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Theorem dmatsubcl 19290
Description: The difference of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
dmatsubcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )

Proof of Theorem dmatsubcl
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
21matgrp 19222 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
32adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A  e.  Grp )
4 dmatid.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
5 dmatid.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6 dmatid.d . . . . . 6  |-  D  =  ( N DMat  R )
71, 4, 5, 6dmatmat 19286 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  B ) )
87imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  B )
98adantrr 715 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  B )
101, 4, 5, 6dmatmat 19286 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  B ) )
1110imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  B )
1211adantrl 714 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  B )
13 eqid 2402 . . . 4  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
144, 13grpsubcl 16440 . . 3  |-  ( ( A  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( -g `  A ) Y )  e.  B )
153, 9, 12, 14syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B )
16 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1716adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
1817adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
197, 10anim12d 561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
) )
2019imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
2120adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
22 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)
23 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
241, 4, 13, 23matsubgcell 19226 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
2518, 21, 22, 24syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
2625adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  ( ( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) ) )
27 simpll 752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
28 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  D )
2927, 17, 283jca 1177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
3029adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
3130adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
32 simplrl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  N )
33 simplrr 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  N )
34 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  =/=  j )
351, 4, 5, 6dmatelnd 19288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i X j )  =  .0.  )
3631, 32, 33, 34, 35syl13anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i X j )  =  .0.  )
37 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  D )
3827, 17, 373jca 1177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
3938adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
4039adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
411, 4, 5, 6dmatelnd 19288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i Y j )  =  .0.  )
4240, 32, 33, 34, 41syl13anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i Y j )  =  .0.  )
4336, 42oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  ) )
44 ringgrp 17521 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
45 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4645, 5ring0cl 17538 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
4744, 46jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) ) )
4847adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R ) ) )
4945, 5, 23grpsubid 16444 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( -g `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
5048, 49syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
5150ad3antrrr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
5226, 43, 513eqtrd 2447 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
5352ex 432 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
)
5453ralrimivva 2824 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) )
551, 4, 5, 6dmatel 19285 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( X (
-g `  A ) Y )  e.  D  <->  ( ( X ( -g `  A ) Y )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) ) )
5655adantr 463 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
( X ( -g `  A ) Y )  e.  D  <->  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) ) ) )
5715, 54, 56mpbir2and 923 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   Basecbs 14839   0gc0g 15052   Grpcgrp 16375   -gcsg 16377   Ringcrg 17516   Mat cmat 19199   DMat cdmat 19280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-dsmm 19059  df-frlm 19074  df-mat 19200  df-dmat 19282
This theorem is referenced by:  dmatsgrp  19291
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