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Theorem dmdprdsplit2lem 17306
Description: Lemma for dmdprdsplit 17308. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
dprdsplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprdsplit.u  |-  ( ph  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
dmdprdsplit.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdsplit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdsplit2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
dmdprdsplit2.2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
dmdprdsplit2.3  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
dmdprdsplit2.4  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
dmdprdsplit2lem.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2lem  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) )  /\  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem dmdprdsplit2lem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
21adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  I  =  ( C  u.  D ) )
32eleq2d 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  <->  Y  e.  ( C  u.  D
) ) )
4 elun 3583 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( C  u.  D )  <->  ( Y  e.  C  \/  Y  e.  D ) )
53, 4syl6bb 261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  <->  ( Y  e.  C  \/  Y  e.  D ) ) )
6 dmdprdsplit2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
76ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
8 dprdsplit.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
9 ssun1 3605 . . . . . . . . . . 11  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
109, 1syl5sseqr 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
118, 10fssresd 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G ) )
12 fdm 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  |`  C ) : C --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
1413ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
15 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  e.  C
)
16 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  Y  e.  C
)
17 simprr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  =/=  Y
)
18 dmdprdsplit.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
197, 14, 15, 16, 17, 18dprdcntz 17253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  C_  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  Y
) ) )
20 fvres 5819 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  =  ( S `  X
) )
2120ad2antlr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
22 fvres 5819 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 Y )  =  ( S `  Y
) )
2322ad2antrl 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  Y
)  =  ( S `
 Y ) )
2423fveq2d 5809 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  Y
) )  =  ( Z `  ( S `
 Y ) ) )
2519, 21, 243sstr3d 3483 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  C  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
2625exp32 603 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  C  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
2720ad2antlr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
286ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
2913ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
30 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  X  e.  C
)
3128, 29, 30dprdub 17284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  C ) `  X
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )
3227, 31eqsstr3d 3476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
33 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
3433ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) 
C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
35 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3635dprdssv 17268 . . . . . . . 8  |-  ( G DProd 
( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )
37 fvres 5819 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  D  ->  (
( S  |`  D ) `
 Y )  =  ( S `  Y
) )
3837ad2antrl 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  D ) `  Y
)  =  ( S `
 Y ) )
39 dmdprdsplit2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
41 ssun2 3606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
4241, 1syl5sseqr 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
438, 42fssresd 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G ) )
44 fdm 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
47 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  Y  e.  D
)
4840, 46, 47dprdub 17284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( ( S  |`  D ) `  Y
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )
4938, 48eqsstr3d 3476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  Y )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
5035, 18cntz2ss 16586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )  /\  ( S `  Y
)  C_  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D )
) )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5136, 49, 50sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5234, 51sstrd 3451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5332, 52sstrd 3451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  ( Y  e.  D  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) )
5453exp32 603 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  D  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
5526, 54jaod 378 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  C  \/  Y  e.  D
)  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( S `  Y ) ) ) ) )
565, 55sylbid 215 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) ) )
57 dprdgrp 17250 . . . . . . . 8  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  G  e.  Grp )
586, 57syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5958adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  G  e.  Grp )
6035subgacs 16452 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
61 acsmre 15158 . . . . . 6  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
