MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Structured version   Unicode version

Theorem dmdprdpr 16522
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdpr.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdpr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
dmdprdpr.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4410 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2 dmdprdpr.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3 dprdsn 16507 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( G dom DProd  { <. (/) ,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S ) )
41, 2, 3sylancr 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. (/)
,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/) ,  S >. } )  =  S ) )
54simpld 456 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  { <. (/) ,  S >. } )
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
7 xpscf 14487 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) ) )
82, 6, 7sylanbrc 657 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
) : 2o --> (SubGrp `  G ) )
9 ffn 5547 . . . . . . 7  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  ->  `' ( { S }  +c  { T } )  Fn  2o )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o )
111prid1 3971 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
12 df2o3 6921 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1311, 12eleqtrri 2506 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
14 fnressn 5881 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
1510, 13, 14sylancl 655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
16 xpsc0 14481 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
172, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
1817opeq2d 4054 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >.  =  <. (/)
,  S >. )
1918sneqd 3877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >. }  =  { <. (/) ,  S >. } )
2015, 19eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  S >. } )
215, 20breqtrrd 4306 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )
22 1on 6915 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
23 dprdsn 16507 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  T  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
2422, 6, 23sylancr 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
2524simpld 456 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  { <. 1o ,  T >. } )
2622elexi 2972 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  _V
2726prid2 3972 . . . . . . 7  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
2827, 12eleqtrri 2506 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
29 fnressn 5881 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
3010, 28, 29sylancl 655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
31 xpsc1 14482 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T
)
326, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T )
3332opeq2d 4054 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >.  =  <. 1o ,  T >. )
3433sneqd 3877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T }
) `  1o ) >. }  =  { <. 1o ,  T >. } )
3530, 34eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  T >. } )
3625, 35breqtrrd 4306 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )
37 1n0 6923 . . . . . . . . 9  |-  1o  =/=  (/)
3837necomi 2684 . . . . . . . 8  |-  (/)  =/=  1o
39 disjsn2 3925 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
4038, 39mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )
41 df-pr 3868 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
4212, 41eqtri 2453 . . . . . . . 8  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2o  =  ( {
(/) }  u.  { 1o } ) )
44 dmdprdpr.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
45 dmdprdpr.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
468, 40, 43, 44, 45dmdprdsplit 16520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  (
( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } ) ) )
47 3anass 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  (
( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } )  <-> 
( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) ) 
C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } ) ) )
4846, 47syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) ) )
4948baibd 893 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  -> 
( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) )
5049ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T }
)  <->  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) ) )
5121, 36, 50mp2and 672 . 2  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) )
5220oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } ) )
534simprd 460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S )
5452, 53eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  S )
5535oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } ) )
5624simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T )
5755, 56eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  T )
5857fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  ( Z `  T ) )
5954, 58sseq12d 3373 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  <->  S  C_  ( Z `  T )
) )
6054, 57ineq12d 3541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  ( S  i^i  T ) )
6160eqeq1d 2441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  }
) )
6259, 61anbi12d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
)  <->  ( S  C_  ( Z `  T )  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
6351, 62bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   {cpr 3867   <.cop 3871   class class class wbr 4280   Oncon0 4706   `'ccnv 4826   dom cdm 4827    |` cres 4829    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1oc1o 6901   2oc2o 6902    +c ccda 8324   0gc0g 14361  SubGrpcsubg 15655  Cntzccntz 15813   DProd cdprd 16449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-gim 15767  df-cntz 15815  df-oppg 15841  df-lsm 16115  df-cmn 16259  df-dprd 16451
This theorem is referenced by:  dprdpr  16523
  Copyright terms: Public domain W3C validator