Theorem dmdi4 27972

Description: Consequence of the dual modular pair property. (Contributed by NM, 14-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmdi4	|- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH ) -> ( A MH* B -> ( ( C vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( C vH B ) i^i A ) vH B ) ) )

Proof of Theorem dmdi4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdbr4 27971	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> A. x e. CH ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
2	1	biimpd 212	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B -> A. x e. CH ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
3		oveq1 6283	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( x vH B ) = ( C vH B ) )
4	3	ineq1d 3601	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( C vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
5	3	ineq1d 3601	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( x vH B ) i^i A ) = ( ( C vH B ) i^i A ) )
6	5	oveq1d 6291	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) = ( ( ( C vH B ) i^i A ) vH B ) )
7	4, 6	sseq12d 3429	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) <-> ( ( C vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( C vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
8	7	rspcv 3114	. . 3 |- ( C e. CH -> ( A. x e. CH ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( C vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( C vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
9	2, 8	sylan9 667	. 2 |- ( ( ( A e. CH /\ B e. CH ) /\ C e. CH ) -> ( A MH* B -> ( ( C vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( C vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
10	9	3impa 1205	1 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH ) -> ( A MH* B -> ( ( C vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( C vH B ) i^i A ) vH B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 986   = wceq 1448   e. wcel 1891   A.wral 2737   i^i cin 3371   C_ wss 3372   class class class wbr 4374  (class class class)co 6276   CHcch 26594   vH chj 26598   MH* cdmd 26632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cc 8852  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604  ax-addf 9605  ax-mulf 9606  ax-hilex 26664  ax-hfvadd 26665  ax-hvcom 26666  ax-hvass 26667  ax-hv0cl 26668  ax-hvaddid 26669  ax-hfvmul 26670  ax-hvmulid 26671  ax-hvmulass 26672  ax-hvdistr1 26673  ax-hvdistr2 26674  ax-hvmul0 26675  ax-hfi 26744  ax-his1 26747  ax-his2 26748  ax-his3 26749  ax-his4 26750  ax-hcompl 26867

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-iin 4251  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-of 6519  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6903  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7871  df-fi 7912  df-sup 7943  df-inf 7944  df-oi 8012  df-card 8360  df-acn 8363  df-cda 8585  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10860  df-z 10928  df-dec 11042  df-uz 11150  df-q 11255  df-rp 11293  df-xneg 11399  df-xadd 11400  df-xmul 11401  df-ioo 11629  df-ico 11631  df-icc 11632  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-fl 12022  df-seq 12208  df-exp 12267  df-hash 12510  df-cj 13173  df-re 13174  df-im 13175  df-sqrt 13309  df-abs 13310  df-clim 13563  df-rlim 13564  df-sum 13764  df-struct 15134  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-ress 15139  df-plusg 15214  df-mulr 15215  df-starv 15216  df-sca 15217  df-vsca 15218  df-ip 15219  df-tset 15220  df-ple 15221  df-ds 15223  df-unif 15224  df-hom 15225  df-cco 15226  df-rest 15332  df-topn 15333  df-0g 15351  df-gsum 15352  df-topgen 15353  df-pt 15354  df-prds 15357  df-xrs 15411  df-qtop 15417  df-imas 15418  df-xps 15421  df-mre 15503  df-mrc 15504  df-acs 15506  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-submnd 16594  df-mulg 16687  df-cntz 16982  df-cmn 17443  df-psmet 18973  df-xmet 18974  df-met 18975  df-bl 18976  df-mopn 18977  df-fbas 18978  df-fg 18979  df-cnfld 18982  df-top 19932  df-bases 19933  df-topon 19934  df-topsp 19935  df-cld 20045  df-ntr 20046  df-cls 20047  df-nei 20125  df-cn 20254  df-cnp 20255  df-lm 20256  df-haus 20342  df-tx 20588  df-hmeo 20781  df-fil 20872  df-fm 20964  df-flim 20965  df-flf 20966  df-xms 21346  df-ms 21347  df-tms 21348  df-cfil 22236  df-cau 22237  df-cmet 22238  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-gdiv 25934  df-ablo 26022  df-subgo 26042  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-vs 26230  df-nmcv 26231  df-ims 26232  df-dip 26349  df-ssp 26373  df-ph 26466  df-cbn 26517  df-hnorm 26633  df-hba 26634  df-hvsub 26636  df-hlim 26637  df-hcau 26638  df-sh 26872  df-ch 26886  df-oc 26917  df-ch0 26918  df-shs 26973  df-chj 26975  df-dmd 27946

This theorem is referenced by:  dmdbr5ati  28087