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Theorem dmdmd 11872
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130.
Assertion
Ref Expression
dmdmd |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B <-> (_|_` A) MH (_|_` B)))
Proof of Theorem dmdmd
StepHypRef Expression
1 choccl 10817 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. CH -> (_|_` x) e. CH)
21imim1i 19 . . . . . . . . . 10 |- (((_|_` x) e. CH -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))) -> (x e. CH -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
32com12 14 . . . . . . . . 9 |- (x e. CH -> (((_|_` x) e. CH -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))) -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
43adantl 424 . . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> (((_|_` x) e. CH -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))) -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
5 chsscon3 11056 . . . . . . . . . . 11 |- ((B e. CH /\ x e. CH) -> (B C_ x <-> (_|_` x) C_ (_|_` B)))
65biimpd 170 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. CH /\ x e. CH) -> (B C_ x -> (_|_` x) C_ (_|_` B)))
76adantll 428 . . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> (B C_ x -> (_|_` x) C_ (_|_` B)))
8 chdmm3 11083 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((_|_` x) vH (_|_` A)) e. CH /\ B e. CH) -> (_|_` (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B))) = ((_|_` ((_|_` x) vH (_|_` A))) vH B))
9 chjcl 10962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((_|_` x) e. CH /\ (_|_` A) e. CH) -> ((_|_` x) vH (_|_` A)) e. CH)
10 choccl 10817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. CH -> (_|_` A) e. CH)
119, 1, 10syl2an 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. CH /\ A e. CH) -> ((_|_` x) vH (_|_` A)) e. CH)
128, 11sylan 497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CH /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (_|_` (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B))) = ((_|_` ((_|_` x) vH (_|_` A))) vH B))
13 chdmj4 11088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CH /\ A e. CH) -> (_|_` ((_|_` x) vH (_|_` A))) = (x i^i A))
1413adantr 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x e. CH /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (_|_` ((_|_` x) vH (_|_` A))) = (x i^i A))
1514opreq1d 4897 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CH /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((_|_` ((_|_` x) vH (_|_` A))) vH B) = ((x i^i A) vH B))
1612, 15eqtrd 1925 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CH /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (_|_` (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B))) = ((x i^i A) vH B))
1716anasss 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (_|_` (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B))) = ((x i^i A) vH B))
18 chdmj2 11086 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CH /\ ((_|_` A) i^i (_|_` B)) e. CH) -> (_|_` ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) = (x i^i (_|_` ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))
19 chincl 11055 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((_|_` A) e. CH /\ (_|_` B) e. CH) -> ((_|_` A) i^i (_|_` B)) e. CH)
20 choccl 10817 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B e. CH -> (_|_` B) e. CH)
2119, 10, 20syl2an 503 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> ((_|_` A) i^i (_|_` B)) e. CH)
2218, 21sylan2 500 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (_|_` ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) = (x i^i (_|_` ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))
23 chdmm4 11084 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (_|_` ((_|_` A) i^i (_|_` B))) = (A vH B))
2423adantl 424 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (_|_` ((_|_` A) i^i (_|_` B))) = (A vH B))
2524ineq2d 2796 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (x i^i (_|_` ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) = (x i^i (A vH B)))
2622, 25eqtrd 1925 . . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (_|_` ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) = (x i^i (A vH B)))
2717, 26eqeq12d 1899 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> ((_|_` (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B))) = (_|_` ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) <-> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))))
2827ancoms 484 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> ((_|_` (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B))) = (_|_` ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) <-> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))))
29 fveq2 4681 . . . . . . . . . 10 |- ((((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))) -> (_|_` (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B))) = (_|_` ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))
