Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dmatid.a |
. . . . . 6
 Mat   |
2 | | eqid 2454 |
. . . . . 6
 maMul       maMul       |
3 | 1, 2 | matmulr 18441 |
. . . . 5
 
  maMul
  
        |
4 | 3 | adantr 465 |
. . . 4
    
   maMul            |
5 | 4 | eqcomd 2462 |
. . 3
    
       maMul   
    |
6 | 5 | oveqd 6220 |
. 2
    
             maMul          |
7 | | eqid 2454 |
. . 3
         |
8 | | eqid 2454 |
. . 3
         |
9 | | simplr 754 |
. . 3
    
    |
10 | | simpll 753 |
. . 3
    
    |
11 | | elrabi 3221 |
. . . . . . 7
  


       |
12 | | dmatid.d |
. . . . . . 7
  
       |
13 | 11, 12 | eleq2s 2562 |
. . . . . 6
   |
14 | 13 | adantl 466 |
. . . . 5
   

  |
15 | | dmatid.b |
. . . . . 6
     |
16 | 1, 7, 15 | matbas2i 18451 |
. . . . 5
     
     |
17 | 14, 16 | syl 16 |
. . . 4
   

    
     |
18 | 17 | adantrr 716 |
. . 3
    
      
     |
19 | | elrabi 3221 |
. . . . . . 7
  


       |
20 | 19, 12 | eleq2s 2562 |
. . . . . 6
   |
21 | 20 | adantl 466 |
. . . . 5
   

  |
22 | 1, 7, 15 | matbas2i 18451 |
. . . . 5
     
     |
23 | 21, 22 | syl 16 |
. . . 4
   

    
     |
24 | 23 | adantrl 715 |
. . 3
    
      
     |
25 | 2, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 18, 24 | mamuval 18412 |
. 2
    
     maMul   
       g                       |
26 | | eqid 2454 |
. . . . . . 7
       |
27 | | rngcmn 16801 |
. . . . . . . . . 10

CMnd |
28 | 27 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . 9
    
  CMnd |
29 | 28 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . 8
   
   
 CMnd |
30 | 29 | adantl 466 |
. . . . . . 7
      
 
  CMnd |
31 | 10 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . 8
   
   
   |
32 | 31 | adantl 466 |
. . . . . . 7
      
 
    |
33 | | eqid 2454 |
. . . . . . . 8
                                     |
34 | | ovex 6228 |
. . . . . . . . 9
                 |
35 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
     
 
 
 
                   |
36 | | fvex 5812 |
. . . . . . . . 9
     |
37 | 36 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
      
 
        |
38 | 33, 32, 35, 37 | fsuppmptdm 7745 |
. . . . . . 7
      
 
                    finSupp       |
39 | 9 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . 9
   
   
   |
40 | 39 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . 8
     
 
 
 
   |
41 | | simp2 989 |
. . . . . . . . . 10
   
   
   |
42 | 41 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . 9
     
 
 
 
   |
43 | | simpr 461 |
. . . . . . . . 9
     
 
 
 
   |
44 | 13, 15 | syl6eleq 2552 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
45 | 44 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . 11
    
        |
46 | 45 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . . 10
   
   
       |
47 | 46 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . 9
     
 
 
 
       |
48 | 1, 7 | matecl 18454 |
. . . . . . . . 9
 
               |
49 | 42, 43, 47, 48 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
     
 
 
 
           |
50 | | simplr3 1032 |
. . . . . . . . 9
     
 
 
 
   |
51 | 20, 15 | syl6eleq 2552 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
52 | 51 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
53 | 52 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
    
        |
54 | 53 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . . 10
   
   
       |
55 | 54 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . 9
     
 
 
 
       |
56 | 1, 7 | matecl 18454 |
. . . . . . . . 9
 
               |
57 | 43, 50, 55, 56 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
     
 
 
 
           |
58 | 7, 8 | rngcl 16784 |
. . . . . . . 8
         
                               |
59 | 40, 49, 57, 58 | syl3anc 1219 |
. . . . . . 7
     
 
 