6259, 60, 613syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
63 difundir 3702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  u.  D ) 
\  { X }
)  =  ( ( C  \  { X } )  u.  ( D  \  { X }
) )
642difeq1d 3559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
I  \  { X } )  =  ( ( C  u.  D
)  \  { X } ) )
65 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  C )
6665snssd 4116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  { X }  C_  C )
67 sslin 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { X }  C_  C  ->  ( D  i^i  { X } )  C_  ( D  i^i  C ) )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  { X }
)  C_  ( D  i^i  C ) )
69 incom 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  i^i  D )  =  ( D  i^i  C
)
70 dprdsplit.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
7170adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( C  i^i  D )  =  (/) )
7269, 71syl5eqr 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  C )  =  (/) )
73 sseq0 3770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  i^i  { X } )  C_  ( D  i^i  C )  /\  ( D  i^i  C )  =  (/) )  ->  ( D  i^i  { X }
)  =  (/) )
7468, 72, 73syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( D  i^i  { X }
)  =  (/) )
75 disj3 3813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  i^i  { X } )  =  (/)  <->  D  =  ( D  \  { X } ) )
7674, 75sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  D  =  ( D  \  { X } ) )
7776uneq2d 3596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( C  \  { X } )  u.  D
)  =  ( ( C  \  { X } )  u.  ( D  \  { X }
) ) )
7863, 64, 773eqtr4a 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
I  \  { X } )  =  ( ( C  \  { X } )  u.  D
) )
7978imaeq2d 5278 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( S "
( ( C  \  { X } )  u.  D ) ) )
80 imaundi 5357 . . . . . . . . 9  |-  ( S
" ( ( C 
\  { X }
)  u.  D ) )  =  ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  u.  ( S " D ) )
8179, 80syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( ( S
" ( C  \  { X } ) )  u.  ( S " D ) ) )
8281unieqd 4200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) )  =  U. ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  u.  ( S " D ) ) )
83 uniun 4209 . . . . . . 7  |-  U. (
( S " ( C  \  { X }
) )  u.  ( S " D ) )  =  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) )
8482, 83syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) )  =  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) ) )
85 dmdprdsplit2lem.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
86 difss 3569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
\  { X }
)  C_  C
87 imass2 5313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  \  { X } )  C_  C  ->  ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( S " C ) )
88 uniss 4211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " ( C 
\  { X }
) )  C_  ( S " C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  U. ( S " C ) )
8986, 87, 88mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  U. ( S " C )
90 imassrn 5289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" C )  C_  ran  S
91 frn 5676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  ran  S 
C_  (SubGrp `  G )
)
928, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (SubGrp `  G ) )
9392adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ran  S 
C_  (SubGrp `  G )
)
94 mresspw 15098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  C_  ~P ( Base `  G )
)
9562, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (SubGrp `  G )  C_  ~P ( Base `  G )
)
9693, 95sstrd 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ran  S 
C_  ~P ( Base `  G
) )
9790, 96syl5ss 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " C )  C_  ~P ( Base `  G
) )
98 sspwuni 4359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " C ) 
C_  ~P ( Base `  G
)  <->  U. ( S " C )  C_  ( Base `  G ) )
9997, 98sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " C )  C_  ( Base `  G )
)
10089, 99syl5ss 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( Base `  G
) )
10162, 85, 100mrcssidd 15131 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) )
102 imassrn 5289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" D )  C_  ran  S
103102, 96syl5ss 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S " D )  C_  ~P ( Base `  G
) )
104 sspwuni 4359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S " D ) 
C_  ~P ( Base `  G
)  <->  U. ( S " D )  C_  ( Base `  G ) )
105103, 104sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( Base `  G )
)
10662, 85, 105mrcssidd 15131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( K `  U. ( S " D ) ) )
10785dprdspan 17286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `
 U. ran  ( S  |`  D ) ) )
10839, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  D ) ) )
109 df-ima 4955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S
" D )  =  ran  ( S  |`  D )
110109unieqi 4199 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( S " D )  = 
U. ran  ( S  |`  D )
111110fveq2i 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K `
 U. ( S
" D ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  D ) )
112108, 111syl6eqr 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `  U. ( S " D ) ) )
113112adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  =  ( K `
 U. ( S
" D ) ) )
114106, 113sseqtr4d 3478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " D )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
115 unss12 3614 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( S "
( C  \  { X } ) )  C_  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) )  /\  U. ( S " D )  C_  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X } ) )  u.  U. ( S
" D ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
116101, 114, 115syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X }
) )  u.  U. ( S " D ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