3028, 29syl5bi 225 . . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> ((((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))) -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))))
317, 30imim12d 69 . . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> (((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) -> (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B)))))
324, 31syld 30 . . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> (((_|_` x) e. CH -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))) -> (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B)))))
3332ex 402 . . . . . 6 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (x e. CH -> (((_|_` x) e. CH -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))) -> (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))))))
3433com23 36 . . . . 5 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (((_|_` x) e. CH -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))) -> (x e. CH -> (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))))))
35 sseq1 2637 . . . . . . 7 |- (y = (_|_` x) -> (y C_ (_|_` B) <-> (_|_` x) C_ (_|_` B)))
36 opreq1 4889 . . . . . . . . 9 |- (y = (_|_` x) -> (y vH (_|_` A)) = ((_|_` x) vH (_|_` A)))
3736ineq1d 2795 . . . . . . . 8 |- (y = (_|_` x) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)))
38 opreq1 4889 . . . . . . . 8 |- (y = (_|_` x) -> (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))
3937, 38eqeq12d 1899 . . . . . . 7 |- (y = (_|_` x) -> (((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))) <-> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))
4035, 39imbi12d 688 . . . . . 6 |- (y = (_|_` x) -> ((y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) <-> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
4140rcla4cv 2377 . . . . 5 |- (A.y e. CH (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) -> ((_|_` x) e. CH -> ((_|_` x) C_ (_|_` B) -> (((_|_` x) vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = ((_|_` x) vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
4234, 41syl5 20 . . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.y e. CH (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) -> (x e. CH -> (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))))))
4342r19.21adv 2181 . . 3 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.y e. CH (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) -> A.x e. CH (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B)))))
44 choccl 10817 . . . . . . . . . . 11 |- (y e. CH -> (_|_` y) e. CH)
4544imim1i 19 . . . . . . . . . 10 |- (((_|_` y) e. CH -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))) -> (y e. CH -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))))
4645com12 14 . . . . . . . . 9 |- (y e. CH -> (((_|_` y) e. CH -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))) -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))))
4746adantl 424 . . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (((_|_` y) e. CH -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))) -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))))
48 chsscon2 11058 . . . . . . . . . . 11 |- ((B e. CH /\ y e. CH) -> (B C_ (_|_` y) <-> y C_ (_|_` B)))
4948biimprd 171 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. CH /\ y e. CH) -> (y C_ (_|_` B) -> B C_ (_|_` y)))
5049adantll 428 . . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (y C_ (_|_` B) -> B C_ (_|_` y)))
51 chdmj1 11085 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((_|_` y) i^i A) e. CH /\ B e. CH) -> (_|_` (((_|_` y) i^i A) vH B)) = ((_|_` ((_|_` y) i^i A)) i^i (_|_` B)))
52 chincl 11055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((_|_` y) e. CH /\ A e. CH) -> ((_|_` y) i^i A) e. CH)
5352, 44sylan 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. CH /\ A e. CH) -> ((_|_` y) i^i A) e. CH)
5451, 53sylan 497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((y e. CH /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (_|_` (((_|_` y) i^i A) vH B)) = ((_|_` ((_|_` y) i^i A)) i^i (_|_` B)))
55 chdmm2 11082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. CH /\ A e. CH) -> (_|_` ((_|_` y) i^i A)) = (y vH (_|_` A)))
5655adantr 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((y e. CH /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (_|_` ((_|_` y) i^i A)) = (y vH (_|_` A)))
5756ineq1d 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((y e. CH /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> ((_|_` ((_|_` y) i^i A)) i^i (_|_` B)) = ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)))
5854, 57eqtrd 1925 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. CH /\ A e. CH) /\ B e. CH) -> (_|_` (((_|_` y) i^i A) vH B)) = ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)))
5958anasss 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (_|_` (((_|_` y) i^i A) vH B)) = ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)))
