Theorem dmdprdsplit2lem 17678

Description: Lemma for dmdprdsplit 17680. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	|- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
dprdsplit.i	|- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
dprdsplit.u	|- ( ph -> I = ( C u. D ) )
dmdprdsplit.z	|- Z = (Cntz ` G )
dmdprdsplit.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplit2.1	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
dmdprdsplit2.2	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
dmdprdsplit2.3	|- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4	|- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
dmdprdsplit2lem.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit2lem	|- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdsplit.u	. . . . . 6 |- ( ph -> I = ( C u. D ) )
2	1	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> I = ( C u. D ) )
3	2	eleq2d 2514	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> Y e. ( C u. D ) ) )
4		elun 3574	. . . 4 |- ( Y e. ( C u. D ) <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) )
5	3, 4	syl6bb 265	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) ) )
6		dmdprdsplit2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
7	6	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
8		dprdsplit.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
9		ssun1 3597	. . . . . . . . . . 11 |- C C_ ( C u. D )
10	9, 1	syl5sseqr 3481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C C_ I )
11	8, 10	fssresd 5750	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) )
12		fdm 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` C ) = C )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( S |` C ) = C )
14	13	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
15		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
16		simprl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> Y e. C )
17		simprr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X =/= Y )
18		dmdprdsplit.z	. . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` G )
19	7, 14, 15, 16, 17, 18	dprdcntz 17640	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) )
20		fvres 5879	. . . . . . 7 |- ( X e. C -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
21	20	ad2antlr 733	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
22		fvres 5879	. . . . . . . 8 |- ( Y e. C -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
23	22	ad2antrl 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
24	23	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) = ( Z ` ( S ` Y ) ) )
25	19, 21, 24	3sstr3d 3474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
26	25	exp32 610	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. C -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
27	20	ad2antlr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
28	6	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
29	13	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
30		simplr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
31	28, 29, 30	dprdub 17658	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
32	27, 31	eqsstr3d 3467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
33		dmdprdsplit2.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
34	33	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
35		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
36	35	dprdssv 17649	. . . . . . . 8 |- ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G )
37		fvres 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. D -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
38	37	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
39		dmdprdsplit2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
40	39	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` D ) )
41		ssun2 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D C_ ( C u. D )
42	41, 1	syl5sseqr 3481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D C_ I )
43	8, 42	fssresd 5750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
44		fdm 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` D ) = D )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` D ) = D )
46	45	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` D ) = D )
47		simprl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> Y e. D )
48	40, 46, 47	dprdub 17658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
49	38, 48	eqsstr3d 3467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
50	35, 18	cntz2ss 16986	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G ) /\ ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
51	36, 49, 50	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
52	34, 51	sstrd 3442	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
53	32, 52	sstrd 3442	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
54	53	exp32 610	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. D -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
55	26, 54	jaod 382	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. C \/ Y e. D ) -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
56	5, 55	sylbid 219	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
57		dprdgrp 17637	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> G e. Grp )
58	6, 57	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
59	58	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G e. Grp )
60	35	subgacs 16852	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
61		acsmre 15558	. . . . . 6 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
62	59, 60, 61	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
63		difundir 3696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C u. D ) \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) )
64	2	difeq1d 3550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C u. D ) \ { X } ) )
65		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. C )
66	65	snssd 4117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { X } C_ C )
67		sslin 3658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { X } C_ C -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
69		incom 3625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C i^i D ) = ( D i^i C )
70		dprdsplit.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
71	70	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( C i^i D ) = (/) )
72	69, 71	syl5eqr 2499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i C ) = (/) )
73		sseq0 3766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) /\ ( D i^i C ) = (/) ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
74	68, 72, 73	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
75		disj3 3809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D i^i { X } ) = (/) <-> D = ( D \ { X } ) )
76	74, 75	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> D = ( D \ { X } ) )
77	76	uneq2d 3588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( C \ { X } ) u. D ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) ) )
78	63, 64, 77	3eqtr4a 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. D ) )
79	78	imaeq2d 5168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) )
80		imaundi 5248	. . . . . . . . 9 |- ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) )
81	79, 80	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
82	81	unieqd 4208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
83		uniun 4217	. . . . . . 7 |- U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) )
84	82, 83	syl6eq 2501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) )
85		dmdprdsplit2lem.k	. . . . . . . . 9 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
86		difss 3560	. . . . . . . . . . 11 |- ( C \ { X } ) C_ C
87		imass2 5204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) )
88		uniss 4219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
89	86, 87, 88	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C )
90		imassrn 5179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) C_ ran S
91		frn 5735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
92	8, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
94		mresspw 15498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
95	62, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
96	93, 95	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ ~P ( Base ` G ) )
97	90, 96	syl5ss 3443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) )
98		sspwuni 4367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
99	97, 98	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
100	89, 99	syl5ss 3443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) )
101	62, 85, 100	mrcssidd 15531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
102		imassrn 5179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " D ) C_ ran S
103	102, 96	syl5ss 3443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) )
104		sspwuni 4367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
105	103, 104	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
