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Theorem dmatsubcl 31034
Description: The difference of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
Assertion
Ref Expression
dmatsubcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )
Distinct variable groups:    B, m    A, i, j, m    i, N, j, m    R, i, j    .0. , m    i, X, j, m    .0. , i,
j    i, Y, j, m    D, i, j
Allowed substitution hints:    B( i, j)    D( m)    R( m)

Proof of Theorem dmatsubcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
21matrng 18449 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
3 rnggrp 16765 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A  e.  Grp )
6 elrabi 3214 . . . . 5  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  X  e.  B )
7 dmatid.d . . . . 5  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
86, 7eleq2s 2559 . . . 4  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  B )
98ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  B )
10 elrabi 3214 . . . . 5  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  Y  e.  B )
1110, 7eleq2s 2559 . . . 4  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  B )
1211ad2antll 728 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  B )
13 dmatid.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
14 eqid 2451 . . . 4  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
1513, 14grpsubcl 15717 . . 3  |-  ( ( A  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( -g `  A ) Y )  e.  B )
165, 9, 12, 15syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1817adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
1918adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
208a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  B ) )
2111a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  B ) )
2220, 21anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
) )
2322imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
2423adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
25 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)
26 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
271, 13, 14, 26matsubgcell 31009 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
2819, 24, 25, 27syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( X (
-g `  A ) Y ) j )  =  ( ( i X j ) (
-g `  R )
( i Y j ) ) )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  ( ( i X j ) ( -g `  R
) ( i Y j ) ) )
30 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
31 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  D )
3230, 18, 313jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
35 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  N )
36 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  N )
37 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  =/=  j )
38 neeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  x  ->  (
i  =/=  j  <->  x  =/=  j ) )
39 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  x  ->  (
i m j )  =  ( x m j ) )
4039eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  x  ->  (
( i m j )  =  .0.  <->  ( x m j )  =  .0.  ) )
4138, 40imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  x  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  ( x  =/=  j  -> 
( x m j )  =  .0.  )
) )
42 neeq2 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  y  ->  (
x  =/=  j  <->  x  =/=  y ) )
43 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  y  ->  (
x m j )  =  ( x m y ) )
4443eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  y  ->  (
( x m j )  =  .0.  <->  ( x m y )  =  .0.  ) )
4542, 44imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  y  ->  (
( x  =/=  j  ->  ( x m j )  =  .0.  )  <->  ( x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  )
) )
4641, 45cbvral2v 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  )
)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  )
) )
4847rabbiia 3060 . . . . . . . . . . 11  |-  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) }  =  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  ) }
497, 48eqtri 2480 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) }
5049eleq2i 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  D  <->  X  e.  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } )
51503anbi3i 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  <->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  X  e.  {
m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } ) )
52 dmatid.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
53 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  ) }  =  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  (
x  =/=  y  -> 
( x m y )  =  .0.  ) }
541, 13, 52, 53dmatelnd 31032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i X j )  =  .0.  )
5551, 54sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i X j )  =  .0.  )
5634, 35, 36, 37, 55syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i X j )  =  .0.  )
57 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  D )
5830, 18, 573jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
6059adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
6149eleq2i 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  D  <->  Y  e.  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } )
62613anbi3i 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  <->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  Y  e.  {
m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } ) )
631, 13, 52, 53dmatelnd 31032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  { m  e.  B  |  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x  =/=  y  ->  ( x m y )  =  .0.  ) } )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i Y j )  =  .0.  )
6462, 63sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  i  =/=  j ) )  ->  ( i Y j )  =  .0.  )
6560, 35, 36, 37, 64syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i Y j )  =  .0.  )
6656, 65oveq12d 6211 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( i X j ) ( -g `  R ) ( i Y j ) )  =  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  ) )
67 rnggrp 16765 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
68 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6968, 52rng0cl 16781 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
7067, 69jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) ) )
7170adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R ) ) )
7268, 52, 26grpsubid 15721 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( -g `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
7371, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7473ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7529, 66, 743eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
7675ex 434 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
)
7776ralrimivva 2907 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) )
787eleq2i 2529 . . 3  |-  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D  <->  ( X (
-g `  A ) Y )  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
79 oveq 6199 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  (
i m j )  =  ( i ( X ( -g `  A
) Y ) j ) )
8079eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  (
( i m j )  =  .0.  <->  ( i
( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) )
8180imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  ( i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) )
8281ralbidv 2841 . . . . 5  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  ( A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) )
8382ralbidv 2841 . . . 4  |-  ( m  =  ( X (
-g `  A ) Y )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) )
8483elrab 3217 . . 3  |-  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e. 
{ m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } 
<->  ( ( X (
-g `  A ) Y )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A
) Y ) j )  =  .0.  )
) )
8578, 84bitri 249 . 2  |-  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D  <->  ( ( X ( -g `  A
) Y )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( X ( -g `  A ) Y ) j )  =  .0.  ) ) )
8616, 77, 85sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( -g `  A
) Y )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   {crab 2799   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Fincfn 7413   Basecbs 14285   0gc0g 14489   Grpcgrp 15521   -gcsg 15524   Ringcrg 16760   Mat cmat 18398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-prds 14497  df-pws 14499  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-ghm 15856  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-subrg 16978  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-dsmm 18275  df-frlm 18290  df-mamu 18399  df-mat 18400
This theorem is referenced by:  dmatsgrp  31035
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