60 chdmm2 11082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. CH /\ (A vH B) e. CH) -> (_|_` ((_|_` y) i^i (A vH B))) = (y vH (_|_` (A vH B))))
61 chjcl 10962 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A vH B) e. CH)
6260, 61sylan2 500 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (_|_` ((_|_` y) i^i (A vH B))) = (y vH (_|_` (A vH B))))
63 chdmj1 11085 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (_|_` (A vH B)) = ((_|_` A) i^i (_|_` B)))
6463adantl 424 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (_|_` (A vH B)) = ((_|_` A) i^i (_|_` B)))
6564opreq2d 4898 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (y vH (_|_` (A vH B))) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))
6662, 65eqtrd 1925 . . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> (_|_` ((_|_` y) i^i (A vH B))) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))
6759, 66eqeq12d 1899 . . . . . . . . . . 11 |- ((y e. CH /\ (A e. CH /\ B e. CH)) -> ((_|_` (((_|_` y) i^i A) vH B)) = (_|_` ((_|_` y) i^i (A vH B))) <-> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))
6867ancoms 484 . . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((_|_` (((_|_` y) i^i A) vH B)) = (_|_` ((_|_` y) i^i (A vH B))) <-> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))
69 fveq2 4681 . . . . . . . . . 10 |- ((((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)) -> (_|_` (((_|_` y) i^i A) vH B)) = (_|_` ((_|_` y) i^i (A vH B))))
7068, 69syl5bi 225 . . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))
7150, 70imim12d 69 . . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B))) -> (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
7247, 71syld 30 . . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (((_|_` y) e. CH -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))) -> (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
7372ex 402 . . . . . 6 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (y e. CH -> (((_|_` y) e. CH -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))) -> (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))))
7473com23 36 . . . . 5 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (((_|_` y) e. CH -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))) -> (y e. CH -> (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))))
75 sseq2 2639 . . . . . . 7 |- (x = (_|_` y) -> (B C_ x <-> B C_ (_|_` y)))
76 ineq1 2789 . . . . . . . . 9 |- (x = (_|_` y) -> (x i^i A) = ((_|_` y) i^i A))
7776opreq1d 4897 . . . . . . . 8 |- (x = (_|_` y) -> ((x i^i A) vH B) = (((_|_` y) i^i A) vH B))
78 ineq1 2789 . . . . . . . 8 |- (x = (_|_` y) -> (x i^i (A vH B)) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))
7977, 78eqeq12d 1899 . . . . . . 7 |- (x = (_|_` y) -> (((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B)) <-> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B))))
8075, 79imbi12d 688 . . . . . 6 |- (x = (_|_` y) -> ((B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))) <-> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))))
8180rcla4cv 2377 . . . . 5 |- (A.x e. CH (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))) -> ((_|_` y) e. CH -> (B C_ (_|_` y) -> (((_|_` y) i^i A) vH B) = ((_|_` y) i^i (A vH B)))))
8274, 81syl5 20 . . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.x e. CH (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))) -> (y e. CH -> (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))))))
8382r19.21adv 2181 . . 3 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.x e. CH (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B))) -> A.y e. CH (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
8443, 83impbid 574 . 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.y e. CH (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B)))) <-> A.x e. CH (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B)))))
85 mdbr 11866 . . 3 |- (((_|_` A) e. CH /\ (_|_` B) e. CH) -> ((_|_` A) MH (_|_` B) <-> A.y e. CH (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
8685, 10, 20syl2an 503 . 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> ((_|_` A) MH (_|_` B) <-> A.y e. CH (y C_ (_|_` B) -> ((y vH (_|_` A)) i^i (_|_` B)) = (y vH ((_|_` A) i^i (_|_` B))))))
87 dmdbr 11871 . 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B <-> A.x e. CH (B C_ x -> ((x i^i A) vH B) = (x i^i (A vH B)))))
8884, 86, 873bitr4rd 610 1 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B <-> (_|_` A) MH (_|_` B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CHcch 10430  _|_cort 10431   vH chj 10434   MH cmd 10467   MH* cdmd 10468
This theorem is referenced by:  mddmd 11873  ssdmd1 11885  mdsldmd1i 11903  cvdmd 11909  dmdsym 11985  cmdmdi 11989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-md 11852  df-dmd 11853
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