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Theorem dmatmulcl 31036
Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
Assertion
Ref Expression
dmatmulcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  e.  D )
Distinct variable groups:    B, m    A, i, j, m    i, N, j, m    R, i, j    .0. , m    i, X, j, m    .0. , i,
j    i, Y, j, m    D, i, j    B, i, j    R, m
Allowed substitution hint:    D( m)

Proof of Theorem dmatmulcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 dmatid.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 dmatid.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 dmatid.d . . 3  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
51, 2, 3, 4dmatmul 31033 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
6 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
8 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
983ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  x  e.  N )
11 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
12 elrabi 3214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  X  e.  B )
1312, 2syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
1413, 4eleq2s 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
1615adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
17163ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
181, 6matecl 18444 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
1910, 11, 17, 18syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
20 elrabi 3214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  Y  e.  B )
2120, 2syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
2221, 4eleq2s 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
2322adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
2423adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
25243ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
261, 6matecl 18444 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  Y  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
2710, 11, 25, 26syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
28 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
296, 28rngcl 16773 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( x Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
309, 19, 27, 29syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
316, 3rng0cl 16781 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
3231adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
3332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
34333ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  .0.  e.  ( Base `  R ) )
3530, 34ifcld 3933 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
361, 6, 2, 7, 8, 35matbas2d 18442 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
37 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
38 eqeq12 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  =  y  <-> 
i  =  j ) )
39 oveq12 6202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x X y )  =  ( i X j ) )
40 oveq12 6202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x Y y )  =  ( i Y j ) )
4139, 40oveq12d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  =  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) ) )
4238, 41ifbieq1d 3913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  ) )
4342adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  i  =/=  j )  /\  (
x  =  i  /\  y  =  j )
)  ->  if (
x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) ) ,  .0.  ) )
44 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  N )
45 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  N )
46 ovex 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) )  e. 
_V
47 fvex 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
483, 47eqeltri 2535 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
4946, 48ifex 3959 . . . . . . . . 9  |-  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  e.  _V )
5137, 43, 44, 45, 50ovmpt2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( i Y j ) ) ,  .0.  ) )
52 ifnefalse 3902 . . . . . . . 8  |-  ( i  =/=  j  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
5352adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  ->  if ( i  =  j ,  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( i Y j ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
5451, 53eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  .0.  )
5554ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  =/=  j  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  .0.  ) )
5655ralrimivva 2907 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  )
)
57 oveq 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( i m j )  =  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j ) )
5857eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( ( i m j )  =  .0.  <->  ( i ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  ) )
5958imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( ( i  =/=  j  ->  (
i m j )  =  .0.  )  <->  ( i  =/=  j  ->  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  )
) )
6059ralbidv 2841 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  )
) )
6160ralbidv 2841 . . . . 5  |-  ( m  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) j )  =  .0.  )
) )
6261elrab 3217 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } 
<->  ( ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )
) j )  =  .0.  ) ) )
6336, 56, 62sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
6463, 4syl6eleqr 2550 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )  e.  D
)
655, 64eqeltrd 2539 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3071   ifcif 3892   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   Fincfn 7413   Basecbs 14285   .rcmulr 14350   0gc0g 14489   Ringcrg 16760   Mat cmat 18398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-prds 14497  df-pws 14499  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-dsmm 18275  df-frlm 18290  df-mamu 18399  df-mat 18400
This theorem is referenced by:  dmatsrng  31037
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