 
                       |
60 | 41 | adantl 466 |
. . . . . . 7
      
 
    |
61 | | simp3 990 |
. . . . . . . . . 10
   
   
   |
62 | 13 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . 12
    
    |
63 | 62, 15 | syl6eleq 2552 |
. . . . . . . . . . 11
    
        |
64 | 63 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . . 10
   
   
       |
65 | 1, 7 | matecl 18454 |
. . . . . . . . . 10
 
               |
66 | 41, 61, 64, 65 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . 9
   
   
           |
67 | 12 | eleq2i 2532 |
. . . . . . . . . . . . . 14

 

        |
68 | 19, 15 | syl6eleq 2552 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  


           |
69 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
   

             |
70 | 67, 69 | syl5bi 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
         |
71 | 70 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . 12
 
           |
72 | 71 | imp32 433 |
. . . . . . . . . . 11
    
        |
73 | 72 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . . 10
   
   
       |
74 | 1, 7 | matecl 18454 |
. . . . . . . . . 10
 
               |
75 | 41, 61, 73, 74 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . 9
   
   
           |
76 | 7, 8 | rngcl 16784 |
. . . . . . . . 9
         
                               |
77 | 39, 66, 75, 76 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
   
   
                       |
78 | 77 | adantl 466 |
. . . . . . 7
      
 
                        |
79 | | eqtr 2480 |
. . . . . . . . . . 11
 
   |
80 | 79 | ancoms 453 |
. . . . . . . . . 10
 
   |
81 | 80 | oveq2d 6219 |
. . . . . . . . 9
 
           |
82 | 81 | adantlr 714 |
. . . . . . . 8
     
 
 
 
           |
83 | | oveq1 6210 |
. . . . . . . . 9
           |
84 | 83 | adantl 466 |
. . . . . . . 8
     
 
 
 
           |
85 | 82, 84 | oveq12d 6221 |
. . . . . . 7
     
 
 
 
                                   |
86 | 7, 26, 30, 32, 38, 59, 60, 78, 85 | gsumdifsnd 30930 |
. . . . . 6
      
 
   g                      g                                                |
87 | | simprl 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
    
    |
88 | 10, 9, 87 | 3jca 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
  
   |
89 | 88 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
   
     |
90 | 89 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
 
 
 
    
    |
91 | 41 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
 
 
 
    
  |
92 | | eldifi 3589 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
93 | 92 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
 
 
 
    
  |
94 | | eldifsni 4112 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
       |
95 | 94 | necomd 2723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
96 | 95 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
 
 
 
    
  |
97 | | dmatid.0 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
98 | 1, 15, 97, 12 | dmatelnd 31074 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
       |
99 | 90, 91, 93, 96, 98 | syl13anc 1221 |
. . . . . . . . . . . 12
     
 
 
 
    
     |
100 | 99 | oveq1d 6218 |
. . . . . . . . . . 11
     
 
 
 
    
                            |
101 | 39 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
     
 
 
 
    
  |
102 | | simplr3 1032 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
 
 
 
    
  |
103 | 54 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
 
 
 
    
      |
104 | 93, 102, 103, 56 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . . . . 12
     
 
 
 
    
          |
105 | 7, 8, 97 | rnglz 16807 |
. . . . . . . . . . . 12
                      |
106 | 101, 104,
105 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . . 11
     
 
 
 
    
           |
107 | 100, 106 | eqtrd 2495 |
. . . . . . . . . 10
     
 
 
 
    
                 |
108 | 107 | mpteq2dva 4489 |
. . . . . . . . 9
      
 
                               |
109 | 108 | oveq2d 6219 |
. . . . . . . 8
      
 
   g                         g         |
110 | | diffi 7657 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
111 | | rngmnd 16780 |
. . . . . . . . . . . . 13

  |
112 | 110, 111 | anim12ci 567 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
113 | 112 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . 11
    
  
       |
114 | 113 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . . 10
   
   
         |
115 | 114 | adantl 466 |
. . . . . . . . 9
      
 
  
       |
116 | 97 | gsumz 15633 |
. . . . . . . . 9
  
     g        |
117 | 115, 116 | syl 16 |
. . . . . . . 8
      
 
   g        |
118 | 109, 117 | eqtrd 2495 |
. . . . . . 7
      
 
   g                         |
119 | 118 | oveq1d 6218 |
. . . . . 6
      
 
    g                                                                     |
120 | 111 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . 10
    
    |
121 | 120 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . 9
   
   
   |
122 | 41, 61, 54, 74 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . . 10
   
   
           |
123 | 39, 66, 122, 76 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . 9
   
   
                       |
124 | 121, 123 | jca 532 |
. . . . . . . 8
   
   
                         |
125 | 124 | adantl 466 |
. . . . . . 7
      
 
  
                       |
126 | 7, 26, 97 | mndlid 15563 |
. . . . . . 7
                                                              |
127 | 125, 126 | syl 16 |
. . . . . 6
      
 
                                         |
128 | 86, 119, 127 | 3eqtrd 2499 |
. . . . 5
      
 
   g                                      |
129 | | iftrue 3908 |
. . . . . 6
  
                 
                  |
130 | 129 | adantr 465 |
. . . . 5
      
 
   
