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Theorem dmdmd 25716
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3389 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  <->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
2 oveq1 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )
32ineq1d 3563 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 oveq1 6110 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
53, 4eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  <->  ( (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
61, 5imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
76rspccv 3082 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  CH  ( y 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8 choccl 24721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CH  ->  ( _|_ `  x )  e. 
CH )
98imim1i 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
109com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
1110adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
12 chsscon3 24915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  <->  ( _|_ `  x ) 
C_  ( _|_ `  B
) ) )
1312biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
1413adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
15 fveq2 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
16 choccl 24721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  A )  e. 
CH )
17 chjcl 24772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  A )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
188, 16, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
19 chdmm3 24942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
2018, 19sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
21 chdmj4 24947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2322oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2420, 23eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2524anasss 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
26 choccl 24721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  CH  ->  ( _|_ `  B )  e. 
CH )
27 chincl 24914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
2816, 26, 27syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
29 chdmj2 24945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
3028, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
31 chdmm4 24943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3332ineq2d 3564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3430, 33eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )
3525, 34eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3635ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3715, 36syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3814, 37imim12d 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
3911, 38syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
4039ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4140com23 78 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
427, 41syl5 32 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4342ralrimdv 2817 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
44 sseq2 3390 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( _|_ `  y ) ) )
45 ineq1 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  A )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )
)
4645oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )
47 ineq1 3557 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
4846, 47eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  <->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
4944, 48imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  <->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5049rspccv 3082 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CH  ( B 
C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
51 choccl 24721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CH  ->  ( _|_ `  y )  e. 
CH )
5251imim1i 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5453adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
55 chsscon2 24917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  <->  y  C_  ( _|_ `  B ) ) )
5655biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
5756adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
58 fveq2 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
59 chincl 24914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
6051, 59sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
61 chdmj1 24944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH  /\  B  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6260, 61sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
63 chdmm2 24941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6564ineq1d 3563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6662, 65eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6766anasss 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )
)  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
68 chjcl 24772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
69 chdmm2 24941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
7068, 69sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
71 chdmj1 24944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7372oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7567, 74eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7675ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7758, 76syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7857, 77imim12d 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
7954, 78syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8079ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8180com23 78 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8250, 81syl5 32 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8382ralrimdv 2817 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8443, 83impbid 191 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  -> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
85 mdbr 25710 . . 3  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8616, 26, 85syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
87 dmdbr 25715 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) ) ) )
8884, 86, 873bitr4rd 286 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727    i^i cin 3339    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CHcch 24343   _|_cort 24344    vH chj 24347    MH cmd 24380    MH* cdmd 24381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cc 8616  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvmulass 24421  ax-hvdistr1 24422  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424  ax-hfi 24493  ax-his1 24496  ax-his2 24497  ax-his3 24498  ax-his4 24499  ax-hcompl 24616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-lm 18845  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cfil 20778  df-cau 20779  df-cmet 20780  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-subgo 23801  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-dip 24108  df-ssp 24132  df-ph 24225  df-cbn 24276  df-hnorm 24382  df-hba 24383  df-hvsub 24385  df-hlim 24386  df-hcau 24387  df-sh 24621  df-ch 24636  df-oc 24667  df-ch0 24668  df-shs 24723  df-chj 24725  df-md 25696  df-dmd 25697
This theorem is referenced by:  mddmd  25717  ssdmd1  25729  mdsldmd1i  25747  cvdmd  25753  dmdsym  25829  cmdmdi  25833
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