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Theorem dmdmd 27953
Description: The dual modular pair property expressed in terms of the modular pair property, that hold in Hilbert lattices. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdmd  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )

Proof of Theorem dmdmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3453 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  <->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
2 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )
32ineq1d 3633 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 oveq1 6297 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
53, 4eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  <->  ( (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
61, 5imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( _|_ `  x
)  ->  ( (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
76rspccv 3147 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  CH  ( y 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8 choccl 26959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CH  ->  ( _|_ `  x )  e. 
CH )
98imim1i 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
109com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  x
)  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
1110adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
12 chsscon3 27153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  <->  ( _|_ `  x ) 
C_  ( _|_ `  B
) ) )
1312biimpd 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
1413adantll 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B ) ) )
15 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )
16 choccl 26959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  A )  e. 
CH )
17 chjcl 27010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  x
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  A )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
188, 16, 17syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH )
19 chdmm3 27180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  e. 
CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
2018, 19sylan 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B ) )
21 chdmj4 27185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2221adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( x  i^i 
A ) )
2322oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) ) )  vH  B )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2420, 23eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
2524anasss 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) )
26 choccl 26959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  CH  ->  ( _|_ `  B )  e. 
CH )
27 chincl 27152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
2816, 26, 27syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )
29 chdmj2 27183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
3028, 29sylan2 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
31 chdmm4 27181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3231adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
3332ineq2d 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( x  i^i  ( _|_ `  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3430, 33eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )
3525, 34eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( _|_ `  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3635ancoms 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  <-> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3715, 36syl5ib 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( _|_ `  x )  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3814, 37imim12d 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( ( _|_ `  x )  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
3911, 38syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
4039ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4140com23 81 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  x )  e.  CH  ->  ( ( _|_ `  x
)  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( ( _|_ `  x
)  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( ( _|_ `  x
)  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
427, 41syl5 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) ) )
4342ralrimdv 2804 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
44 sseq2 3454 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( _|_ `  y ) ) )
45 ineq1 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  A )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )
)
4645oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )
47 ineq1 3627 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
4846, 47eqeq12d 2466 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  <->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
4944, 48imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( _|_ `  y
)  ->  ( ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  <->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5049rspccv 3147 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CH  ( B 
C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
51 choccl 26959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CH  ->  ( _|_ `  y )  e. 
CH )
5251imim1i 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5352com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CH  ->  (
( ( _|_ `  y
)  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
5453adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
55 chsscon2 27155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  <->  y  C_  ( _|_ `  B ) ) )
5655biimprd 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
5756adantll 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  B  C_  ( _|_ `  y
) ) )
58 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
59 chincl 27152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _|_ `  y
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
6051, 59sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH )
61 chdmj1 27182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  e.  CH  /\  B  e. 
CH )  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6260, 61sylan 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
63 chdmm2 27179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  =  ( y  vH  ( _|_ `  A
) ) )
6564ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  A )
)  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6662, 65eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  CH  /\  A  e.  CH )  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
6766anasss 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )
)  =  ( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
68 chjcl 27010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
69 chdmm2 27179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
7068, 69sylan2 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) ) )
71 chdmj1 27182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7271adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
7372oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( y  vH  ( _|_ `  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( _|_ `  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )
7567, 74eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CH  /\  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
)  ->  ( ( _|_ `  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7675ancoms 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  (
( ( _|_ `  y
)  i^i  A )  vH  B ) )  =  ( _|_ `  (
( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7758, 76syl5ib 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( ( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) )
7857, 77imim12d 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( B  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
7954, 78syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) )
8079ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8180com23 81 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( _|_ `  y )  e.  CH  ->  ( B  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( _|_ `  y )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( _|_ `  y )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )  ->  (
y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  (
( y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8250, 81syl5 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( y  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
y  vH  ( _|_ `  A ) )  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) ) ) ) )
8382ralrimdv 2804 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8443, 83impbid 194 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  -> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
85 mdbr 27947 . . 3  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  B )  e.  CH )  -> 
( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
8616, 26, 85syl2an 480 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( _|_ `  A
)  MH  ( _|_ `  B )  <->  A. y  e.  CH  ( y  C_  ( _|_ `  B )  ->  ( ( y  vH  ( _|_ `  A
) )  i^i  ( _|_ `  B ) )  =  ( y  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  B ) ) ) ) ) )
87 dmdbr 27952 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) ) ) )
8884, 86, 873bitr4rd 290 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  ( _|_ `  A )  MH  ( _|_ `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    i^i cin 3403    C_ wss 3404   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CHcch 26582   _|_cort 26583    vH chj 26586    MH cmd 26619    MH* cdmd 26620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619  ax-hilex 26652  ax-hfvadd 26653  ax-hvcom 26654  ax-hvass 26655  ax-hv0cl 26656  ax-hvaddid 26657  ax-hfvmul 26658  ax-hvmulid 26659  ax-hvmulass 26660  ax-hvdistr1 26661  ax-hvdistr2 26662  ax-hvmul0 26663  ax-hfi 26732  ax-his1 26735  ax-his2 26736  ax-his3 26737  ax-his4 26738  ax-hcompl 26855
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-lm 20245  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cfil 22225  df-cau 22226  df-cmet 22227  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-gdiv 25922  df-ablo 26010  df-subgo 26030  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-vs 26218  df-nmcv 26219  df-ims 26220  df-dip 26337  df-ssp 26361  df-ph 26454  df-cbn 26505  df-hnorm 26621  df-hba 26622  df-hvsub 26624  df-hlim 26625  df-hcau 26626  df-sh 26860  df-ch 26874  df-oc 26905  df-ch0 26906  df-shs 26961  df-chj 26963  df-md 27933  df-dmd 27934
This theorem is referenced by:  mddmd  27954  ssdmd1  27966  mdsldmd1i  27984  cvdmd  27990  dmdsym  28066  cmdmdi  28070
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