Theorem dmdprdsplit2lem 16896

Description: Lemma for dmdprdsplit 16898. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	|- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
dprdsplit.i	|- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
dprdsplit.u	|- ( ph -> I = ( C u. D ) )
dmdprdsplit.z	|- Z = (Cntz ` G )
dmdprdsplit.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplit2.1	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
dmdprdsplit2.2	|- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
dmdprdsplit2.3	|- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4	|- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
dmdprdsplit2lem.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit2lem	|- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdsplit.u	. . . . . 6 |- ( ph -> I = ( C u. D ) )
2	1	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> I = ( C u. D ) )
3	2	eleq2d 2537	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> Y e. ( C u. D ) ) )
4		elun 3645	. . . 4 |- ( Y e. ( C u. D ) <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) )
5	3, 4	syl6bb 261	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I <-> ( Y e. C \/ Y e. D ) ) )
6		dmdprdsplit2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
7	6	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
8		dprdsplit.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
9		ssun1 3667	. . . . . . . . . . 11 |- C C_ ( C u. D )
10	9, 1	syl5sseqr 3553	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C C_ I )
11		fssres 5751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S : I --> (SubGrp ` G ) /\ C C_ I ) -> ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) )
12	8, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) )
13		fdm 5735	. . . . . . . . 9 |- ( ( S |` C ) : C --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` C ) = C )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( S |` C ) = C )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
16		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
17		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> Y e. C )
18		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> X =/= Y )
19		dmdprdsplit.z	. . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` G )
20	7, 15, 16, 17, 18, 19	dprdcntz 16844	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) )
21		fvres 5880	. . . . . . 7 |- ( X e. C -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
22	21	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
23		fvres 5880	. . . . . . . 8 |- ( Y e. C -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
25	24	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` Y ) ) = ( Z ` ( S ` Y ) ) )
26	20, 22, 25	3sstr3d 3546	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. C /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
27	26	exp32 605	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. C -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
28	21	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
29	6	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
30	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
31		simplr 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> X e. C )
32	29, 30, 31	dprdub 16874	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
33	28, 32	eqsstr3d 3539	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
34		dmdprdsplit2.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
35	34	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
36		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
37	36	dprdssv 16858	. . . . . . . 8 |- ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G )
38		fvres 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. D -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
39	38	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) = ( S ` Y ) )
40		dmdprdsplit2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> G dom DProd ( S |` D ) )
42		ssun2 3668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D C_ ( C u. D )
43	42, 1	syl5sseqr 3553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D C_ I )
44		fssres 5751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S : I --> (SubGrp ` G ) /\ D C_ I ) -> ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
45	8, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
46		fdm 5735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` D ) = D )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` D ) = D )
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> dom ( S |` D ) = D )
49		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> Y e. D )
50	41, 48, 49	dprdub 16874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( ( S |` D ) ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
51	39, 50	eqsstr3d 3539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
52	36, 19	cntz2ss 16175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G ) /\ ( S ` Y ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
53	37, 51, 52	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
54	35, 53	sstrd 3514	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
55	33, 54	sstrd 3514	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ ( Y e. D /\ X =/= Y ) ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) )
56	55	exp32 605	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. D -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
57	27, 56	jaod 380	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. C \/ Y e. D ) -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
58	5, 57	sylbid 215	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) )
59		dprdgrp 16841	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> G e. Grp )
60	6, 59	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
61	60	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G e. Grp )
62	36	subgacs 16041	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
63		acsmre 14907	. . . . . 6 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
64	61, 62, 63	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
65		difundir 3751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C u. D ) \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) )
66	2	difeq1d 3621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C u. D ) \ { X } ) )
67		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. C )
68	67	snssd 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { X } C_ C )
69		sslin 3724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { X } C_ C -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) )
71		incom 3691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C i^i D ) = ( D i^i C )
72		dprdsplit.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( C i^i D ) = (/) )
74	71, 73	syl5eqr 2522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i C ) = (/) )
