Theorem dmdbr5 11880

Description: Binary relation expressing the dual modular pair property.

Assertion

Ref	Expression
dmdbr5	|- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B <-> A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B))))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem dmdbr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdbr4 11878	. . 3 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B <-> A.x e. CH ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B)))
2		ssin 2814	. . . . . . . . 9 |- ((x C_ (x vH B) /\ x C_ (A vH B)) <-> x C_ ((x vH B) i^i (A vH B)))
3		sstr2 2623	. . . . . . . . 9 |- (x C_ ((x vH B) i^i (A vH B)) -> (((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B)))
4	2, 3	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- ((x C_ (x vH B) /\ x C_ (A vH B)) -> (((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B)))
5		chub1 11063	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CH /\ B e. CH) -> x C_ (x vH B))
6	5	ancoms 484	. . . . . . . 8 |- ((B e. CH /\ x e. CH) -> x C_ (x vH B))
7	4, 6	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((B e. CH /\ x e. CH) /\ x C_ (A vH B)) -> (((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B)))
8	7	ex 402	. . . . . 6 |- ((B e. CH /\ x e. CH) -> (x C_ (A vH B) -> (((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B))))
9	8	com23 36	. . . . 5 |- ((B e. CH /\ x e. CH) -> (((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B))))
10	9	ralimdvaa 2171	. . . 4 |- (B e. CH -> (A.x e. CH ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B))))
11	10	adantl 424	. . 3 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.x e. CH ((x vH B) i^i (A vH B)) C_ (((x vH B) i^i A) vH B) -> A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B))))
12	1, 11	sylbid 220	. 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B -> A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B))))
13		chjcl 10962	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CH /\ B e. CH) -> (y vH B) e. CH)
14	13	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. CH /\ y e. CH) -> (y vH B) e. CH)
15	14	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (y vH B) e. CH)
16		chjcl 10962	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A vH B) e. CH)
17	16	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (A vH B) e. CH)
18	15, 17	jca 310	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((y vH B) e. CH /\ (A vH B) e. CH))
19		chincl 11055	. . . . . . . . 9 |- (((y vH B) e. CH /\ (A vH B) e. CH) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH)
20		inss2 2813	. . . . . . . . . 10 |- ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B)
21		pm2.27 76	. . . . . . . . . 10 |- (((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> ((((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))) -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))))
22	20, 21	mpii 56	. . . . . . . . 9 |- (((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> ((((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B)))
23	18, 19, 22	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B)))
24		chub2 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B e. CH /\ y e. CH) -> B C_ (y vH B))
25	24	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> B C_ (y vH B))
26		chub2 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((B e. CH /\ A e. CH) -> B C_ (A vH B))
27	26	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> B C_ (A vH B))
28	27	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> B C_ (A vH B))
29	25, 28	jca 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (B C_ (y vH B) /\ B C_ (A vH B)))
30		ssin 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B C_ (y vH B) /\ B C_ (A vH B)) <-> B C_ ((y vH B) i^i (A vH B)))
31	29, 30	sylib 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> B C_ ((y vH B) i^i (A vH B)))
32		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> B e. CH)
33	15, 17, 19	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH)
34		chlejb2 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. CH /\ ((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH) -> (B C_ ((y vH B) i^i (A vH B)) <-> (((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) = ((y vH B) i^i (A vH B))))
35	32, 33, 34	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (B C_ ((y vH B) i^i (A vH B)) <-> (((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) = ((y vH B) i^i (A vH B))))
36	31, 35	mpbid 212	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) = ((y vH B) i^i (A vH B)))
37	36	ineq1d 2795	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) = (((y vH B) i^i (A vH B)) i^i A))
38		chabs2 11073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A i^i (A vH B)) = A)
39		incom 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A vH B) i^i A) = (A i^i (A vH B))
40	38, 39	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> ((A vH B) i^i A) = A)
41	40	ineq2d 2796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> ((y vH B) i^i ((A vH B) i^i A)) = ((y vH B) i^i A))
42		inass 2804	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y vH B) i^i (A vH B)) i^i A) = ((y vH B) i^i ((A vH B) i^i A))
43	41, 42	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (((y vH B) i^i (A vH B)) i^i A) = ((y vH B) i^i A))
44	43	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (((y vH B) i^i (A vH B)) i^i A) = ((y vH B) i^i A))
45	37, 44	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) = ((y vH B) i^i A))
46	45	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B) = (((y vH B) i^i A) vH B))
47	46	sseq2d 2645	. . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B) <-> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((y vH B) i^i A) vH B)))
48	23, 47	sylibd 219	. . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ y e. CH) -> ((((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((y vH B) i^i A) vH B)))
49	48	ex 402	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (y e. CH -> ((((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((y vH B) i^i A) vH B))))
50	49	com23 36	. . . . 5 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> ((((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))) -> (y e. CH -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((y vH B) i^i A) vH B))))
51		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (x = ((y vH B) i^i (A vH B)) -> (x C_ (A vH B) <-> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B)))
52		id 73	. . . . . . . 8 |- (x = ((y vH B) i^i (A vH B)) -> x = ((y vH B) i^i (A vH B)))
53		opreq1 4889	. . . . . . . . . 10 |- (x = ((y vH B) i^i (A vH B)) -> (x vH B) = (((y vH B) i^i (A vH B)) vH B))
54	53	ineq1d 2795	. . . . . . . . 9 |- (x = ((y vH B) i^i (A vH B)) -> ((x vH B) i^i A) = ((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A))
55	54	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (x = ((y vH B) i^i (A vH B)) -> (((x vH B) i^i A) vH B) = (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))
56	52, 55	sseq12d 2646	. . . . . . 7 |- (x = ((y vH B) i^i (A vH B)) -> (x C_ (((x vH B) i^i A) vH B) <-> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B)))
57	51, 56	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (x = ((y vH B) i^i (A vH B)) -> ((x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B)) <-> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))))
58	57	rcla4cv 2377	. . . . 5 |- (A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B)) -> (((y vH B) i^i (A vH B)) e. CH -> (((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (A vH B) -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((((y vH B) i^i (A vH B)) vH B) i^i A) vH B))))
59	50, 58	syl5 20	. . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B)) -> (y e. CH -> ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((y vH B) i^i A) vH B))))
60	59	r19.21adv 2181	. . 3 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B)) -> A.y e. CH ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((y vH B) i^i A) vH B)))
61		dmdbr4 11878	. . 3 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B <-> A.y e. CH ((y vH B) i^i (A vH B)) C_ (((y vH B) i^i A) vH B)))
62	60, 61	sylibrd 221	. 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B)) -> A MH* B))
63	12, 62	impbid 574	1 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH* B <-> A.x e. CH (x C_ (A vH B) -> x C_ (((x vH B) i^i A) vH B))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CHcch 10430   vH chj 10434   MH* cdmd 10468

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-dmd 11853

Copyright terms: Public domain