HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdbr3 Structured version   Unicode version

Theorem dmdbr3 26886
Description: Binary relation expressing the dual modular pair property. This version quantifies an equality instead of an inference. (Contributed by NM, 6-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmdbr3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem dmdbr3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdbr 26880 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
( y  i^i  A
)  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B
) ) ) ) )
2 chub2 26088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  B  C_  ( x  vH  B ) )
32ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  B  C_  ( x  vH  B ) )
4 chjcl 25937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  vH  B
)  e.  CH )
5 sseq2 3519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  ( B  C_  y  <->  B  C_  (
x  vH  B )
) )
6 ineq1 3686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
y  i^i  A )  =  ( ( x  vH  B )  i^i 
A ) )
76oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
( y  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B ) )
8 ineq1 3686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
y  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) )
97, 8eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
( ( y  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( (
( x  vH  B
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
105, 9imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  vH  B )  ->  (
( B  C_  y  ->  ( ( y  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( B  C_  (
x  vH  B )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
1110rspcv 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  vH  B )  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
( y  i^i  A
)  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( B  C_  (
x  vH  B )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
124, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( B  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( B  C_  ( x  vH  B
)  ->  ( (
( x  vH  B
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
133, 12mpid 41 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( B  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) )  ->  ( (
( x  vH  B
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
1413ex 434 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CH  ->  ( B  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
( y  i^i  A
)  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
1514com3l 81 . . . . 5  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
( y  i^i  A
)  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B
) ) )  -> 
( x  e.  CH  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
1615ralrimdv 2873 . . . 4  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
( y  i^i  A
)  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B
) ) )  ->  A. x  e.  CH  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) ) ) )
17 chlejb2 26093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  <->  ( x  vH  B )  =  x ) )
1817biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( x  vH  B )  =  x )
1918ineq1d 3692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  =  ( x  i^i  A ) )
2019oveq1d 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  i^i  A
)  vH  B )
)
2118ineq1d 3692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
2220, 21eqeq12d 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( ( ( x  vH  B
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( (
x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
2322biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  /\  B  C_  x )  ->  ( ( ( ( x  vH  B
)  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
2423ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  C_  x  ->  ( ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
2524com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  -> 
( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
2625ralimdva 2865 . . . . 5  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i  A )  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
27 sseq2 3519 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  y
) )
28 ineq1 3686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  i^i  A )  =  ( y  i^i 
A ) )
2928oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( y  i^i  A )  vH  B ) )
30 ineq1 3686 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3129, 30eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( (
y  i^i  A )  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3227, 31imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  C_  x  ->  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <-> 
( B  C_  y  ->  ( ( y  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
3332cbvralv 3081 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  CH  ( B 
C_  x  ->  (
( x  i^i  A
)  vH  B )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B
) ) )  <->  A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3426, 33syl6ib 226 . . . 4  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  ->  A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) ) ) )
3516, 34impbid 191 . . 3  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  ( B  C_  y  ->  (
( y  i^i  A
)  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B
) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
3635adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. y  e. 
CH  ( B  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  B )  =  ( y  i^i  ( A  vH  B ) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) ) )
371, 36bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  =  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    i^i cin 3468    C_ wss 3469   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CHcch 25508    vH chj 25512    MH* cdmd 25546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hvcom 25580  ax-hvass 25581  ax-hv0cl 25582  ax-hvaddid 25583  ax-hfvmul 25584  ax-hvmulid 25585  ax-hvmulass 25586  ax-hvdistr1 25587  ax-hvdistr2 25588  ax-hvmul0 25589  ax-hfi 25658  ax-his1 25661  ax-his2 25662  ax-his3 25663  ax-his4 25664  ax-hcompl 25781
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-lm 19489  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cfil 21422  df-cau 21423  df-cmet 21424  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-gdiv 24858  df-ablo 24946  df-subgo 24966  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-vs 25154  df-nmcv 25155  df-ims 25156  df-dip 25273  df-ssp 25297  df-ph 25390  df-cbn 25441  df-hnorm 25547  df-hba 25548  df-hvsub 25550  df-hlim 25551  df-hcau 25552  df-sh 25786  df-ch 25801  df-oc 25832  df-ch0 25833  df-shs 25888  df-chj 25890  df-dmd 26862
This theorem is referenced by:  dmdbr6ati  27004
  Copyright terms: Public domain W3C validator