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Theorem dmdprdsplit2lem 16544
Description: Lemma for dmdprdsplit 16546. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
dprdsplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprdsplit.u  |-  ( ph  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
dmdprdsplit.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdsplit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplit2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
dmdprdsplit2.2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
dmdprdsplit2.3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
dmdprdsplit2lem.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) )  /\  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
32eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  <->  Y  e.  ( C  u.  D
) ) )
4 elun 3497 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( C  u.  D )  <->  ( Y  e.  C  \/  Y  e.  D ) )
53, 4syl6bb 261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  <->  ( Y  e.  C  \/  Y  e.  D ) ) )
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
76ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
9 ssun1 3519 . . . . . . . . . . 11  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
109, 1syl5sseqr 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
11 fssres 5578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  C  C_  I )  ->  ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G )
)
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G ) )
13 fdm 5563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
16 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  e.  C
)
17 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  Y  e.  C
)
18 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  =/=  Y
)
19 dmdprdsplit.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
207, 15, 16, 17, 18, 19dprdcntz 16492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  C_  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  Y
) ) )
21 fvres 5704 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  =  ( S `  X
) )
2221ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
23 fvres 5704 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 Y )  =  ( S `  Y
) )
2423ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  Y
)  =  ( S `
 Y ) )
2524fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  Y
) )  =  ( Z `  ( S `
 Y ) ) )
2620, 22, 253sstr3d 3398 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
2726exp32 605 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  C  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
2821ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
296ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
3014ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
31 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  e.  C
)
3229, 30, 31dprdub 16522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )
3328, 32eqsstr3d 3391 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
34 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
3534ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) 
C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
36 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3736dprdssv 16506 . . . . . . . 8  |-  ( G DProd 
( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )
38 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  D  ->  (
( S  |`  D ) `
 Y )  =  ( S `  Y
) )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  D ) `  Y
)  =  ( S `
 Y ) )
40 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
42 ssun2 3520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
4342, 1syl5sseqr 3405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
44 fssres 5578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S : I --> (SubGrp `  G )  /\  D  C_  I )  ->  ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
458, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G ) )
46 fdm 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
49 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  Y  e.  D
)
5041, 48, 49dprdub 16522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  D ) `  Y
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )
5139, 50eqsstr3d 3391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  Y )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
5236, 19cntz2ss 15850 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )  /\  ( S `  Y
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5337, 51, 52sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5435, 53sstrd 3366 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5533, 54sstrd 3366 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5655exp32 605 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  D  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
5727, 56jaod 380 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  C  \/  Y  e.  D
)  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) ) ) )
585, 57sylbid 215 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
59 dprdgrp 16489 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  G  e.  Grp )
606, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
6160adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  G  e.  Grp )
6236subgacs 15716 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
63 acsmre 14590 . . . . . 6  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
6461, 62, 633syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
65 difundir 3603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  u.  D ) 
\  { X }
)  =  ( ( C  \  { X } )  u.  ( D  \  { X }
) )
662difeq1d 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
I  \  { X } )  =  ( ( C  u.  D
)  \  { X } ) )
67 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  C )
6867snssd 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  { X }  C_  C )
69 sslin 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { X }  C_  C  ->  ( D  i^i  { X } )  C_  ( D  i^i  C ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  { X }
)  C_  ( D  i^i  C ) )
71 incom 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  i^i  D )  =  ( D  i^i  C
)
72 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( C  i^i  D )  =  (/) )
7471, 73syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  C )  =  (/) )
75 sseq0 3669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  i^i  { X } )  C_  ( D  i^i  C )  /\  ( D  i^i  C )  =  (/) )  ->  ( D  i^i  { X }
)  =  (/) )
7670, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  { X }
)  =  (/) )
77 disj3 3723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  i^i  { X } )  =  (/)  <->  D  =  ( D  \  { X } ) )
7876, 77sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  D  =  ( D  \  { X } ) )
7978uneq2d 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( C  \  { X } )  u.  D
)  =  ( ( C  \  { X } )  u.  ( D  \  { X }
) ) )
8065, 66, 793eqtr4a 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
I  \  { X } )  =  ( ( C  \  { X } )  u.  D
) )
8180imaeq2d 5169 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( S "
( ( C  \  { X } )  u.  D ) ) )
82 imaundi 5249 . . . . . . . . 9  |-  ( S
" ( ( C 
\  { X }
