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Theorem dmatmul 31075
Description: The product of two diagonal matrices. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
Assertion
Ref Expression
dmatmul  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    B, m    A, i, j, m    i, N, j, m    R, i, j    .0. , m    i, X, j, m    .0. , i,
j    x, D, y    x, N, y    x, R, y   
x, X, y    i, Y, j, m, x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y, i, j)    D( i, j, m)    R( m)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem dmatmul
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
31, 2matmulr 18441 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
54eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
65oveqd 6220 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( X ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) Y ) )
7 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
9 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
10 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
11 elrabi 3221 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  X  e.  B )
12 dmatid.d . . . . . . 7  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
1311, 12eleq2s 2562 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  B )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  B )
15 dmatid.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
161, 7, 15matbas2i 18451 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1714, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1817adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
19 elrabi 3221 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  Y  e.  B )
2019, 12eleq2s 2562 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  B )
2120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  B )
221, 7, 15matbas2i 18451 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
2423adantrl 715 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
252, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 18412 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) Y )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) ) )
26 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
27 rngcmn 16801 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
2827ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e. CMnd )
29283ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
3029adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  R  e. CMnd )
31103ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
3231adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
33 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) )
34 ovex 6228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  e.  _V )
36 fvex 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
3833, 32, 35, 37fsuppmptdm 7745 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
3993ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
4039ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
41 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  x  e.  N )
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  N )
43 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
4413, 15syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
46453ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
4746ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
481, 7matecl 18454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N  /\  k  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
4942, 43, 47, 48syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
50 simplr3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  N )
5120, 15syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
54533ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
561, 7matecl 18454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  N  /\  y  e.  N  /\  Y  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
5743, 50, 55, 56syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
587, 8rngcl 16784 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( k Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
5940, 49, 57, 58syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
6041adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  x  e.  N )
61 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
6213ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  B )
6362, 15syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
64633ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
651, 7matecl 18454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
6641, 61, 64, 65syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
6712eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  D  <->  Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) } )
6819, 15syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  {
m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }  ->  Y  e.  (
Base `  A )
) )
7067, 69syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A ) ) )
7170a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A ) ) ) )
7271imp32 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
73723ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
741, 7matecl 18454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  Y  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
7541, 61, 73, 74syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
767, 8rngcl 16784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( x Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
7739, 66, 75, 76syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
7877adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
79 eqtr 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  x  /\  x  =  y )  ->  k  =  y )
8079ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  /\  k  =  x )  ->  k  =  y )
8180oveq2d 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  k  =  x )  ->  ( x X k )  =  ( x X y ) )
8281adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( x X k )  =  ( x X y ) )
83 oveq1 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
k Y y )  =  ( x Y y ) )
8483adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( k Y y )  =  ( x Y y ) )
8582, 84oveq12d 6221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
867, 26, 30, 32, 38, 59, 60, 78, 85gsumdifsnd 30930 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } ) 
|->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ) )
87 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  D )
8810, 9, 873jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
89883ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
9089ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  X  e.  D
) )
9141ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  x  e.  N )
92 eldifi 3589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  k  e.  N
)
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  k  e.  N )
94 eldifsni 4112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  k  =/=  x
)
9594necomd 2723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  x  =/=  k
)
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  x  =/=  k )
97 dmatid.0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
981, 15, 97, 12dmatelnd 31074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  /\  (
x  e.  N  /\  k  e.  N  /\  x  =/=  k ) )  ->  ( x X k )  =  .0.  )
9990, 91, 93, 96, 98syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( x X k )  =  .0.  )
10099oveq1d 6218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( (
x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) )
10139ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  R  e.  Ring )
102 simplr3 1032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  y  e.  N )
10354ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  Y  e.  ( Base `  A )
)
10493, 102, 103, 56syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R
) )
1057, 8, 97rnglz 16807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  .0.  )
106101, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
107100, 106eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( (
x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  .0.  )
108107mpteq2dva 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
k  e.  ( N 
\  { x }
)  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
)
109108oveq2d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
) )
110 diffi 7657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
111 rngmnd 16780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
112110, 111anim12ci 567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  {
x } )  e. 
Fin ) )
113112adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
)
1141133ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  {
x } )  e. 
Fin ) )
115114adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
)
11697gsumz 15633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x } )  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
117115, 116syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
)  =  .0.  )
118109, 117eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) )  =  .0.  )
119118oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ) )
120111ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Mnd )
1211203ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Mnd )
12241, 61, 54, 74syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
12339, 66, 122, 76syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
124121, 123jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) ) )
125124adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
1267, 26, 97mndlid 15563 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )
127125, 126syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) )
12886, 119, 1273eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) )
129 iftrue 3908 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  ( (
x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
130129adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  ( (
x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
131128, 130eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
132 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  D )
13310, 9, 1323jca 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
1341333ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
135134ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
137 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  e.  N )
138 simplr3 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  N )
139138adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
y  e.  N )
140 df-ne 2650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
141 neeq1 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
x  =/=  y  <->  k  =/=  y ) )
142141biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  y  ->  (
x  =  k  -> 
k  =/=  y ) )
143140, 142sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
144143adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
145144adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
146145impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  =/=  y )
1471, 15, 97, 12dmatelnd 31074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  /\  (
k  e.  N  /\  y  e.  N  /\  k  =/=  y ) )  ->  ( k Y y )  =  .0.  )
148136, 137, 139, 146, 147syl13anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( k Y y )  =  .0.  )
149148oveq2d 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  ( ( x X k ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
15039ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
15141ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  N )
152 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
15364ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
154151, 152, 153, 48syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
1557, 8, 97rngrz 16808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X k )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X k ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
156150, 154, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
157156adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
158149, 157eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
15989ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
160159adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
161151adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  ->  x  e.  N )
162 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  e.  N )
163 df-ne 2650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  k  <->  -.  x  =  k )
164163biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  k  ->  x  =/=  k )
165164adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  ->  x  =/=  k )
166160, 161, 162, 165, 98syl13anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( x X k )  =  .0.  )
167166oveq1d 6218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  (  .0.  ( .r `  R
) ( k Y y ) ) )
16873ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
169152, 138, 168, 56syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
170150, 169, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  (  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
171170adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
172167, 171eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
173158, 172pm2.61ian 788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
174173mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )
175174oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) ) )
176111anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Mnd )
)
177176ancomd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )
)
17897gsumz 15633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
179177, 178syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
180179adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
1811803ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
182181adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
183 iffalse 3910 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
184183eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  y  ->  .0.  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
185184adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  ->  .0.  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
186175, 182, 1853eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
187131, 186pm2.61ian 788 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
188187mpt2eq3dva 6262 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
1896, 25, 1883eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   ifcif 3902   {csn 3988   <.cotp 3996    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   .rcmulr 14361   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   Mndcmnd 15531  CMndccmn 16401   Ringcrg 16771   maMul cmmul 18407   Mat cmat 18408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-mamu 18409  df-mat 18410
This theorem is referenced by:  dmatmulcl  31078  dmatcrng  31080  scmatmulcl  31085  scmatcrng  31087
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