11785mrccl 15117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
11862, 100, 117syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
119 dprdsubg 17283 . . . . . . . . . 10  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
12039, 119syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
121120adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
122 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
123122lsmunss 16894 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  u.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  C_  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
124118, 121, 123syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  u.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
125116, 124sstrd 3451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( U. ( S " ( C  \  { X }
) )  u.  U. ( S " D ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
12684, 125eqsstrd 3475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( I  \  { X } ) ) 
C_  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
12789a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  U. ( S " C ) )
12862, 85, 127, 99mrcssd 15130 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( K `  U. ( S " C ) ) )
12985dprdspan 17286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `
 U. ran  ( S  |`  C ) ) )
1306, 129syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  C ) ) )
131 df-ima 4955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
" C )  =  ran  ( S  |`  C )
132131unieqi 4199 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( S " C )  = 
U. ran  ( S  |`  C )
133132fveq2i 5808 . . . . . . . . . 10  |-  ( K `
 U. ( S
" C ) )  =  ( K `  U. ran  ( S  |`  C ) )
134130, 133syl6eqr 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `  U. ( S " C ) ) )
135134adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  =  ( K `
 U. ( S
" C ) ) )
136128, 135sseqtr4d 3478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )
13733adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
138136, 137sstrd 3451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
139122, 18lsmsubg 16890 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )  -> 
( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
140118, 121, 138, 139syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
14185mrcsscl 15126 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " (
I  \  { X } ) )  C_  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  /\  ( ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
14262, 126, 140, 141syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( I  \  { X } ) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
143 sslin 3664 . . . 4  |-  ( ( K `  U. ( S " ( I  \  { X } ) ) )  C_  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( ( S `  X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( ( S `
 X )  i^i  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
144142, 143syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( I  \  { X } ) ) ) )  C_  ( ( S `  X )  i^i  ( ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
14510sselda 3441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  I )
1468ffvelrnda 5965 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  I )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
147145, 146syldan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G )
)
148 dmdprdsplit.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
14920adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  =  ( S `  X
) )
1506adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
15113adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
152150, 151, 65dprdub 17284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
153149, 152eqsstr3d 3476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
154 dprdsubg 17283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
1556, 154syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
156155adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
157122lsmlub 16899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( ( S `
 X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )  <->  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) ) )
158147, 118, 156, 157syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( G DProd  ( S  |`  C )
) )  <->  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) ) )
159153, 136, 158mpbi2and 922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
) ( LSSum `  G
) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) ) )
160 ssrin 3663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S `  X
) ( LSSum `  G
) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X }
) ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  ->  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
161159, 160syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  (
( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
162 dmdprdsplit2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
163162adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  }
)
164161, 163sseqtrd 3477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  {  .0.  } )
165122lsmub1 16892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  X
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S `  X
)  C_  ( ( S `  X )
( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) )
166147, 118, 165syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
167148subg0cl 16425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  ( S `  X ) )
168147, 167syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( S `  X
) )
169166, 168sseldd 3442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
170148subg0cl 16425 . . . . . . . 8  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
171121, 170syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )
172169, 171elind 3626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  .0.  e.  ( ( ( S `
 X ) (
LSSum `  G ) ( K `  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
