Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2 Structured version   Unicode version

Theorem dmdprdsplit2 16636
 Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 SubGrp
dprdsplit.i
dprdsplit.u
dmdprdsplit.z Cntz
dmdprdsplit.0
dmdprdsplit2.1 DProd
dmdprdsplit2.2 DProd
dmdprdsplit2.3 DProd DProd
dmdprdsplit2.4 DProd DProd
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2 DProd

Proof of Theorem dmdprdsplit2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplit.z . 2 Cntz
2 dmdprdsplit.0 . 2
3 eqid 2450 . 2 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
4 dmdprdsplit2.1 . . 3 DProd
5 dprdgrp 16580 . . 3 DProd
64, 5syl 16 . 2
7 dprdsplit.u . . 3
8 dprdsplit.2 . . . . . . 7 SubGrp
9 ssun1 3603 . . . . . . . 8
109, 7syl5sseqr 3489 . . . . . . 7
11 fssres 5662 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6 SubGrp
13 fdm 5647 . . . . . 6 SubGrp
1412, 13syl 16 . . . . 5
15 reldmdprd 16570 . . . . . . 7 DProd
1615brrelex2i 4964 . . . . . 6 DProd
17 dmexg 6595 . . . . . 6
184, 16, 173syl 20 . . . . 5
1914, 18eqeltrrd 2537 . . . 4
20 ssun2 3604 . . . . . . . 8
2120, 7syl5sseqr 3489 . . . . . . 7
22 fssres 5662 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
238, 21, 22syl2anc 661 . . . . . 6 SubGrp
24 fdm 5647 . . . . . 6 SubGrp
2523, 24syl 16 . . . . 5
26 dmdprdsplit2.2 . . . . . 6 DProd
2715brrelex2i 4964 . . . . . 6 DProd
28 dmexg 6595 . . . . . 6
2926, 27, 283syl 20 . . . . 5
3025, 29eqeltrrd 2537 . . . 4
31 unexg 6467 . . . 4
3219, 30, 31syl2anc 661 . . 3
337, 32eqeltrd 2536 . 2
347eleq2d 2519 . . . . 5
35 elun 3581 . . . . 5
3634, 35syl6bb 261 . . . 4
37 dprdsplit.i . . . . . . . 8
38 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 DProd DProd
39 dmdprdsplit2.4 . . . . . . . 8 DProd DProd
408, 37, 7, 1, 2, 4, 26, 38, 39, 3dmdprdsplit2lem 16635 . . . . . . 7 mrClsSubGrp
41 incom 3627 . . . . . . . . 9
4241, 37syl5eqr 2504 . . . . . . . 8
43 uncom 3584 . . . . . . . . 9
447, 43syl6eq 2506 . . . . . . . 8
45 dprdsubg 16612 . . . . . . . . . 10 DProd DProd SubGrp
464, 45syl 16 . . . . . . . . 9 DProd SubGrp
47 dprdsubg 16612 . . . . . . . . . 10 DProd DProd SubGrp
4826, 47syl 16 . . . . . . . . 9 DProd SubGrp
491, 46, 48, 38cntzrecd 16265 . . . . . . . 8 DProd DProd
50 incom 3627 . . . . . . . . 9 DProd DProd DProd DProd
5150, 39syl5eqr 2504 . . . . . . . 8 DProd DProd
528, 42, 44, 1, 2, 26, 4, 49, 51, 3dmdprdsplit2lem 16635 . . . . . . 7 mrClsSubGrp
5340, 52jaodan 783 . . . . . 6 mrClsSubGrp
5453simpld 459 . . . . 5
5554ex 434 . . . 4
5636, 55sylbid 215 . . 3
57563imp2 1203 . 2
5836biimpa 484 . . 3
5940simprd 463 . . . 4 mrClsSubGrp
6052simprd 463 . . . 4 mrClsSubGrp
6159, 60jaodan 783 . . 3 mrClsSubGrp
6258, 61syldan 470 . 2 mrClsSubGrp
631, 2, 3, 6, 33, 8, 57, 62dmdprdd 16572 1 DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   wceq 1370   wcel 1757   wne 2641  cvv 3054   cdif 3409   cun 3410   cin 3411   wss 3412  c0 3721  csn 3961  cuni 4175   class class class wbr 4376   cdm 4924   cres 4926  cima 4927  wf 5498  cfv 5502  (class class class)co 6176  c0g 14466  mrClscmrc 14609  cgrp 15498  SubGrpcsubg 15763  Cntzccntz 15921   DProd cdprd 16566 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-tpos 6831  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-gim 15875  df-cntz 15923  df-oppg 15949  df-lsm 16225  df-cmn 16369  df-dprd 16568 This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  16637  pgpfaclem1  16673
 Copyright terms: Public domain W3C validator