75		sseq0 3817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D i^i { X } ) C_ ( D i^i C ) /\ ( D i^i C ) = (/) ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
76	70, 74, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( D i^i { X } ) = (/) )
77		disj3 3871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D i^i { X } ) = (/) <-> D = ( D \ { X } ) )
78	76, 77	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> D = ( D \ { X } ) )
79	78	uneq2d 3658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( C \ { X } ) u. D ) = ( ( C \ { X } ) u. ( D \ { X } ) ) )
80	65, 66, 79	3eqtr4a 2534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( I \ { X } ) = ( ( C \ { X } ) u. D ) )
81	80	imaeq2d 5337	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) )
82		imaundi 5418	. . . . . . . . 9 |- ( S " ( ( C \ { X } ) u. D ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) )
83	81, 82	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " ( I \ { X } ) ) = ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
84	83	unieqd 4255	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) )
85		uniun 4264	. . . . . . 7 |- U. ( ( S " ( C \ { X } ) ) u. ( S " D ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) )
86	84, 85	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) = ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) )
87		dmdprdsplit2lem.k	. . . . . . . . 9 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
88		difss 3631	. . . . . . . . . . 11 |- ( C \ { X } ) C_ C
89		imass2 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) )
90		uniss 4266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( S " C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
91	88, 89, 90	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C )
92		imassrn 5348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) C_ ran S
93		frn 5737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
94	8, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
95	94	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ (SubGrp ` G ) )
96		mresspw 14847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
97	64, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> (SubGrp ` G ) C_ ~P ( Base ` G ) )
98	95, 97	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ran S C_ ~P ( Base ` G ) )
99	92, 98	syl5ss 3515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) )
100		sspwuni 4411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " C ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
101	99, 100	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " C ) C_ ( Base ` G ) )
102	91, 101	syl5ss 3515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) )
103	64, 87, 102	mrcssidd 14880	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
104		imassrn 5348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " D ) C_ ran S
105	104, 98	syl5ss 3515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) )
106		sspwuni 4411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S " D ) C_ ~P ( Base ` G ) <-> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
107	105, 106	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( Base ` G ) )
108	64, 87, 107	mrcssidd 14880	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( K ` U. ( S " D ) ) )
109	87	dprdspan 16876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
110	40, 109	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) ) )
111		df-ima 5012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S " D ) = ran ( S |` D )
112	111	unieqi 4254	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( S " D ) = U. ran ( S |` D )
113	112	fveq2i 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ` U. ( S " D ) ) = ( K ` U. ran ( S |` D ) )
114	110, 113	syl6eqr 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) = ( K ` U. ( S " D ) ) )
116	108, 115	sseqtr4d 3541	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) )
117		unss12 3676	. . . . . . . 8 |- ( ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) /\ U. ( S " D ) C_ ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
118	103, 116, 117	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
119	87	mrccl 14866	. . . . . . . . 9 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
120	64, 102, 119	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
121		dprdsubg 16873	. . . . . . . . . 10 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
122	40, 121	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
123	122	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
124		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
125	124	lsmunss 16484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
126	120, 123, 125	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) u. ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
127	118, 126	sstrd 3514	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( U. ( S " ( C \ { X } ) ) u. U. ( S " D ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
128	86, 127	eqsstrd 3538	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
129	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ U. ( S " C ) )
130	64, 87, 129, 101	mrcssd 14879	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( K ` U. ( S " C ) ) )
131	87	dprdspan 16876	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
132	6, 131	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) ) )
133		df-ima 5012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S " C ) = ran ( S |` C )
134	133	unieqi 4254	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( S " C ) = U. ran ( S |` C )
135	134	fveq2i 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( K ` U. ( S " C ) ) = ( K ` U. ran ( S |` C ) )
136	132, 135	syl6eqr 2526	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
137	136	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) = ( K ` U. ( S " C ) ) )
138	130, 137	sseqtr4d 3541	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
139	34	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
140	138, 139	sstrd 3514	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
141	124, 19	lsmsubg 16480	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
142	120, 123, 140, 141	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
143	87	mrcsscl 14875	. . . . 5 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( I \ { X } ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) /\ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
144	64, 128, 142, 143	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
145		sslin 3724	. . . 4 |- ( ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) C_ ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
146	144, 145	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
147	10	sselda 3504	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> X e. I )
148	8	ffvelrnda 6021	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. I ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
