MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatsgrp Structured version   Unicode version

Theorem dmatsgrp 19455
Description: The set of diagonal matrices is a subgroup of the matrix group/algebra. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
dmatsgrp  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  D  e.  (SubGrp `  A )
)

Proof of Theorem dmatsgrp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 dmatid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 dmatid.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 dmatid.d . . . . 5  |-  D  =  ( N DMat  R )
51, 2, 3, 4dmatmat 19450 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( z  e.  D  ->  z  e.  B ) )
65ancoms 454 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
z  e.  D  -> 
z  e.  B ) )
76ssrdv 3476 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  D  C_  B )
81, 2, 3, 4dmatid 19451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  D )
98ancoms 454 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( 1r `  A )  e.  D )
10 ne0i 3773 . . 3  |-  ( ( 1r `  A )  e.  D  ->  D  =/=  (/) )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  D  =/=  (/) )
121, 2, 3, 4dmatsubcl 19454 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x ( -g `  A
) y )  e.  D )
1312ancom1s 812 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x ( -g `  A
) y )  e.  D )
1413ralrimivva 2853 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x
( -g `  A ) y )  e.  D
)
151matring 19399 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
1615ancoms 454 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  A  e.  Ring )
17 ringgrp 17720 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
18 eqid 2429 . . . 4  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
192, 18issubg4 16787 . . 3  |-  ( A  e.  Grp  ->  ( D  e.  (SubGrp `  A
)  <->  ( D  C_  B  /\  D  =/=  (/)  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
x ( -g `  A
) y )  e.  D ) ) )
2016, 17, 193syl 18 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( D  e.  (SubGrp `  A
)  <->  ( D  C_  B  /\  D  =/=  (/)  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
x ( -g `  A
) y )  e.  D ) ) )
217, 11, 14, 20mpbir3and 1188 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  D  e.  (SubGrp `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   Basecbs 15084   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   -gcsg 16622  SubGrpcsubg 16762   1rcur 17670   Ringcrg 17715   Mat cmat 19363   DMat cdmat 19444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mamu 19340  df-mat 19364  df-dmat 19446
This theorem is referenced by:  dmatsrng  19457  scmatsgrp1  19478
  Copyright terms: Public domain W3C validator