106	62, 85, 105	mrcssidd 15531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( K ` U. ( S " D ) ) )
107	85	dprdspan 17660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
108	39, 107	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
109		df-ima 4847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S " D ) = ran ( S |` D )
110	109	unieqi 4207	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( S " D ) = U. ran ( S |` D )
111	110	fveq2i 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ` U. ( S " D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) )
112	108, 111	syl6eqr 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
113	112	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
114	106, 113	sseqtr4d 3469	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
115		unss12 3606	. . . . . . . 8 |- ( ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) /\ U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
116	101, 114, 115	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
117	85	mrccl 15517	. . . . . . . . 9 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
118	62, 100, 117	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
119		dprdsubg 17657	. . . . . . . . . 10 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
120	39, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
121	120	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
122		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
123	122	lsmunss 17310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
124	118, 121, 123	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
125	116, 124	sstrd 3442	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
126	84, 125	eqsstrd 3466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
127	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
128	62, 85, 127, 99	mrcssd 15530	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( K ` U. ( S " C ) ) )
129	85	dprdspan 17660	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
130	6, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
131		df-ima 4847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) = ran ( S |` C )
132	131	unieqi 4207	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( S " C ) = U. ran ( S |` C )
133	132	fveq2i 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( K ` U. ( S " C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) )
134	130, 133	syl6eqr 2503	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
135	134	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
136	128, 135	sseqtr4d 3469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
137	33	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
138	136, 137	sstrd 3442	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
139	122, 18	lsmsubg 17306	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
140	118, 121, 138, 139	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
141	85	mrcsscl 15526	. . . . 5 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) /\ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
142	62, 126, 140, 141	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
143		sslin 3658	. . . 4 |- ( ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
144	142, 143	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
145	10	sselda 3432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. I )
146	8	ffvelrnda 6022	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. I ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
147	145, 146	syldan 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
148		dmdprdsplit.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
149	20	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
150	6	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
151	13	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> dom ( S |` C ) = C )
152	150, 151, 65	dprdub 17658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
153	149, 152	eqsstr3d 3467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
154		dprdsubg 17657	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
155	6, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
156	155	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
157	122	lsmlub 17315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
158	147, 118, 156, 157	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
159	153, 136, 158	mpbi2and 932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
160		ssrin 3657	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
161	159, 160	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
162		dmdprdsplit2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
163	162	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
164	161, 163	sseqtrd 3468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ { .0. } )
165	122	lsmub1 17308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
166	147, 118, 165	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
167	148	subg0cl 16825	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` X ) )
168	147, 167	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( S ` X ) )
169	166, 168	sseldd 3433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
170	148	subg0cl 16825	. . . . . . . 8 |- ( ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
171	121, 170	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
172	169, 171	elind 3618	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
173	172	snssd 4117	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { .0. } C_ ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
174	164, 173	eqssd 3449	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
175		resima2 5138	. . . . . . . . 9 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
176	86, 175	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
177	176	unieqd 4208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
178	177	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) = ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
179	149, 178	ineq12d 3635	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
180	150, 151, 65, 148, 85	dprddisj 17641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
181	179, 180	eqtr3d 2487	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
182	8	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
183		ffun 5731	. . . . . . . 8 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> Fun S )
184		funiunfv 6153	. . . . . . . 8 |- ( Fun S -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
185	182, 183, 184	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
186	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
187	13	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
188		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y e. C )
189	188	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y e. C )
190		simplr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> X e. C )
191		eldifsni 4098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y =/= X )
192	191	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y =/= X )
193	186, 187, 189, 190, 192, 18	dprdcntz 17640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) )
194		fvres 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. C -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
195	189, 194	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
196	20	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
197	196	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) = ( Z ` ( S ` X ) ) )
198	193, 195, 197	3sstr3d 3474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
199	198	ralrimiva 2802	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
200		iunss 4319	. . . . . . . 8 |- ( U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) <-> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
201	199, 200	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
202	185, 201	eqsstr3d 3467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
203	35	subgss 16818	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
204	147, 203	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
205	35, 18	cntzsubg 16990	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
206	59, 204, 205	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
207	85	mrcsscl 15526	. . . . . 6 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) /\ ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
208	62, 202, 206, 207	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
209	18, 118, 147, 208	cntzrecd 17328	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
210	122, 147, 118, 121, 148, 174, 181, 18, 209	lsmdisj3 17333	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) = { .0. } )
211	144, 210	sseqtrd 3468	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } )
212	56, 211	jca 535	1 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   0gc0g 15338  Moorecmre 15488  mrClscmrc 15489  ACScacs 15491   Grpcgrp 16669  SubGrpcsubg 16811  Cntzccntz 16969   LSSumclsm 17286   DProd cdprd 17625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-dprd 17627

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  17679