Theorem dmatmulcl 19580

Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	|- A = ( N Mat R )
dmatid.b	|- B = ( Base ` A )
dmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
dmatid.d	|- D = ( N DMat R )

Assertion

Ref	Expression
dmatmulcl	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) e. D )

Proof of Theorem dmatmulcl

Dummy variables i j x y m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		eqid 2462	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		dmatid.b	. . . 4 |- B = ( Base ` A )
4		simpll 765	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> N e. Fin )
5		simplr 767	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. Ring )
6	5	3ad2ant1 1035	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Ring )
7		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
8		simp2 1015	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> x e. N )
9		simp3 1016	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> y e. N )
10		dmatid.0	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` R )
11		dmatid.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( N DMat R )
12	1, 7, 10, 11	dmatmat 19574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( X e. D -> X e. ( Base ` A ) ) )
13	12	imp 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. D ) -> X e. ( Base ` A ) )
14	13	adantrr 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
15	14	3ad2ant1 1035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
16	1, 2, 7, 8, 9, 15	matecld 19506	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x X y ) e. ( Base ` R ) )
17	1, 7, 10, 11	dmatmat 19574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Y e. D -> Y e. ( Base ` A ) ) )
18	17	imp 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. D ) -> Y e. ( Base ` A ) )
19	18	adantrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
20	19	3ad2ant1 1035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
21	1, 2, 7, 8, 9, 20	matecld 19506	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
22		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
23	2, 22	ringcl 17849	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X y ) e. ( Base ` R ) /\ ( x Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
24	6, 16, 21, 23	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
25	2, 10	ring0cl 17857	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
26	25	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
27	26	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
28	27	3ad2ant1 1035	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
29	24, 28	ifcld 3936	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) e. ( Base ` R ) )
30	1, 2, 3, 4, 5, 29	matbas2d 19503	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. B )
31		eqidd 2463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
32		eqeq12 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x = y <-> i = j ) )
33		oveq12 6329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x X y ) = ( i X j ) )
34		oveq12 6329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x Y y ) = ( i Y j ) )
35	33, 34	oveq12d 6338	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) = ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) )
36	32, 35	ifbieq1d 3916	. . . . . . . 8 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
37	36	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) /\ ( x = i /\ y = j ) ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
38		simplrl 775	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> i e. N )
39		simplrr 776	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> j e. N )
40		ovex 6348	. . . . . . . . 9 |- ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) e. _V
41		fvex 5902	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` R ) e. _V
42	10, 41	eqeltri 2536	. . . . . . . . 9 |- .0. e. _V
43	40, 42	ifex 3961	. . . . . . . 8 |- if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) e. _V
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) e. _V )
45	31, 37, 38, 39, 44	ovmpt2d 6456	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) )
46		ifnefalse 3905	. . . . . . 7 |- ( i =/= j -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) = .0. )
47	46	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> if ( i = j , ( ( i X j ) ( .r ` R ) ( i Y j ) ) , .0. ) = .0. )
48	45, 47	eqtrd 2496	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. )
49	48	ex 440	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
50	49	ralrimivva 2821	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
51		oveq 6326	. . . . . . 7 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( i m j ) = ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) )
52	51	eqeq1d 2464	. . . . . 6 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( ( i m j ) = .0. <-> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) )
53	52	imbi2d 322	. . . . 5 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) <-> ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
54	53	2ralbidv 2844	. . . 4 |- ( m = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
55	54	elrab 3208	. . 3 |- ( ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } <-> ( ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) j ) = .0. ) ) )
56	30, 50, 55	sylanbrc 675	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) e. { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
57	1, 3, 10, 11	dmatmul 19577	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
58	1, 3, 10, 11	dmatval 19572	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
59	58	adantr 471	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> D = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
60	56, 57, 59	3eltr4d 2555	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   {crab 2753   _Vcvv 3057   ifcif 3893   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   |-> cmpt2 6322   Fincfn 7600   Basecbs 15176   .rcmulr 15246   0gc0g 15393   Ringcrg 17835   Mat cmat 19487   DMat cdmat 19568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-sup 7987  df-oi 8056  df-card 8404  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-hom 15269  df-cco 15270  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-prds 15401  df-pws 15403  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-mulg 16731  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-dsmm 19350  df-frlm 19365  df-mamu 19464  df-mat 19488  df-dmat 19570

This theorem is referenced by:  dmatsrng  19581