Theorem dmdbr4ati 28086

Description: Dual modular pair property in terms of atoms. (Contributed by NM, 15-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	|- A e. CH
sumdmdi.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
dmdbr4ati	|- ( A MH* B <-> A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dmdbr4ati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . 4 |- A e. CH
2		sumdmdi.2	. . . 4 |- B e. CH
3		dmdbr4 27971	. . . 4 |- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH* B <-> A. x e. CH ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 679	. . 3 |- ( A MH* B <-> A. x e. CH ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
5		atelch 28009	. . . . 5 |- ( x e. HAtoms -> x e. CH )
6	5	imim1i 60	. . . 4 |- ( ( x e. CH -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) -> ( x e. HAtoms -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
7	6	ralimi2 2780	. . 3 |- ( A. x e. CH ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
8	4, 7	sylbi 199	. 2 |- ( A MH* B -> A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )
9	1, 2	sumdmdlem2 28084	. . 3 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) )
10	1, 2	sumdmdi 28085	. . 3 |- ( ( A +H B ) = ( A vH B ) <-> A MH* B )
11	9, 10	sylib 200	. 2 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> A MH* B )
12	8, 11	impbii 191	1 |- ( A MH* B <-> A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) )

Syntax hints:   <-> wb 188   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   i^i cin 3405   C_ wss 3406   class class class wbr 4405  (class class class)co 6295   CHcch 26594   +H cph 26596   vH chj 26598  HAtomscat 26630   MH* cdmd 26632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cc 8870  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624  ax-hilex 26664  ax-hfvadd 26665  ax-hvcom 26666  ax-hvass 26667  ax-hv0cl 26668  ax-hvaddid 26669  ax-hfvmul 26670  ax-hvmulid 26671  ax-hvmulass 26672  ax-hvdistr1 26673  ax-hvdistr2 26674  ax-hvmul0 26675  ax-hfi 26744  ax-his1 26747  ax-his2 26748  ax-his3 26749  ax-his4 26750  ax-hcompl 26867

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-lm 20257  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cfil 22237  df-cau 22238  df-cmet 22239  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-gdiv 25934  df-ablo 26022  df-subgo 26042  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-vs 26230  df-nmcv 26231  df-ims 26232  df-dip 26349  df-ssp 26373  df-ph 26466  df-cbn 26517  df-hnorm 26633  df-hba 26634  df-hvsub 26636  df-hlim 26637  df-hcau 26638  df-sh 26872  df-ch 26886  df-oc 26917  df-ch0 26918  df-shs 26973  df-span 26974  df-chj 26975  df-pjh 27060  df-cv 27944  df-dmd 27946  df-at 28003

This theorem is referenced by: (None)