)  u.  D ) )  =  ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  u.  ( S " D ) )
8381, 82syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( ( S
" ( C  \  { X } ) )  u.  ( S " D ) ) )
8483unieqd 4101 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) )  =  U. ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  u.  ( S " D ) ) )
85 uniun 4110 . . . . . . 7  |-  U. (
( S " ( C  \  { X }
) )  u.  ( S " D ) )  =  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) )
8684, 85syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) ) )
87 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
88 difss 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
\  { X }
)  C_  C
89 imass2 5204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  \  { X } )  C_  C  ->  ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( S " C ) )
90 uniss 4112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  C_  ( S " C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  U. ( S " C ) )
9188, 89, 90mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  U. ( S " C )
92 imassrn 5180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" C )  C_  ran  S
93 frn 5565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  ran  S 
C_  (SubGrp `  G )
)
948, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (SubGrp `  G ) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ran  S 
C_  (SubGrp `  G )
)
96 mresspw 14530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  C_  ~P ( Base `  G )
)
9764, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (SubGrp `  G )  C_  ~P ( Base `  G )
)
9895, 97sstrd 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ran  S 
C_  ~P ( Base `  G
) )
9992, 98syl5ss 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " C )  C_  ~P ( Base `  G
) )
100 sspwuni 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " C ) 
C_  ~P ( Base `  G
)  <->  U. ( S " C )  C_  ( Base `  G ) )
10199, 100sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " C )  C_  ( Base `  G )
)
10291, 101syl5ss 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( Base `  G
) )
10364, 87, 102mrcssidd 14563 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) )
104 imassrn 5180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" D )  C_  ran  S
105104, 98syl5ss 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " D )  C_  ~P ( Base `  G
) )
106 sspwuni 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " D ) 
C_  ~P ( Base `  G
)  <->  U. ( S " D )  C_  ( Base `  G ) )
107105, 106sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( Base `  G )
)
10864, 87, 107mrcssidd 14563 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( K `  U. ( S " D ) ) )
10987dprdspan 16524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `
 U. ran  ( S  |`  D ) ) )
11040, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  D ) ) )
111 df-ima 4853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S
" D )  =  ran  ( S  |`  D )
112111unieqi 4100 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( S " D )  = 
U. ran  ( S  |`  D )
113112fveq2i 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K `
 U. ( S
" D ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  D ) )
114110, 113syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `  U. ( S " D ) ) )
115114adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `
 U. ( S
" D ) ) )
116108, 115sseqtr4d 3393 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
117 unss12 3528 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( S "
( C  \  { X } ) )  C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) )  /\  U. ( S " D )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
118103, 116, 117syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X }
) )  u.  U. ( S " D ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
11987mrccl 14549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
12064, 102, 119syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
121 dprdsubg 16521 . . . . . . . . . 10  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
12240, 121syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
123122adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
124 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
125124lsmunss 16157 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  C_  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
126120, 123, 125syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  u.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
127118, 126sstrd 3366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X }
) )  u.  U. ( S " D ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
12886, 127eqsstrd 3390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
12991a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  U. ( S " C ) )
13064, 87, 129, 101mrcssd 14562 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( K `  U. ( S " C ) ) )
13187dprdspan 16524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `
 U. ran  ( S  |`  C ) ) )
1326, 131syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  C ) ) )
133 df-ima 4853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" C )  =  ran  ( S  |`  C )
134133unieqi 4100 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( S " C )  = 
U. ran  ( S  |`  C )
135134fveq2i 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( K `
 U. ( S
" C ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  C ) )
136132, 135syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `  U. ( S " C ) ) )
137136adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `
 U. ( S
" C ) ) )
138130, 137sseqtr4d 3393 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )
13934adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
140138, 139sstrd 3366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
141124, 19lsmsubg 16153 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )  -> 
( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
142120, 123, 140, 141syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
14387mrcsscl 14558 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " (
I  \  { X } ) )  C_  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  /\  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
14464, 128, 142, 143syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( I  \  { X } ) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
145 sslin 3576 . . . 4  |-  ( ( K `  U. ( S " ( I  \  { X } ) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( ( S `
 X )  i^i  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
146144, 145syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( I  \  { X } ) ) ) )  C_  ( ( S `  X )  i^i  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
14710sselda 3356 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  I )
1488ffvelrnda 5843 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  I )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
149147, 148syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
150 dmdprdsplit.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
15121adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  =  ( S `  X
) )
1526adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
15314adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
