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Theorem dmdbr5 25731
Description: Binary relation expressing the dual modular pair property. (Contributed by NM, 15-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdbr5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  (
x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem dmdbr5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdbr4 25729 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) )
2 chub1 24929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  x  C_  ( x  vH  B ) )
32ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  x  C_  ( x  vH  B ) )
4 ssin 3591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( x  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B
) )  <->  x  C_  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
5 sstr2 3382 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  (
( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) )
64, 5sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( x  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B
) )  ->  (
( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) )
73, 6sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  x  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
87ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  x  C_  ( (
( x  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) ) )
98com23 78 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B ) ) ) )
109ralimdva 2813 . . . 4  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  A. x  e.  CH  ( x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
1110adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  A. x  e.  CH  ( x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B ) ) ) )
121, 11sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  ->  A. x  e.  CH  ( x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B ) ) ) )
13 sseq1 3396 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  (
x  C_  ( A  vH  B )  <->  ( (
y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  ( A  vH  B ) ) )
14 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  x  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) ) )
15 oveq1 6117 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  (
x  vH  B )  =  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B ) )
1615ineq1d 3570 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  (
( x  vH  B
)  i^i  A )  =  ( ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
) )
1716oveq1d 6125 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) )
1814, 17sseq12d 3404 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  (
x  C_  ( (
( x  vH  B
)  i^i  A )  vH  B )  <->  ( (
y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
1913, 18imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  (
( x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B ) )  <->  ( (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( A  vH  B )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
2019rspccv 3089 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CH  ( x 
C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) )  ->  (
( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  e.  CH  ->  (
( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( A  vH  B )  ->  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
21 chjcl 24779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( y  vH  B
)  e.  CH )
2221ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  vH  B
)  e.  CH )
2322adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( y  vH  B
)  e.  CH )
24 chjcl 24779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
26 chincl 24921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  vH  B
)  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  e.  CH )
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  e.  CH )
28 inss2 3590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( A  vH  B )
29 pm2.27 39 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  e. 
CH  ->  ( ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  e. 
CH  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( A  vH  B )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )  ->  (
( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( A  vH  B )  ->  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
3028, 29mpii 43 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  e. 
CH  ->  ( ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  e. 
CH  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( A  vH  B )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )  ->  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
3127, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  e. 
CH  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( A  vH  B )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )  ->  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
32 chub2 24930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  B  C_  ( y  vH  B ) )
3332adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  B  C_  ( y  vH  B ) )
34 chub2 24930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  B  C_  ( A  vH  B ) )
3534ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  B  C_  ( A  vH  B ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  B  C_  ( A  vH  B ) )
3733, 36ssind 3593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  B  C_  ( (
y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) ) )
38 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  B  e.  CH )
39 chlejb2 24935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  e.  CH )  -> 
( B  C_  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  =  ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
4038, 27, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( B  C_  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  =  ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
4137, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  vH  B
)  =  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) )
4241ineq1d 3570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  =  ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  i^i 
A ) )
43 inass 3579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  i^i 
A )  =  ( ( y  vH  B
)  i^i  ( ( A  vH  B )  i^i 
A ) )
44 incom 3562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( A  vH  B ) )
45 chabs2 24939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  ( A  vH  B ) )  =  A )
4644, 45syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  A
)  =  A )
4746ineq2d 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  (
( A  vH  B
)  i^i  A )
)  =  ( ( y  vH  B )  i^i  A ) )
4843, 47syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  i^i  A
)  =  ( ( y  vH  B )  i^i  A ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  i^i  A
)  =  ( ( y  vH  B )  i^i  A ) )
5042, 49eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  =  ( ( y  vH  B )  i^i  A ) )
5150oveq1d 6125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( ( y  vH  B )  i^i  A )  vH  B ) )
5251sseq2d 3403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  <->  ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( y  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) )
5331, 52sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  /\  y  e.  CH )  ->  ( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  e. 
CH  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( A  vH  B )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )  ->  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( y  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) )
5453ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( y  e.  CH  ->  ( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  e. 
CH  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( A  vH  B )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )  ->  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( y  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
5554com23 78 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  e. 
CH  ->  ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( A  vH  B )  ->  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )  ->  (
y  e.  CH  ->  ( ( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( y  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
5620, 55syl5 32 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)  ->  ( y  e.  CH  ->  ( (
y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( y  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) ) )
5756ralrimdv 2824 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)  ->  A. y  e.  CH  ( ( y  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( y  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
58 dmdbr4 25729 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. y  e.  CH  (
( y  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( y  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) )
5957, 58sylibrd 234 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)  ->  A  MH*  B ) )
6012, 59impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  (
x  C_  ( A  vH  B )  ->  x  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734    i^i cin 3346    C_ wss 3347   class class class wbr 4311  (class class class)co 6110   CHcch 24350    vH chj 24354    MH* cdmd 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cc 8623  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381  ax-hilex 24420  ax-hfvadd 24421  ax-hvcom 24422  ax-hvass 24423  ax-hv0cl 24424  ax-hvaddid 24425  ax-hfvmul 24426  ax-hvmulid 24427  ax-hvmulass 24428  ax-hvdistr1 24429  ax-hvdistr2 24430  ax-hvmul0 24431  ax-hfi 24500  ax-his1 24503  ax-his2 24504  ax-his3 24505  ax-his4 24506  ax-hcompl 24623
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-omul 6944  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-acn 8131  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-rlim 12986  df-sum 13183  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-prds 14405  df-xrs 14459  df-qtop 14464  df-imas 14465  df-xps 14467  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-ntr 18643  df-cls 18644  df-nei 18721  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-lm 18852  df-haus 18938  df-tx 19154  df-hmeo 19347  df-fil 19438  df-fm 19530  df-flim 19531  df-flf 19532  df-xms 19914  df-ms 19915  df-tms 19916  df-cfil 20785  df-cau 20786  df-cmet 20787  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-gdiv 23700  df-ablo 23788  df-subgo 23808  df-vc 23943  df-nv 23989  df-va 23992  df-ba 23993  df-sm 23994  df-0v 23995  df-vs 23996  df-nmcv 23997  df-ims 23998  df-dip 24115  df-ssp 24139  df-ph 24232  df-cbn 24283  df-hnorm 24389  df-hba 24390  df-hvsub 24392  df-hlim 24393  df-hcau 24394  df-sh 24628  df-ch 24643  df-oc 24674  df-ch0 24675  df-shs 24730  df-chj 24732  df-dmd 25704
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