66	2	difeq1d 3473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C u. D ) \ { X } ) )
67		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. C )
68	67	snssd 4018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { X } C_ C )
69		sslin 3576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { X } C_ C -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
71		incom 3543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C i^i D ) = ( D i^i C )
72		dprdsplit.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( C i^i D ) = (/) )
74	71, 73	syl5eqr 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i C ) = (/) )
75		sseq0 3669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) /\ ( D i^i C ) = (/) ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
76	70, 74, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
77		disj3 3723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D i^i { X } ) = (/) <-> D = ( D \ { X } ) )
78	76, 77	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> D = ( D \ { X } ) )
79	78	uneq2d 3510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( C \ { X } ) u. D ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) ) )
80	65, 66, 79	3eqtr4a 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. D ) )
81	80	imaeq2d 5169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) )
82		imaundi 5249	. . . . . . . . 9 |- ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) )
83	81, 82	syl6eq 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
84	83	unieqd 4101	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
85		uniun 4110	. . . . . . 7 |- U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) )
86	84, 85	syl6eq 2491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) )
87		dmdprdsplit2lem.k	. . . . . . . . 9 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
88		difss 3483	. . . . . . . . . . 11 |- ( C \ { X } ) C_ C
89		imass2 5204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) )
90		uniss 4112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
91	88, 89, 90	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C )
92		imassrn 5180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) C_ ran S
93		frn 5565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
94	8, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
95	94	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
96		mresspw 14530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
97	64, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
98	95, 97	sstrd 3366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ ~P ( Base ` G ) )
99	92, 98	syl5ss 3367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) )
100		sspwuni 4256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
101	99, 100	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
102	91, 101	syl5ss 3367	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) )
103	64, 87, 102	mrcssidd 14563	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
104		imassrn 5180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " D ) C_ ran S
105	104, 98	syl5ss 3367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) )
106		sspwuni 4256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
107	105, 106	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
108	64, 87, 107	mrcssidd 14563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( K ` U. ( S " D ) ) )
109	87	dprdspan 16524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
110	40, 109	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
111		df-ima 4853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S " D ) = ran ( S |` D )
112	111	unieqi 4100	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( S " D ) = U. ran ( S |` D )
113	112	fveq2i 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ` U. ( S " D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) )
114	110, 113	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
116	108, 115	sseqtr4d 3393	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
117		unss12 3528	. . . . . . . 8 |- ( ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) /\ U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
118	103, 116, 117	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
119	87	mrccl 14549	. . . . . . . . 9 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
120	64, 102, 119	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
121		dprdsubg 16521	. . . . . . . . . 10 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
122	40, 121	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
123	122	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
124		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
125	124	lsmunss 16157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
126	120, 123, 125	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
127	118, 126	sstrd 3366	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
128	86, 127	eqsstrd 3390	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
129	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
130	64, 87, 129, 101	mrcssd 14562	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( K ` U. ( S " C ) ) )
131	87	dprdspan 16524	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
132	6, 131	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
133		df-ima 4853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) = ran ( S |` C )
134	133	unieqi 4100	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( S " C ) = U. ran ( S |` C )
135	134	fveq2i 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( K ` U. ( S " C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) )
136	132, 135	syl6eqr 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
137	136	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
138	130, 137	sseqtr4d 3393	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
139	34	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
140	138, 139	sstrd 3366	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
141	124, 19	lsmsubg 16153	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
142	120, 123, 140, 141	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
143	87	mrcsscl 14558	. . . . 5 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) /\ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
144	64, 128, 142, 143	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
145		sslin 3576	. . . 4 |- ( ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
146	144, 145	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
147	10	sselda 3356	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. I )
148	8	ffvelrnda 5843	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. I ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
149	147, 148	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
150		dmdprdsplit.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
151	21	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
152	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
153	14	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> dom ( S |` C ) = C )
154	152, 153, 67	dprdub 16522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
155	151, 154	eqsstr3d 3391	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
156		dprdsubg 16521	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
157	6, 156	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
158	157	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
159	124	lsmlub 16162	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
160	149, 120, 158, 159	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
161	155, 138, 160	mpbi2and 912	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
162		ssrin 3575	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
163	161, 162	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
164		dmdprdsplit2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
165	164	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
166	163, 165	sseqtrd 3392	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ { .0. } )
167	124	lsmub1 16155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
168	149, 120, 167	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
169	150	subg0cl 15689	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` X ) )
170	149, 169	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( S ` X ) )
171	168, 170	sseldd 3357	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
172	150	subg0cl 15689	. . . . . . . 8 |- ( ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
173	123, 172	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
174	171, 173	elind 3540	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
175	174	snssd 4018	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { .0. } C_ ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
176	166, 175	eqssd 3373	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
177		resima2 5143	. . . . . . . . 9 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
178	88, 177	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
179	178	unieqd 4101	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
180	179	fveq2d 5695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) = ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
181	151, 180	ineq12d 3553	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
182	152, 153, 67, 150, 87	dprddisj 16493	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
183	181, 182	eqtr3d 2477	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
184	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
185		ffun 5561	. . . . . . . 8 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> Fun S )
186		funiunfv 5965	. . . . . . . 8 |- ( Fun S -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
187	184, 185, 186	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
188	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
189	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
190		eldifi 3478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y e. C )
191	190	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y e. C )
192		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> X e. C )
193		eldifsni 4001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y =/= X )
194	193	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y =/= X )
195	188, 189, 191, 192, 194, 19	dprdcntz 16492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) )
196		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. C -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
197	191, 196	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
198	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
199	198	fveq2d 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) = ( Z ` ( S ` X ) ) )
200	195, 197, 199	3sstr3d 3398	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
201	200	ralrimiva 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
202		iunss 4211	. . . . . . . 8 |- ( U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) <-> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
203	201, 202	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
204	187, 203	eqsstr3d 3391	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
205	36	subgss 15682	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
206	149, 205	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
207	36, 19	cntzsubg 15854	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
208	61, 206, 207	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
209	87	mrcsscl 14558	. . . . . 6 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) /\ ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
210	64, 204, 208, 209	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
211	19, 120, 149, 210	cntzrecd 16175	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
212	124, 149, 120, 123, 150, 176, 183, 19, 211	lsmdisj3 16180	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) = { .0. } )
213	146, 212	sseqtrd 3392	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } )
214	58, 213	jca 532	1 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   \ cdif 3325   u. cun 3326   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   U_ciun 4171   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   |` cres 4842   "cima 4843   Fun wfun 5412   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   0gc0g 14378  Moorecmre 14520  mrClscmrc 14521  ACScacs 14523   Grpcgrp 15410  SubGrpcsubg 15675  Cntzccntz 15833   LSSumclsm 16133   DProd cdprd 16475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-cntz 15835  df-oppg 15861  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-dprd 16477

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  16545