154152, 153, 67dprdub 16522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
155151, 154eqsstr3d 3391 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
156 dprdsubg 16521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
1576, 156syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
158157adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
159124lsmlub 16162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( ( S `
 X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )  <->  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) ) )
160149, 120, 158, 159syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )  <->  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) ) )
161155, 138, 160mpbi2and 912 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
) ( LSSum `  G
) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
162 ssrin 3575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S `  X
) ( LSSum `  G
) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  ->  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
163161, 162syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  (
( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
164 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
165164adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  }
)
166163, 165sseqtrd 3392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  {  .0.  } )
167124lsmub1 16155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S `  X
)  C_  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) )
168149, 120, 167syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
169150subg0cl 15689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  X ) )
170149, 169syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( S `  X
) )
171168, 170sseldd 3357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
172150subg0cl 15689 . . . . . . . 8  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
173123, 172syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
174171, 173elind 3540 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( ( ( S `
 X ) (
LSSum `  G ) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
175174snssd 4018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  {  .0.  } 
C_  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
176166, 175eqssd 3373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
177 resima2 5143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  \  { X } )  C_  C  ->  ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) )  =  ( S " ( C 
\  { X }
) ) )
17888, 177mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C )
" ( C  \  { X } ) )  =  ( S "
( C  \  { X } ) ) )
179178unieqd 4101 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( S  |`  C )
" ( C  \  { X } ) )  =  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )
180179fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X } ) ) )  =  ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )
181151, 180ineq12d 3553 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S  |`  C ) `  X
)  i^i  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) ) ) )  =  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) )
182152, 153, 67, 150, 87dprddisj 16493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S  |`  C ) `  X
)  i^i  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) ) ) )  =  {  .0.  }
)
183181, 182eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( C  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } )
1848adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
185 ffun 5561 . . . . . . . 8  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  Fun  S )
186 funiunfv 5965 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
S  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  = 
U. ( S "
( C  \  { X } ) ) )
187184, 185, 1863syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  = 
U. ( S "
( C  \  { X } ) ) )
1886ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
18914ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
190 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C  \  { X } )  -> 
y  e.  C )
191190adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
y  e.  C )
192 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  X  e.  C )
193 eldifsni 4001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
194193adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
195188, 189, 191, 192, 194, 19dprdcntz 16492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  y
)  C_  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  X
) ) )
196 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 y )  =  ( S `  y
) )
197191, 196syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  y
)  =  ( S `
 y ) )
19821ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
199198fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( Z `  (
( S  |`  C ) `
 X ) )  =  ( Z `  ( S `  X ) ) )
200195, 197, 1993sstr3d 3398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( S `  y
)  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
201200ralrimiva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A. y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
202 iunss 4211 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `  y
)  C_  ( Z `  ( S `  X
) )  <->  A. y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
203201, 202sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
204187, 203eqsstr3d 3391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  X ) ) )
20536subgss 15682 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  X )  C_  ( Base `  G ) )
206149, 205syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( Base `  G
) )
20736, 19cntzsubg 15854 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S `  X ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( S `  X ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
20861, 206, 207syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Z `  ( S `  X ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
20987mrcsscl 14558 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Z `  ( S `  X ) )  /\  ( Z `  ( S `
 X ) )  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
21064, 204, 208, 209syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
21119, 120, 149, 210cntzrecd 16175 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
212124, 149, 120, 123, 150, 176, 183, 19, 211lsmdisj3 16180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  =  {  .0.  } )
213146, 212sseqtrd 3392 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( I  \  { X } ) ) ) )  C_  {  .0.  } )
21458, 213jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) )  /\  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   U_ciun 4171   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841    |` cres 4842   "cima 4843   Fun wfun 5412   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   0gc0g 14378  Moorecmre 14520  mrClscmrc 14521  ACScacs 14523   Grpcgrp 15410  SubGrpcsubg 15675  Cntzccntz 15833   LSSumclsm 16133   DProd cdprd 16475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-cntz 15835  df-oppg 15861  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-dprd 16477
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  16545
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