173172snssd 4116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  {  .0.  } 
C_  ( ( ( S `  X ) ( LSSum `  G )
( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
174164, 173eqssd 3458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S `  X ) ( LSSum `  G ) ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
175 resima2 5248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  \  { X } )  C_  C  ->  ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) )  =  ( S " ( C 
\  { X }
) ) )
17686, 175mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S  |`  C )
" ( C  \  { X } ) )  =  ( S "
( C  \  { X } ) ) )
177176unieqd 4200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( S  |`  C )
" ( C  \  { X } ) )  =  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )
178177fveq2d 5809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X } ) ) )  =  ( K `
 U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) )
179149, 178ineq12d 3641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S  |`  C ) `  X
)  i^i  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) ) ) )  =  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( C 
\  { X }
) ) ) ) )
180150, 151, 65, 148, 85dprddisj 17254 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( S  |`  C ) `  X
)  i^i  ( K `  U. ( ( S  |`  C ) " ( C  \  { X }
) ) ) )  =  {  .0.  }
)
181179, 180eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( C  \  { X } ) ) ) )  =  {  .0.  } )
1828adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
183 ffun 5672 . . . . . . . 8  |-  ( S : I --> (SubGrp `  G )  ->  Fun  S )
184 funiunfv 6097 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
S  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  = 
U. ( S "
( C  \  { X } ) ) )
185182, 183, 1843syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  = 
U. ( S "
( C  \  { X } ) ) )
1866ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
18713ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
188 eldifi 3564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C  \  { X } )  -> 
y  e.  C )
189188adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
y  e.  C )
190 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  ->  X  e.  C )
191 eldifsni 4097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( C  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
192191adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
193186, 187, 189, 190, 192, 18dprdcntz 17253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  y
)  C_  ( Z `  ( ( S  |`  C ) `  X
) ) )
194 fvres 5819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 y )  =  ( S `  y
) )
195189, 194syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  y
)  =  ( S `
 y ) )
19620ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( ( S  |`  C ) `  X
)  =  ( S `
 X ) )
197196fveq2d 5809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( Z `  (
( S  |`  C ) `
 X ) )  =  ( Z `  ( S `  X ) ) )
198193, 195, 1973sstr3d 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  X  e.  C )  /\  y  e.  ( C  \  { X } ) )  -> 
( S `  y
)  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
199198ralrimiva 2817 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A. y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
200 iunss 4311 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `  y
)  C_  ( Z `  ( S `  X
) )  <->  A. y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
201199, 200sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U_ y  e.  ( C  \  { X } ) ( S `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 X ) ) )
202185, 201eqsstr3d 3476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. ( S " ( C  \  { X } ) ) 
C_  ( Z `  ( S `  X ) ) )
20335subgss 16418 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  X )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  X )  C_  ( Base `  G ) )
204147, 203syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( Base `  G
) )
20535, 18cntzsubg 16590 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S `  X ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( S `  X ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
20659, 204, 205syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( Z `  ( S `  X ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
20785mrcsscl 15126 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( C  \  { X }
) )  C_  ( Z `  ( S `  X ) )  /\  ( Z `  ( S `
 X ) )  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
20862, 202, 206, 207syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) )  C_  ( Z `  ( S `  X
) ) )
20918, 118, 147, 208cntzrecd 16912 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( S `  X )  C_  ( Z `  ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ) )
210122, 147, 118, 121, 148, 174, 181, 18, 209lsmdisj3 16917 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( ( K `  U. ( S
" ( C  \  { X } ) ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  =  {  .0.  } )
211144, 210sseqtrd 3477 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( S `  X
)  i^i  ( K `  U. ( S "
( I  \  { X } ) ) ) )  C_  {  .0.  } )
21256, 211jca 530 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( Y  e.  I  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( S `  X
)  C_  ( Z `  ( S `  Y
) ) ) )  /\  ( ( S `
 X )  i^i  ( K `  U. ( S " ( I 
\  { X }
) ) ) ) 
C_  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   {csn 3971   U.cuni 4190   U_ciun 4270   class class class wbr 4394   dom cdm 4942   ran crn 4943    |` cres 4944   "cima 4945   Fun wfun 5519   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   0gc0g 14946  Moorecmre 15088  mrClscmrc 15089  ACScacs 15091   Grpcgrp 16269  SubGrpcsubg 16411  Cntzccntz 16569   LSSumclsm 16870   DProd cdprd 17236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-gim 16523  df-cntz 16571  df-oppg 16597  df-lsm 16872  df-cmn 17016  df-dprd 17238
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2  17307
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