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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dmatmulcl | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
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dmatid.a |
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dmatid.b |
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dmatid.0 |
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dmatid.d |
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Ref | Expression |
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dmatmulcl |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dmatid.a |
. . . 4
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2 | eqid 2462 |
. . . 4
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3 | dmatid.b |
. . . 4
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4 | simpll 765 |
. . . 4
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5 | simplr 767 |
. . . 4
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6 | 5 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . . 6
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7 | eqid 2462 |
. . . . . . 7
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8 | simp2 1015 |
. . . . . . 7
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9 | simp3 1016 |
. . . . . . 7
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10 | dmatid.0 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | dmatid.d |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 1, 7, 10, 11 | dmatmat 19574 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 12 | imp 435 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | adantrr 728 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . . . 7
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16 | 1, 2, 7, 8, 9, 15 | matecld 19506 |
. . . . . 6
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17 | 1, 7, 10, 11 | dmatmat 19574 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | imp 435 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | adantrl 727 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . . . 7
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21 | 1, 2, 7, 8, 9, 20 | matecld 19506 |
. . . . . 6
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22 | eqid 2462 |
. . . . . . 7
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23 | 2, 22 | ringcl 17849 |
. . . . . 6
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24 | 6, 16, 21, 23 | syl3anc 1276 |
. . . . 5
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25 | 2, 10 | ring0cl 17857 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | adantl 472 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | adantr 471 |
. . . . . 6
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28 | 27 | 3ad2ant1 1035 |
. . . . 5
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29 | 24, 28 | ifcld 3936 |
. . . 4
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30 | 1, 2, 3, 4, 5, 29 | matbas2d 19503 |
. . 3
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31 | eqidd 2463 |
. . . . . . 7
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32 | eqeq12 2475 |
. . . . . . . . 9
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33 | oveq12 6329 |
. . . . . . . . . 10
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34 | oveq12 6329 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 33, 34 | oveq12d 6338 |
. . . . . . . . 9
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36 | 32, 35 | ifbieq1d 3916 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | adantl 472 |
. . . . . . 7
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38 | simplrl 775 |
. . . . . . 7
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39 | simplrr 776 |
. . . . . . 7
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40 | ovex 6348 |
. . . . . . . . 9
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41 | fvex 5902 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 10, 41 | eqeltri 2536 |
. . . . . . . . 9
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43 | 40, 42 | ifex 3961 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | a1i 11 |
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45 | 31, 37, 38, 39, 44 | ovmpt2d 6456 |
. . . . . 6
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46 | ifnefalse 3905 |
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47 | 46 | adantl 472 |
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48 | 45, 47 | eqtrd 2496 |
. . . . 5
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49 | 48 | ex 440 |
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50 | 49 | ralrimivva 2821 |
. . 3
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51 | oveq 6326 |
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52 | 51 | eqeq1d 2464 |
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53 | 52 | imbi2d 322 |
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54 | 53 | 2ralbidv 2844 |
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55 | 54 | elrab 3208 |
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56 | 30, 50, 55 | sylanbrc 675 |
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57 | 1, 3, 10, 11 | dmatmul 19577 |
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58 | 1, 3, 10, 11 | dmatval 19572 |
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59 | 58 | adantr 471 |
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60 | 56, 57, 59 | 3eltr4d 2555 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-rep 4531 ax-sep 4541 ax-nul 4550 ax-pow 4598 ax-pr 4656 ax-un 6615 ax-inf2 8177 ax-cnex 9626 ax-resscn 9627 ax-1cn 9628 ax-icn 9629 ax-addcl 9630 ax-addrcl 9631 ax-mulcl 9632 ax-mulrcl 9633 ax-mulcom 9634 ax-addass 9635 ax-mulass 9636 ax-distr 9637 ax-i2m1 9638 ax-1ne0 9639 ax-1rid 9640 ax-rnegex 9641 ax-rrecex 9642 ax-cnre 9643 ax-pre-lttri 9644 ax-pre-lttrn 9645 ax-pre-ltadd 9646 ax-pre-mulgt0 9647 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-ot 3989 df-uni 4213 df-int 4249 df-iun 4294 df-iin 4295 df-br 4419 df-opab 4478 df-mpt 4479 df-tr 4514 df-eprel 4767 df-id 4771 df-po 4777 df-so 4778 df-fr 4815 df-se 4816 df-we 4817 df-xp 4862 df-rel 4863 df-cnv 4864 df-co 4865 df-dm 4866 df-rn 4867 df-res 4868 df-ima 4869 df-pred 5403 df-ord 5449 df-on 5450 df-lim 5451 df-suc 5452 df-iota 5569 df-fun 5607 df-fn 5608 df-f 5609 df-f1 5610 df-fo 5611 df-f1o 5612 df-fv 5613 df-isom 5614 df-riota 6282 df-ov 6323 df-oprab 6324 df-mpt2 6325 df-of 6563 df-om 6725 df-1st 6825 df-2nd 6826 df-supp 6947 df-wrecs 7059 df-recs 7121 df-rdg 7159 df-1o 7213 df-oadd 7217 df-er 7394 df-map 7505 df-ixp 7554 df-en 7601 df-dom 7602 df-sdom 7603 df-fin 7604 df-fsupp 7915 df-sup 7987 df-oi 8056 df-card 8404 df-pnf 9708 df-mnf 9709 df-xr 9710 df-ltxr 9711 df-le 9712 df-sub 9893 df-neg 9894 df-nn 10643 df-2 10701 df-3 10702 df-4 10703 df-5 10704 df-6 10705 df-7 10706 df-8 10707 df-9 10708 df-10 10709 df-n0 10904 df-z 10972 df-dec 11086 df-uz 11194 df-fz 11820 df-fzo 11953 df-seq 12252 df-hash 12554 df-struct 15178 df-ndx 15179 df-slot 15180 df-base 15181 df-sets 15182 df-ress 15183 df-plusg 15258 df-mulr 15259 df-sca 15261 df-vsca 15262 df-ip 15263 df-tset 15264 df-ple 15265 df-ds 15267 df-hom 15269 df-cco 15270 df-0g 15395 df-gsum 15396 df-prds 15401 df-pws 15403 df-mre 15547 df-mrc 15548 df-acs 15550 df-mgm 16543 df-sgrp 16582 df-mnd 16592 df-submnd 16638 df-grp 16728 df-minusg 16729 df-mulg 16731 df-cntz 17026 df-cmn 17487 df-abl 17488 df-mgp 17779 df-ur 17791 df-ring 17837 df-sra 18450 df-rgmod 18451 df-dsmm 19350 df-frlm 19365 df-mamu 19464 df-mat 19488 df-dmat 19570 |
This theorem is referenced by: dmatsrng 19581 |
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