MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Structured version   Unicode version

Theorem dmdprdpr 16881
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
dmdprdpr.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
dmdprdpr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
dmdprdpr.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4570 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2 dmdprdpr.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3 dprdsn 16866 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( G dom DProd  { <. (/) ,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. (/)
,  S >. }  /\  ( G DProd  { <. (/) ,  S >. } )  =  S ) )
54simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  { <. (/) ,  S >. } )
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
7 xpscf 14810 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) ) )
82, 6, 7sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
) : 2o --> (SubGrp `  G ) )
9 ffn 5722 . . . . . . 7  |-  ( `' ( { S }  +c  { T } ) : 2o --> (SubGrp `  G )  ->  `' ( { S }  +c  { T } )  Fn  2o )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o )
111prid1 4128 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
12 df2o3 7133 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1311, 12eleqtrri 2547 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
14 fnressn 6064 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
1510, 13, 14sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) ) >. } )
16 xpsc0 14804 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
172, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  (/) )  =  S )
1817opeq2d 4213 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >.  =  <. (/)
,  S >. )
1918sneqd 4032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 (/) ) >. }  =  { <. (/) ,  S >. } )
2015, 19eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  S >. } )
215, 20breqtrrd 4466 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )
22 1on 7127 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
23 dprdsn 16866 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  T  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
2422, 6, 23sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  { <. 1o ,  T >. }  /\  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T ) )
2524simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  { <. 1o ,  T >. } )
2622elexi 3116 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  _V
2726prid2 4129 . . . . . . 7  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
2827, 12eleqtrri 2547 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
29 fnressn 6064 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( { S }  +c  { T }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
3010, 28, 29sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >. } )
31 xpsc1 14805 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T
)
326, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `  1o )  =  T )
3332opeq2d 4213 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T } ) `
 1o ) >.  =  <. 1o ,  T >. )
3433sneqd 4032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. 1o ,  ( `' ( { S }  +c  { T }
) `  1o ) >. }  =  { <. 1o ,  T >. } )
3530, 34eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  T >. } )
3625, 35breqtrrd 4466 . . 3  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )
37 1n0 7135 . . . . . . . . 9  |-  1o  =/=  (/)
3837necomi 2730 . . . . . . . 8  |-  (/)  =/=  1o
39 disjsn2 4082 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
4038, 39mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )
41 df-pr 4023 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
4212, 41eqtri 2489 . . . . . . . 8  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2o  =  ( {
(/) }  u.  { 1o } ) )
44 dmdprdpr.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
45 dmdprdpr.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
468, 40, 43, 44, 45dmdprdsplit 16879 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  (
( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } ) ) )
47 3anass 972 . . . . . 6  |-  ( ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  (
( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } )  <-> 
( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) ) 
C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  =  {  .0.  } ) ) )
4846, 47syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  /\  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) ) )
4948baibd 902 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  -> 
( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) )
5049ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } )  /\  G dom DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T }
)  <->  ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) ) )
5121, 36, 50mp2and 679 . 2  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
) ) )
5220oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } ) )
534simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. (/)
,  S >. } )  =  S )
5452, 53eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  =  S )
5535oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } ) )
5624simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  { <. 1o ,  T >. } )  =  T )
5755, 56eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) )  =  T )
5857fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  ( Z `  T ) )
5954, 58sseq12d 3526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  <->  S  C_  ( Z `  T )
) )
6054, 57ineq12d 3694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  ( S  i^i  T ) )
6160eqeq1d 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  }
) )
6259, 61anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { (/) } ) )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { 1o }
) ) )  /\  ( ( G DProd  ( `' ( { S }  +c  { T }
)  |`  { (/) } ) )  i^i  ( G DProd 
( `' ( { S }  +c  { T } )  |`  { 1o } ) ) )  =  {  .0.  }
)  <->  ( S  C_  ( Z `  T )  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
6351, 62bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  `' ( { S }  +c  { T } )  <->  ( S  C_  ( Z `  T
)  /\  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   _Vcvv 3106    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   class class class wbr 4440   Oncon0 4871   `'ccnv 4991   dom cdm 4992    |` cres 4994    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1oc1o 7113   2oc2o 7114    +c ccda 8536   0gc0g 14684  SubGrpcsubg 15983  Cntzccntz 16141   DProd cdprd 16808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-dprd 16810
This theorem is referenced by:  dprdpr  16882
  Copyright terms: Public domain W3C validator