MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Structured version   Unicode version

Theorem dmdprdpr 16538
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdpr.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdpr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
dmdprdpr.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4417 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2 dmdprdpr.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3 dprdsn 16523 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( G dom DProd  { <. (/) ,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. (/)
,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/) ,  S >. } )  =  S ) )
54simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  { <. (/) ,  S >. } )
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
7 xpscf 14496 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) ) )
82, 6, 7sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
) : 2o --> (SubGrp `  G ) )
9 ffn 5554 . . . . . . 7  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  ->  `' ( { S }  +c  { T } )  Fn  2o )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o )
111prid1 3978 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
12 df2o3 6925 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1311, 12eleqtrri 2511 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
14 fnressn 5889 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
1510, 13, 14sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
16 xpsc0 14490 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
172, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
1817opeq2d 4061 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >.  =  <. (/)
,  S >. )
1918sneqd 3884 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >. }  =  { <. (/) ,  S >. } )
2015, 19eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  S >. } )
215, 20breqtrrd 4313 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )
22 1on 6919 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
23 dprdsn 16523 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  T  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
2422, 6, 23sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
2524simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  { <. 1o ,  T >. } )
2622elexi 2977 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  _V
2726prid2 3979 . . . . . . 7  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
2827, 12eleqtrri 2511 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
29 fnressn 5889 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
3010, 28, 29sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
31 xpsc1 14491 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T
)
326, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T )
3332opeq2d 4061 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >.  =  <. 1o ,  T >. )
3433sneqd 3884 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T }
) `  1o ) >. }  =  { <. 1o ,  T >. } )
3530, 34eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  T >. } )
3625, 35breqtrrd 4313 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )
37 1n0 6927 . . . . . . . . 9  |-  1o  =/=  (/)
3837necomi 2689 . . . . . . . 8  |-  (/)  =/=  1o
39 disjsn2 3932 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
4038, 39mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )
41 df-pr 3875 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
4212, 41eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2o  =  ( {
(/) }  u.  { 1o } ) )
44 dmdprdpr.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
45 dmdprdpr.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
468, 40, 43, 44, 45dmdprdsplit 16536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  (
( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } ) ) )
47 3anass 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  (
( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } )  <-> 
( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) ) 
C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } ) ) )
4846, 47syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) ) )
4948baibd 900 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  -> 
( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) )
5049ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T }
)  <->  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) ) )
5121, 36, 50mp2and 679 . 2  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) )
5220oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } ) )
534simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S )
5452, 53eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  S )
5535oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } ) )
5624simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T )
5755, 56eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  T )
5857fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  ( Z `  T ) )
5954, 58sseq12d 3380 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  <->  S  C_  ( Z `  T )
) )
6054, 57ineq12d 3548 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  ( S  i^i  T ) )
6160eqeq1d 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  }
) )
6259, 61anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
)  <->  ( S  C_  ( Z `  T )  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
6351, 62bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   {cpr 3874   <.cop 3878   class class class wbr 4287   Oncon0 4714   `'ccnv 4834   dom cdm 4835    |` cres 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1oc1o 6905   2oc2o 6906    +c ccda 8328   0gc0g 14370  SubGrpcsubg 15666  Cntzccntz 15824   DProd cdprd 16465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-gim 15778  df-cntz 15826  df-oppg 15852  df-lsm 16126  df-cmn 16270  df-dprd 16467
This theorem is referenced by:  dprdpr  16539
  Copyright terms: Public domain W3C validator