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Theorem dmatscmcl 19172
Description: The multiplication of a diagonal matrix with a scalar is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatscmcl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
dmatscmcl.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatscmcl.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatscmcl.s  |-  .*  =  ( .s `  A )
dmatscmcl.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
dmatscmcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  D
) )  ->  ( C  .*  M )  e.  D )

Proof of Theorem dmatscmcl
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 754 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  D
) )  ->  C  e.  K )
2 dmatscmcl.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 dmatscmcl.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5 dmatscmcl.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( N DMat  R )
62, 3, 4, 5dmatmat 19163 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( M  e.  D  ->  M  e.  B ) )
76com12 31 . . . . . 6  |-  ( M  e.  D  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  M  e.  B ) )
87adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  K  /\  M  e.  D )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  M  e.  B ) )
98impcom 428 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  D
) )  ->  M  e.  B )
101, 9jca 530 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  D
) )  ->  ( C  e.  K  /\  M  e.  B )
)
11 dmatscmcl.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
12 dmatscmcl.s . . . 4  |-  .*  =  ( .s `  A )
1311, 2, 3, 12matvscl 19100 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  B
) )  ->  ( C  .*  M )  e.  B )
1410, 13syldan 468 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  D
) )  ->  ( C  .*  M )  e.  B )
152, 3, 4, 5dmatel 19162 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( M  e.  D  <->  ( M  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
1615adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K
)  ->  ( M  e.  D  <->  ( M  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g `  R
) ) ) ) )
17 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
18 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K
)  ->  C  e.  K )
1918anim1i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  ->  ( C  e.  K  /\  M  e.  B )
)
2019adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( C  e.  K  /\  M  e.  B ) )
21 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )
2217, 20, 213jca 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
) )
2322adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) )  ->  ( R  e. 
Ring  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
) )
24 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
252, 3, 11, 12, 24matvscacell 19105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( C  .*  M ) j )  =  ( C ( .r `  R ) ( i M j ) ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) )  ->  ( i ( C  .*  M ) j )  =  ( C ( .r `  R ) ( i M j ) ) )
27 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i M j )  =  ( 0g `  R )  ->  ( C ( .r `  R ) ( i M j ) )  =  ( C ( .r `  R ) ( 0g `  R
) ) )
2827adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) )  ->  ( C ( .r `  R ) ( i M j ) )  =  ( C ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
29 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
3029anim1i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K ) )
3130adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  ->  ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K ) )
3211, 24, 4ringrz 17431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K )  ->  ( C ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  ->  ( C ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
3433adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( C
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
3534adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) )  ->  ( C ( .r `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
3626, 28, 353eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) )  ->  ( i ( C  .*  M ) j )  =  ( 0g `  R ) )
3736ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
i M j )  =  ( 0g `  R )  ->  (
i ( C  .*  M ) j )  =  ( 0g `  R ) ) )
3837imim2d 52 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
i  =/=  j  -> 
( i M j )  =  ( 0g
`  R ) )  ->  ( i  =/=  j  ->  ( i
( C  .*  M
) j )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
3938ralimdvva 2865 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K )  /\  M  e.  B )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  ( 0g
`  R ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( C  .*  M ) j )  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
4039expimpd 601 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K
)  ->  ( ( M  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i M j )  =  ( 0g
`  R ) ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( C  .*  M
) j )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
4116, 40sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  K
)  ->  ( M  e.  D  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( C  .*  M
) j )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
4241impr 617 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  D
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( C  .*  M
) j )  =  ( 0g `  R
) ) )
432, 3, 4, 5dmatel 19162 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( C  .*  M )  e.  D  <->  ( ( C  .*  M
)  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i ( C  .*  M ) j )  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
4443adantr 463 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  D
) )  ->  (
( C  .*  M
)  e.  D  <->  ( ( C  .*  M )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( C  .*  M
) j )  =  ( 0g `  R
) ) ) ) )
4514, 42, 44mpbir2and 920 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( C  e.  K  /\  M  e.  D
) )  ->  ( C  .*  M )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   .scvsca 14788   0gc0g 14929   Ringcrg 17393   Mat cmat 19076   DMat cdmat 19157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mat 19077  df-dmat 19159
This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  19177
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