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Theorem dmatmul 19166
Description: The product of two diagonal matrices. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
dmatmul  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, y    x, N, y    x, R, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem dmatmul
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
31, 2matmulr 19107 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
43adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
54eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
65oveqd 6287 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( X ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) Y ) )
7 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
9 simplr 753 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
10 simpll 751 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
11 dmatid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
12 dmatid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 dmatid.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( N DMat  R )
141, 11, 12, 13dmatmat 19163 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  B ) )
1514imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  B )
161, 7, 11matbas2i 19091 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1817adantrr 714 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
191, 11, 12, 13dmatmat 19163 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  B ) )
2019imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  B )
211, 7, 11matbas2i 19091 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
2322adantrl 713 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
242, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 18, 23mamuval 19055 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) Y )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) ) )
25 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
26 ringcmn 17424 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
2726ad2antlr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e. CMnd )
28273ad2ant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
2928adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  R  e. CMnd )
30103ad2ant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
3130adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
32 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) )
33 ovex 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  e.  _V )
35 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
3732, 31, 34, 36fsuppmptdm 7832 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
3893ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
3938ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
40 simp2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  x  e.  N )
4140ad2antlr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  N )
42 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
43 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
441, 43, 12, 13dmatmat 19163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  ( Base `  A ) ) )
4544imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  ( Base `  A )
)
4645adantrr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
47463ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
4847ad2antlr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
491, 7matecl 19094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N  /\  k  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
5041, 42, 48, 49syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
51 simplr3 1038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  N )
521, 43, 12, 13dmatmat 19163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A ) ) )
5352imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  ( Base `  A )
)
5453adantrl 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
55543ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
5655ad2antlr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
571, 7matecl 19094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  N  /\  y  e.  N  /\  Y  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
5842, 51, 56, 57syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
597, 8ringcl 17407 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( k Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6039, 50, 58, 59syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
6140adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  x  e.  N )
62 simp3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
6315adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  B )
6463, 11syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
65643ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
661, 7matecl 19094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
6740, 62, 65, 66syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
6852a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A ) ) ) )
6968imp32 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
70693ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
711, 7matecl 19094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  Y  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
7240, 62, 70, 71syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
737, 8ringcl 17407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( x Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
7438, 67, 72, 73syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
7574adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
76 eqtr 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  x  /\  x  =  y )  ->  k  =  y )
7776ancoms 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  /\  k  =  x )  ->  k  =  y )
7877oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  k  =  x )  ->  ( x X k )  =  ( x X y ) )
7978adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( x X k )  =  ( x X y ) )
80 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
k Y y )  =  ( x Y y ) )
8180adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( k Y y )  =  ( x Y y ) )
8279, 81oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
837, 25, 29, 31, 37, 60, 61, 75, 82gsumdifsnd 17183 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } ) 
|->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ) )
84 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  D )
8510, 9, 843jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
86853ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
8786ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  X  e.  D
) )
8840ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  x  e.  N )
89 eldifi 3612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  k  e.  N
)
9089adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  k  e.  N )
91 eldifsni 4142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  k  =/=  x
)
9291necomd 2725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  x  =/=  k
)
9392adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  x  =/=  k )
941, 11, 12, 13dmatelnd 19165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  /\  (
x  e.  N  /\  k  e.  N  /\  x  =/=  k ) )  ->  ( x X k )  =  .0.  )
9587, 88, 90, 93, 94syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( x X k )  =  .0.  )
9695oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( (
x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) )
9738ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  R  e.  Ring )
98 simplr3 1038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  y  e.  N )
9955ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  Y  e.  ( Base `  A )
)
10090, 98, 99, 57syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R
) )
1017, 8, 12ringlz 17430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  .0.  )
10297, 100, 101syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
10396, 102eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( (
x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  .0.  )
104103mpteq2dva 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
k  e.  ( N 
\  { x }
)  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
)
105104oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
) )
106 diffi 7744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
107 ringmnd 17402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
108106, 107anim12ci 565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  {
x } )  e. 
Fin ) )
109108adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
)
1101093ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  {
x } )  e. 
Fin ) )
111110adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
)
11212gsumz 16204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x } )  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
113111, 112syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
)  =  .0.  )
114105, 113eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) )  =  .0.  )
115114oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ) )
116107ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Mnd )
1171163ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Mnd )
11840, 62, 55, 71syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
11938, 67, 118, 73syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
120117, 119jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) ) )
121120adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
1227, 25, 12mndlid 16140 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )
123121, 122syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) )
12483, 115, 1233eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) )
125 iftrue 3935 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  ( (
x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
126125adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  ( (
x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
127124, 126eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
128 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  D )
12910, 9, 1283jca 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
1301293ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
131130ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
132131adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
133 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  e.  N )
134 simplr3 1038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  N )
135134adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
y  e.  N )
136 df-ne 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
137 neeq1 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
x  =/=  y  <->  k  =/=  y ) )
138137biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  y  ->  (
x  =  k  -> 
k  =/=  y ) )
139136, 138sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
140139adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
141140adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
142141impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  =/=  y )
1431, 11, 12, 13dmatelnd 19165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  /\  (
k  e.  N  /\  y  e.  N  /\  k  =/=  y ) )  ->  ( k Y y )  =  .0.  )
144132, 133, 135, 142, 143syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( k Y y )  =  .0.  )
145144oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  ( ( x X k ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
14638ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
14740ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  N )
148 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
14965ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
150147, 148, 149, 49syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
1517, 8, 12ringrz 17431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X k )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X k ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
152146, 150, 151syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
153152adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
154145, 153eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
15586ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
156155adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
157147adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  ->  x  e.  N )
158 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  e.  N )
159 df-ne 2651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  k  <->  -.  x  =  k )
160159biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  k  ->  x  =/=  k )
161160adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  ->  x  =/=  k )
162156, 157, 158, 161, 94syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( x X k )  =  .0.  )
163162oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  (  .0.  ( .r `  R
) ( k Y y ) ) )
16470ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
165148, 134, 164, 57syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
166146, 165, 101syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  (  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
167166adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
168163, 167eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
169154, 168pm2.61ian 788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
170169mpteq2dva 4525 . . . . . 6  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )
171170oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) ) )
172107anim2i 567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Mnd )
)
173172ancomd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )
)
17412gsumz 16204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
175173, 174syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
176175adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
1771763ad2ant1 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
178177adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
179 iffalse 3938 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
180179eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  y  ->  .0.  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
181180adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  ->  .0.  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
182171, 178, 1813eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
183127, 182pm2.61ian 788 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
184183mpt2eq3dva 6334 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
1856, 24, 1843eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   ifcif 3929   {csn 4016   <.cotp 4024    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118  CMndccmn 16997   Ringcrg 17393   maMul cmmul 19052   Mat cmat 19076   DMat cdmat 19157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mamu 19053  df-mat 19077  df-dmat 19159
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