149	147, 148	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) )
150		dmdprdsplit.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
151	21	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
152	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
153	14	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> dom ( S |` C ) = C )
154	152, 153, 67	dprdub 16874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
155	151, 154	eqsstr3d 3539	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
156		dprdsubg 16873	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
157	6, 156	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
158	157	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
159	124	lsmlub 16489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
160	149, 120, 158, 159	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) <-> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) ) )
161	155, 138, 160	mpbi2and 919	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) )
162		ssrin 3723	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
163	161, 162	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
164		dmdprdsplit2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
165	164	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
166	163, 165	sseqtrd 3540	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ { .0. } )
167	124	lsmub1 16482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
168	149, 120, 167	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
169	150	subg0cl 16014	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` X ) )
170	149, 169	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( S ` X ) )
171	168, 170	sseldd 3505	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
172	150	subg0cl 16014	. . . . . . . 8 |- ( ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
173	123, 172	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
174	171, 173	elind 3688	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> .0. e. ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
175	174	snssd 4172	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> { .0. } C_ ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
176	166, 175	eqssd 3521	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S ` X ) ( LSSum ` G ) ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )
177		resima2 5307	. . . . . . . . 9 |- ( ( C \ { X } ) C_ C -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
178	88, 177	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = ( S " ( C \ { X } ) ) )
179	178	unieqd 4255	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
180	179	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) = ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) )
181	151, 180	ineq12d 3701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
182	152, 153, 67, 150, 87	dprddisj 16845	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( ( S |` C ) ` X ) i^i ( K ` U. ( ( S |` C ) " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
183	181, 182	eqtr3d 2510	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) = { .0. } )
184	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
185		ffun 5733	. . . . . . . 8 |- ( S : I --> (SubGrp ` G ) -> Fun S )
186		funiunfv 6148	. . . . . . . 8 |- ( Fun S -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
187	184, 185, 186	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) = U. ( S " ( C \ { X } ) ) )
188	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> G dom DProd ( S |` C ) )
189	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> dom ( S |` C ) = C )
190		eldifi 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y e. C )
191	190	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y e. C )
192		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> X e. C )
193		eldifsni 4153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( C \ { X } ) -> y =/= X )
194	193	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> y =/= X )
195	188, 189, 191, 192, 194, 19	dprdcntz 16844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) C_ ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) )
196		fvres 5880	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. C -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
197	191, 196	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` y ) = ( S ` y ) )
198	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( ( S |` C ) ` X ) = ( S ` X ) )
199	198	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( Z ` ( ( S |` C ) ` X ) ) = ( Z ` ( S ` X ) ) )
200	195, 197, 199	3sstr3d 3546	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. C ) /\ y e. ( C \ { X } ) ) -> ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
201	200	ralrimiva 2878	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
202		iunss 4366	. . . . . . . 8 |- ( U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) <-> A. y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
203	201, 202	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U_ y e. ( C \ { X } ) ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
204	187, 203	eqsstr3d 3539	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
205	36	subgss 16007	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` X ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
206	149, 205	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) )
207	36, 19	cntzsubg 16179	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( S ` X ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
208	61, 206, 207	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) )
209	87	mrcsscl 14875	. . . . . 6 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ( S " ( C \ { X } ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) /\ ( Z ` ( S ` X ) ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
210	64, 204, 208, 209	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) C_ ( Z ` ( S ` X ) ) )
211	19, 120, 149, 210	cntzrecd 16502	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ) )
212	124, 149, 120, 123, 150, 176, 183, 19, 211	lsmdisj3 16507	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( ( K ` U. ( S " ( C \ { X } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) = { .0. } )
213	146, 212	sseqtrd 3540	. 2 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } )
214	58, 213	jca 532	1 |- ( ( ph /\ X e. C ) -> ( ( Y e. I -> ( X =/= Y -> ( S ` X ) C_ ( Z ` ( S ` Y ) ) ) ) /\ ( ( S ` X ) i^i ( K ` U. ( S " ( I \ { X } ) ) ) ) C_ { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   0gc0g 14695  Moorecmre 14837  mrClscmrc 14838  ACScacs 14840   Grpcgrp 15727  SubGrpcsubg 16000  Cntzccntz 16158   LSSumclsm 16460   DProd cdprd 16827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-gim 16112  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-dprd 16829

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  16897