MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmcoss Structured version   Unicode version

Theorem dmcoss 5272
Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dmcoss  |-  dom  ( A  o.  B )  C_ 
dom  B

Proof of Theorem dmcoss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 1841 . . . 4  |-  F/ y E. y  x B y
2 exsimpl 1678 . . . . 5  |-  ( E. z ( x B z  /\  z A y )  ->  E. z  x B z )
3 vex 3112 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
4 vex 3112 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
53, 4opelco 5184 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. z ( x B z  /\  z A y ) )
6 breq2 4460 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x B y  <->  x B
z ) )
76cbvexv 2025 . . . . 5  |-  ( E. y  x B y  <->  E. z  x B
z )
82, 5, 73imtr4i 266 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  ->  E. y  x B y )
91, 8exlimi 1913 . . 3  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  B )  ->  E. y  x B y )
103eldm2 5211 . . 3  |-  ( x  e.  dom  ( A  o.  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
) )
113eldm 5210 . . 3  |-  ( x  e.  dom  B  <->  E. y  x B y )
129, 10, 113imtr4i 266 . 2  |-  ( x  e.  dom  ( A  o.  B )  ->  x  e.  dom  B )
1312ssriv 3503 1  |-  dom  ( A  o.  B )  C_ 
dom  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369   E.wex 1613    e. wcel 1819    C_ wss 3471   <.cop 4038   class class class wbr 4456   dom cdm 5008    o. ccom 5012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-co 5017  df-dm 5018
This theorem is referenced by:  rncoss  5273  dmcosseq  5274  cossxp  5536  fvco4i  5951  cofunexg  6763  fin23lem30  8739  wunco  9128  mvdco  16596  f1omvdconj  16597  znleval  18719  ofco2  19079  tngtopn  21289  xppreima  27630  relexpdm  29233
  Copyright terms: Public domain W3C validator