Theorem dmatmulcl 31036

Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	|- A = ( N Mat R )
dmatid.b	|- B = ( Base ` A )
dmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
dmatid.d	|- D = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) }

Assertion

Ref	Expression
dmatmulcl	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) e. D )

Distinct variable groups:   B, m   A, i, j, m   i, N, j, m   R, i, j   .0. , m   i, X, j, m   .0. , i, j   i, Y, j, m   D, i, j   B, i, j   R, m

Allowed substitution hint:   D( m)

Proof of Theorem dmatmulcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . 3 |- A = ( N Mat R )
2		dmatid.b	. . 3 |- B = ( Base ` A )
3		dmatid.0	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4		dmatid.d	. . 3 |- D = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) }
5	1, 2, 3, 4	dmatmul 31033	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
6		eqid 2451	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> N e. Fin )
8		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. Ring )
9	8	3ad2ant1 1009	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Ring )
10		simp2 989	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> x e. N )
11		simp3 990	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> y e. N )
12		elrabi 3214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } -> X e. B )
13	12, 2	syl6eleq 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } -> X e. ( Base ` A ) )
14	13, 4	eleq2s 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. D -> X e. ( Base ` A ) )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. D /\ Y e. D ) -> X e. ( Base ` A ) )
16	15	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
17	16	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
18	1, 6	matecl 18444	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N /\ y e. N /\ X e. ( Base ` A ) ) -> ( x X y ) e. ( Base ` R ) )
19	10, 11, 17, 18	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x X y ) e. ( Base ` R ) )
20		elrabi 3214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } -> Y e. B )
21	20, 2	syl6eleq 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } -> Y e. ( Base ` A ) )
22	21, 4	eleq2s 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. D -> Y e. ( Base ` A ) )
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. D /\ Y e. D ) -> Y e. ( Base ` A ) )
24	23	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
25	24	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
26	1, 6	matecl 18444	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N /\ y e. N /\ Y e. ( Base ` A ) ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
27	10, 11, 25, 26	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
28		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
29	6, 28	rngcl 16773	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X y ) e. ( Base ` R ) /\ ( x Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
30	9, 19, 27, 29	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
31	6, 3	rng0cl 16781	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
32	31	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
33	32	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
34	33	3ad2ant1 1009	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
35	30, 34	ifcld 3933	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) e. ( Base ` R ) )
36	1, 6, 2, 7, 8, 35	matbas2d 18442	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. B )
37		eqidd 2452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
38		eqeq12 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x = y <-> i = j ) )
39		oveq12 6202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x X y ) = ( i X j ) )
40		oveq12 6202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x Y y ) = ( i Y j ) )
41	39, 40	oveq12d 6211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) = ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) )
42	38, 41	ifbieq1d 3913	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
43	42	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) /\ ( x = i /\ y = j ) ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
44		simplrl 759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> i e. N )
45		simplrr 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> j e. N )
46		ovex 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) e. _V
47		fvex 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) e. _V
48	3, 47	eqeltri 2535	. . . . . . . . . 10 |- .0. e. _V
49	46, 48	ifex 3959	. . . . . . . . 9 |- if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) e. _V
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) e. _V )
51	37, 43, 44, 45, 50	ovmpt2d 6321	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
52		ifnefalse 3902	. . . . . . . 8 |- ( i =/= j -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) = .0. )
53	52	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) = .0. )
54	51, 53	eqtrd 2492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. )
55	54	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
56	55	ralrimivva 2907	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
57		oveq 6199	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( i m j ) = ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) )
58	57	eqeq1d 2453	. . . . . . . 8 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( ( i m j ) = .0. <-> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
59	58	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) <-> ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
60	59	ralbidv 2841	. . . . . 6 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) <-> A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
61	60	ralbidv 2841	. . . . 5 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
62	61	elrab 3217	. . . 4 |- ( ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } <-> ( ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
63	36, 56, 62	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
64	63, 4	syl6eleqr 2550	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. D )
65	5, 64	eqeltrd 2539	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3071   ifcif 3892   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   |-> cmpt2 6195   Fincfn 7413   Basecbs 14285   .rcmulr 14350   0gc0g 14489   Ringcrg 16760   Mat cmat 18398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-prds 14497  df-pws 14499  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-dsmm 18275  df-frlm 18290  df-mamu 18399  df-mat 18400

This theorem is referenced by:  dmatsrng  31037