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Theorem dmatsubcl 30800
Description: The difference of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
Assertion
Ref Expression
dmatsubcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )
Distinct variable groups:    B, m    A, i, j, m    i, N, j, m    R, i, j    .0. , m    i, X, j, m    .0. , i,
j    i, Y, j, m    D, i, j
Allowed substitution hints:    B( i, j)    D( m)    R( m)

Proof of Theorem dmatsubcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
21matrng 18305 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
3 rnggrp 16638 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A  e.  Grp )
6 elrabi 3109 . . . . 5  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  X  e.  B )
7 dmatid.d . . . . 5  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
86, 7eleq2s 2530 . . . 4  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  B )
98ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  B )
10 elrabi 3109 . . . . 5  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  Y  e.  B )
1110, 7eleq2s 2530 . . . 4  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  B )
1211ad2antll 728 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  B )
13 dmatid.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
14 eqid 2438 . . . 4  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
1513, 14grpsubcl 15597 . . 3  |-  ( ( A  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( -g `  A ) Y )  e.  B )
165, 9, 12, 15syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1817adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
1918adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
208a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  B ) )
2111a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  B ) )
2220, 21anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
) )
2322imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
2423adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
25 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)
26 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
271, 13, 14, 26matsubgcell 30783 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
2819, 24, 25, 27syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  ( ( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) ) )
30 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
31 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  D )
3230, 18, 313jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
35 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  N )
36 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  N )
37 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  =/=  j )
38 neeq1 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  x  ->  (
i  =/=  j  <->  x  =/=  j ) )
39 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  x  ->  (
i m j )  =  ( x m j ) )
4039eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  x  ->  (
( i m j )  =  .0.  <->  ( x m j )  =  .0.  ) )
4138, 40imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  x  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  ( x  =/=  j  -> 
( x m j )  =  .0.  )
) )
42 neeq2 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  y  ->  (
x  =/=  j  <->  x  =/=  y ) )
43 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  y  ->  (
x m j )  =  ( x m y ) )
4443eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  y  ->  (
( x m j )  =  .0.  <->  ( x m y )  =  .0.  ) )
4542, 44imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  y  ->  (
( x  =/=  j  ->  ( x m j )  =  .0.  )  <->  ( x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  )
) )
4641, 45cbvral2v 2950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  )
)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  )
) )
4847rabbiia 2956 . . . . . . . . . . 11  |-  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) }  =  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  ) }
497, 48eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) }
5049eleq2i 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  D  <->  X  e.  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } )
51503anbi3i 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  <->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  X  e.  {
m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } ) )
52 dmatid.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
53 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  ) }  =  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  ) }
541, 13, 52, 53dmatelnd 30798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i X j )  =  .0.  )
5551, 54sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i X j )  =  .0.  )
5634, 35, 36, 37, 55syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i X j )  =  .0.  )
57 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  D )
5830, 18, 573jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
6059adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
6149eleq2i 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  D  <->  Y  e.  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } )
62613anbi3i 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  <->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  Y  e.  {
m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } ) )
631, 13, 52, 53dmatelnd 30798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i Y j )  =  .0.  )
6462, 63sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i Y j )  =  .0.  )
6560, 35, 36, 37, 64syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i Y j )  =  .0.  )
6656, 65oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  ) )
67 rnggrp 16638 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
68 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6968, 52rng0cl 16654 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
7067, 69jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) ) )
7170adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R ) ) )
7268, 52, 26grpsubid 15601 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( -g `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
7371, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7473ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7529, 66, 743eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
7675ex 434 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
)
7776ralrimivva 2803 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) )
787eleq2i 2502 . . 3  |-  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D  <->  ( X (
-g `  A ) Y )  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
79 oveq 6092 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  (
i m j )  =  ( i ( X ( -g `  A
) Y ) j ) )
8079eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  (
( i m j )  =  .0.  <->  ( i
( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) )
8180imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  ( i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) )
8281ralbidv 2730 . . . . 5  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  ( A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) )
8382ralbidv 2730 . . . 4  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) )
8483elrab 3112 . . 3  |-  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e. 
{ m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } 
<->  ( ( X (
-g `  A ) Y )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) )
8578, 84bitri 249 . 2  |-  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D  <->  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) ) )
8616, 77, 85sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   {crab 2714   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   Basecbs 14166   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405   Ringcrg 16633   Mat cmat 18255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-ot 3881  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-prds 14378  df-pws 14380  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-dsmm 18132  df-frlm 18147  df-mamu 18256  df-mat 18257
This theorem is referenced by:  dmatsgrp  30801
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