Theorem dmatmulcl 19169

Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	|- A = ( N Mat R )
dmatid.b	|- B = ( Base ` A )
dmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
dmatid.d	|- D = ( N DMat R )

Assertion

Ref	Expression
dmatmulcl	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) e. D )

Proof of Theorem dmatmulcl

Dummy variables i j x y m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		eqid 2454	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		dmatid.b	. . . 4 |- B = ( Base ` A )
4		simpll 751	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> N e. Fin )
5		simplr 753	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. Ring )
6	5	3ad2ant1 1015	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Ring )
7		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
8		simp2 995	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> x e. N )
9		simp3 996	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> y e. N )
10		dmatid.0	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` R )
11		dmatid.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( N DMat R )
12	1, 7, 10, 11	dmatmat 19163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( X e. D -> X e. ( Base ` A ) ) )
13	12	imp 427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. D ) -> X e. ( Base ` A ) )
14	13	adantrr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
15	14	3ad2ant1 1015	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
16	1, 2, 7, 8, 9, 15	matecld 19095	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x X y ) e. ( Base ` R ) )
17	1, 7, 10, 11	dmatmat 19163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Y e. D -> Y e. ( Base ` A ) ) )
18	17	imp 427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. D ) -> Y e. ( Base ` A ) )
19	18	adantrl 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
20	19	3ad2ant1 1015	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
21	1, 2, 7, 8, 9, 20	matecld 19095	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
22		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
23	2, 22	ringcl 17407	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X y ) e. ( Base ` R ) /\ ( x Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
24	6, 16, 21, 23	syl3anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
25	2, 10	ring0cl 17415	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
26	25	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
27	26	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
28	27	3ad2ant1 1015	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
29	24, 28	ifcld 3972	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) e. ( Base ` R ) )
30	1, 2, 3, 4, 5, 29	matbas2d 19092	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. B )
31		eqidd 2455	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
32		eqeq12 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x = y <-> i = j ) )
33		oveq12 6279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x X y ) = ( i X j ) )
34		oveq12 6279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x Y y ) = ( i Y j ) )
35	33, 34	oveq12d 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) = ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) )
36	32, 35	ifbieq1d 3952	. . . . . . . 8 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
37	36	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) /\ ( x = i /\ y = j ) ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
38		simplrl 759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> i e. N )
39		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> j e. N )
40		ovex 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) e. _V
41		fvex 5858	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` R ) e. _V
42	10, 41	eqeltri 2538	. . . . . . . . 9 |- .0. e. _V
43	40, 42	ifex 3997	. . . . . . . 8 |- if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) e. _V
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) e. _V )
45	31, 37, 38, 39, 44	ovmpt2d 6403	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
46		ifnefalse 3941	. . . . . . 7 |- ( i =/= j -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) = .0. )
47	46	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) = .0. )
48	45, 47	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. )
49	48	ex 432	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
50	49	ralrimivva 2875	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
51		oveq 6276	. . . . . . 7 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( i m j ) = ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) )
52	51	eqeq1d 2456	. . . . . 6 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( ( i m j ) = .0. <-> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
53	52	imbi2d 314	. . . . 5 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) <-> ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
54	53	2ralbidv 2898	. . . 4 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
55	54	elrab 3254	. . 3 |- ( ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } <-> ( ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
56	30, 50, 55	sylanbrc 662	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
57	1, 3, 10, 11	dmatmul 19166	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
58	1, 3, 10, 11	dmatval 19161	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
59	58	adantr 463	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> D = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
60	56, 57, 59	3eltr4d 2557	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   ifcif 3929   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   |-> cmpt2 6272   Fincfn 7509   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   0gc0g 14929   Ringcrg 17393   Mat cmat 19076   DMat cdmat 19157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mamu 19053  df-mat 19077  df-dmat 19159

This theorem is referenced by:  dmatsrng  19170