                 
                  |
131 | 128, 130 | eqtr4d 2498 |
. . . 4
      
 
   g                                          |
132 | | simprr 756 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
    |
133 | 10, 9, 132 | 3jca 1168 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
  
   |
134 | 133 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
   
     |
135 | 134 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
       
 
 
     |
136 | 135 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
   
  
   
 
      |
137 | | simprr 756 |
. . . . . . . . . . 11
   
  
   
 
    |
138 | | simplr3 1032 |
. . . . . . . . . . . 12
       
 
 
   |
139 | 138 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
   
  
   
 
    |
140 | | df-ne 2650 |
. . . . . . . . . . . . . . 15

  |
141 | | neeq1 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
   |
142 | 141 | biimpcd 224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     |
143 | 140, 142 | sylbir 213 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
144 | 143 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
 
 
      |
145 | 144 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . 12
       
 
 
     |
146 | 145 | impcom 430 |
. . . . . . . . . . 11
   
  
   
 
    |
147 | 1, 15, 97, 12 | dmatelnd 31074 |
. . . . . . . . . . 11
    
       |
148 | 136, 137,
139, 146, 147 | syl13anc 1221 |
. . . . . . . . . 10
   
  
   
 
       |
149 | 148 | oveq2d 6219 |
. . . . . . . . 9
   
  
   
 
                              |
150 | 39 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . 11
       
 
 
   |
151 | 41 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
       
 
 
   |
152 | | simpr 461 |
. . . . . . . . . . . 12
       
 
 
   |
153 | 64 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
       
 
 
       |
154 | 151, 152,
153, 48 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . . . 11
       
 
 
           |
155 | 7, 8, 97 | rngrz 16808 |
. . . . . . . . . . 11
                      |
156 | 150, 154,
155 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . 10
       
 
 
            |
157 | 156 | adantl 466 |
. . . . . . . . 9
   
  
   
 
             |
158 | 149, 157 | eqtrd 2495 |
. . . . . . . 8
   
  
   
 
                   |
159 | 89 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
       
 
 
     |
160 | 159 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
        
 
        |
161 | 151 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
        
 
   
  |
162 | | simprr 756 |
. . . . . . . . . . 11
        
 
      |
163 | | df-ne 2650 |
. . . . . . . . . . . . 13

  |
164 | 163 | biimpri 206 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
165 | 164 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . 11
        
 
      |
166 | 160, 161,
162, 165, 98 | syl13anc 1221 |
. . . . . . . . . 10
        
 
         |
167 | 166 | oveq1d 6218 |
. . . . . . . . 9
        
 
                                |
168 | 73 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
       
 
 
       |
169 | 152, 138,
168, 56 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . . . 11
       
 
 
           |
170 | 150, 169,
105 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . 10
       
 
 
            |
171 | 170 | adantl 466 |
. . . . . . . . 9
        
 
               |
172 | 167, 171 | eqtrd 2495 |
. . . . . . . 8
        
 
                     |
173 | 158, 172 | pm2.61ian 788 |
. . . . . . 7
       
 
 
                  |
174 | 173 | mpteq2dva 4489 |
. . . . . 6
    
 
 
                       |
175 | 174 | oveq2d 6219 |
. . . . 5
    
 
 
   g                     g     |
176 | 111 | anim2i 569 |
. . . . . . . . . 10
 
     |
177 | 176 | ancomd 451 |
. . . . . . . . 9
 
     |
178 | 97 | gsumz 15633 |
. . . . . . . . 9
 
  g    |
179 | 177, 178 | syl 16 |
. . . . . . . 8
 
  g    |
180 | 179 | adantr 465 |
. . . . . . 7
    
   g    |
181 | 180 | 3ad2ant1 1009 |
. . . . . 6
   
   
  g    |
182 | 181 | adantl 466 |
. . . . 5
    
 
 
   g    |
183 | | iffalse 3910 |
. . . . . . 7
                    
 |
184 | 183 | eqcomd 2462 |
. . . . . 6
                       |
185 | 184 | adantr 465 |
. . . . 5
    
 
 
                        |
186 | 175, 182,
185 | 3eqtrd 2499 |
. . . 4
    
 
 
   g                                          |
187 | 131, 186 | pm2.61ian 788 |
. . 3
   
   
  g                                          |
188 | 187 | mpt2eq3dva 6262 |
. 2
    
     g                                              |
189 | 6, 25, 188 | 3eqtrd 2499 |
1
    
                                   |