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Theorem dmatmulcl 19169
Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
dmatmulcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  e.  D )

Proof of Theorem dmatmulcl
Dummy variables  i 
j  x  y  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 dmatid.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 simpll 751 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
5 simplr 753 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
653ad2ant1 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
7 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
8 simp2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  x  e.  N )
9 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
10 dmatid.0 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
11 dmatid.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( N DMat  R )
121, 7, 10, 11dmatmat 19163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  ( Base `  A ) ) )
1312imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  ( Base `  A )
)
1413adantrr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
15143ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
161, 2, 7, 8, 9, 15matecld 19095 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
171, 7, 10, 11dmatmat 19163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A ) ) )
1817imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  ( Base `  A )
)
1918adantrl 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
20193ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
211, 2, 7, 8, 9, 20matecld 19095 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
22 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
232, 22ringcl 17407 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( x Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
246, 16, 21, 23syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
252, 10ring0cl 17415 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
2625adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
2726adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
28273ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  .0.  e.  ( Base `  R ) )
2924, 28ifcld 3972 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
301, 2, 3, 4, 5, 29matbas2d 19092 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
31 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
32 eqeq12 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  =  y  <-> 
i  =  j ) )
33 oveq12 6279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x X y )  =  ( i X j ) )
34 oveq12 6279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x Y y )  =  ( i Y j ) )
3533, 34oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  =  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) ) )
3632, 35ifbieq1d 3952 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  ) )
3736adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  i  =/=  j )  /\  (
x  =  i  /\  y  =  j )
)  ->  if (
x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) ) ,  .0.  ) )
38 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  N )
39 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  N )
40 ovex 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) )  e. 
_V
41 fvex 5858 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4210, 41eqeltri 2538 . . . . . . . . 9  |-  .0.  e.  _V
4340, 42ifex 3997 . . . . . . . 8  |-  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  e.  _V
4443a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  e.  _V )
4531, 37, 38, 39, 44ovmpt2d 6403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) ) ,  .0.  ) )
46 ifnefalse 3941 . . . . . . 7  |-  ( i  =/=  j  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
4746adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
4845, 47eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  .0.  )
4948ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  =/=  j  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  .0.  ) )
5049ralrimivva 2875 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  )
)
51 oveq 6276 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( i m j )  =  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j ) )
5251eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( ( i m j )  =  .0.  <->  ( i ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  ) )
5352imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( ( i  =/=  j  ->  (
i m j )  =  .0.  )  <->  ( i  =/=  j  ->  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  )
) )
54532ralbidv 2898 . . . 4  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  )
) )
5554elrab 3254 . . 3  |-  ( ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } 
<->  ( ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  .0.  ) ) )
5630, 50, 55sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
571, 3, 10, 11dmatmul 19166 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
581, 3, 10, 11dmatval 19161 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i m j )  =  .0.  ) } )
5958adantr 463 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
6056, 57, 593eltr4d 2557 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   ifcif 3929   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   Fincfn 7509   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   0gc0g 14929   Ringcrg 17393   Mat cmat 19076   DMat cdmat 19157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mamu 19053  df-mat 19077  df-dmat 19159
This theorem is referenced by:  dmatsrng  19170
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