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Theorem dmatsubcl 18767
Description: The difference of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
dmatsubcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )

Proof of Theorem dmatsubcl
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
21matrng 18712 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
3 rnggrp 16991 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A  e.  Grp )
6 dmatid.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
7 dmatid.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
8 dmatid.d . . . . . 6  |-  D  =  ( N DMat  R )
91, 6, 7, 8dmatmat 18763 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  B ) )
109imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  B )
1110adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  B )
121, 6, 7, 8dmatmat 18763 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  B ) )
1312imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  B )
1413adantrl 715 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  B )
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
166, 15grpsubcl 15919 . . 3  |-  ( ( A  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( -g `  A ) Y )  e.  B )
175, 11, 14, 16syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B )
18 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
219, 12anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
) )
2221imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
24 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)
25 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
261, 6, 15, 25matsubgcell 18703 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
2720, 23, 24, 26syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
2827adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  ( ( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) ) )
29 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
30 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  D )
3129, 19, 303jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
3231adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
3332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
34 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  N )
35 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  N )
36 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  =/=  j )
371, 6, 7, 8dmatelnd 18765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i X j )  =  .0.  )
3833, 34, 35, 36, 37syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i X j )  =  .0.  )
39 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  D )
4029, 19, 393jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
4140adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
4241adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
431, 6, 7, 8dmatelnd 18765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i Y j )  =  .0.  )
4442, 34, 35, 36, 43syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i Y j )  =  .0.  )
4538, 44oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  ) )
46 rnggrp 16991 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
47 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4847, 7rng0cl 17007 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
4946, 48jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) ) )
5049adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R ) ) )
5147, 7, 25grpsubid 15923 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( -g `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
5250, 51syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
5352ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
5428, 45, 533eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
5554ex 434 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
)
5655ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) )
571, 6, 7, 8dmatel 18762 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( X (
-g `  A ) Y )  e.  D  <->  ( ( X ( -g `  A ) Y )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) ) )
5857adantr 465 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
( X ( -g `  A ) Y )  e.  D  <->  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) ) ) )
5917, 56, 58mpbir2and 920 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   Basecbs 14486   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723   -gcsg 15726   Ringcrg 16986   Mat cmat 18676   DMat cdmat 18757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mamu 18653  df-mat 18677  df-dmat 18759
This theorem is referenced by:  dmatsgrp  18768
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