MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmcoss Structured version   Unicode version

Theorem dmcoss 5104
Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dmcoss  |-  dom  ( A  o.  B )  C_ 
dom  B

Proof of Theorem dmcoss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 1778 . . . 4  |-  F/ y E. y  x B y
2 exsimpl 1644 . . . . 5  |-  ( E. z ( x B z  /\  z A y )  ->  E. z  x B z )
3 vex 2980 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
4 vex 2980 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
53, 4opelco 5016 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. z ( x B z  /\  z A y ) )
6 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x B y  <->  x B
z ) )
76cbvexv 1972 . . . . 5  |-  ( E. y  x B y  <->  E. z  x B
z )
82, 5, 73imtr4i 266 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  ->  E. y  x B y )
91, 8exlimi 1845 . . 3  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  B )  ->  E. y  x B y )
103eldm2 5043 . . 3  |-  ( x  e.  dom  ( A  o.  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
) )
113eldm 5042 . . 3  |-  ( x  e.  dom  B  <->  E. y  x B y )
129, 10, 113imtr4i 266 . 2  |-  ( x  e.  dom  ( A  o.  B )  ->  x  e.  dom  B )
1312ssriv 3365 1  |-  dom  ( A  o.  B )  C_ 
dom  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369   E.wex 1586    e. wcel 1756    C_ wss 3333   <.cop 3888   class class class wbr 4297   dom cdm 4845    o. ccom 4849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-br 4298  df-opab 4356  df-co 4854  df-dm 4855
This theorem is referenced by:  rncoss  5105  dmcosseq  5106  cossxp  5365  fvco4i  5774  cofunexg  6546  fin23lem30  8516  wunco  8905  mvdco  15956  f1omvdconj  15957  znleval  17992  ofco2  18337  tngtopn  20241  xppreima  25969  relexpdm  27342
  Copyright terms: Public domain W3C validator