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Theorem dmatmul 19522
Description: The product of two diagonal matrices. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a |- A = ( N Mat R )
dmatid.b |- B = ( Base ` A )
dmatid.0 |- .0. = ( 0g ` R )
dmatid.d |- D = ( N DMat R )
Assertion
Ref Expression
dmatmul |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
Distinct variable groups:   x, D, y   x, N, y   x, R, y   x, X, y   x, Y, y
Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   .0. ( x, y)
Proof of Theorem dmatmul
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6 |- A = ( N Mat R )
2 eqid 2451 . . . . . 6 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
31, 2matmulr 19463 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
43adantr 467 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
54eqcomd 2457 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( .r ` A ) = ( R maMul <. N , N , N >. ) )
65oveqd 6307 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) Y ) )
7 eqid 2451 . . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
8 eqid 2451 . . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
9 simplr 762 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. Ring )
10 simpll 760 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> N e. Fin )
11 dmatid.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` A )
12 dmatid.0 . . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
13 dmatid.d . . . . . . 7 |- D = ( N DMat R )
141, 11, 12, 13dmatmat 19519 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( X e. D -> X e. B ) )
1514imp 431 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. D ) -> X e. B )
161, 7, 11matbas2i 19447 . . . . 5 |- ( X e. B -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
1715, 16syl 17 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. D ) -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
1817adantrr 723 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
191, 11, 12, 13dmatmat 19519 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Y e. D -> Y e. B ) )
2019imp 431 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. D ) -> Y e. B )
211, 7, 11matbas2i 19447 . . . . 5 |- ( Y e. B -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
2220, 21syl 17 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. D ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
2322adantrl 722 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
242, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 18, 23mamuval 19411 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) ) )
25 eqid 2451 . . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
26 ringcmn 17811 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
2726ad2antlr 733 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. CMnd )
28273ad2ant1 1029 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. CMnd )
2928adantl 468 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> R e. CMnd )
30103ad2ant1 1029 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> N e. Fin )
3130adantl 468 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> N e. Fin )
32 eqid 2451 . . . . . . . 8 |- ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) = ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) )
33 ovex 6318 . . . . . . . . 9 |- ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) e. _V
3433a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) e. _V )
35 fvex 5875 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
3635a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
3732, 31, 34, 36fsuppmptdm 7894 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
3893ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Ring )
3938ad2antlr 733 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
40 simp2 1009 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> x e. N )
4140ad2antlr 733 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> x e. N )
42 simpr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
43 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
441, 43, 12, 13dmatmat 19519 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( X e. D -> X e. ( Base ` A ) ) )
4544imp 431 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. D ) -> X e. ( Base ` A ) )
4645adantrr 723 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
47463ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
4847ad2antlr 733 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
491, 7matecl 19450 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N /\ k e. N /\ X e. ( Base ` A ) ) -> ( x X k ) e. ( Base ` R ) )
5041, 42, 48, 49syl3anc 1268 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( x X k ) e. ( Base ` R ) )
51 simplr3 1052 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> y e. N )
521, 43, 12, 13dmatmat 19519 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Y e. D -> Y e. ( Base ` A ) ) )
5352imp 431 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. D ) -> Y e. ( Base ` A ) )
5453adantrl 722 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
55543ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
5655ad2antlr 733 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
571, 7matecl 19450 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. N /\ y e. N /\ Y e. ( Base ` A ) ) -> ( k Y y ) e. ( Base ` R ) )
5842, 51, 56, 57syl3anc 1268 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k Y y ) e. ( Base ` R ) )
597, 8ringcl 17794 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X k ) e. ( Base ` R ) /\ ( k Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
6039, 50, 58, 59syl3anc 1268 . . . . . . 7 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
6140adantl 468 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> x e. N )
62 simp3 1010 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> y e. N )
6315adantrr 723 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. B )
6463, 11syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
65643ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
661, 7matecl 19450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N /\ y e. N /\ X e. ( Base ` A ) ) -> ( x X y ) e. ( Base ` R ) )
6740, 62, 65, 66syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x X y ) e. ( Base ` R ) )
6852a1d 26 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( X e. D -> ( Y e. D -> Y e. ( Base ` A ) ) ) )
6968imp32 435 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
70693ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
711, 7matecl 19450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N /\ y e. N /\ Y e. ( Base ` A ) ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
7240, 62, 70, 71syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
737, 8ringcl 17794 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X y ) e. ( Base ` R ) /\ ( x Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
7438, 67, 72, 73syl3anc 1268 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
7574adantl 468 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
76 eqtr 2470 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = x /\ x = y ) -> k = y )
7776ancoms 455 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = y /\ k = x ) -> k = y )
7877oveq2d 6306 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = y /\ k = x ) -> ( x X k ) = ( x X y ) )
7978adantlr 721 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k = x ) -> ( x X k ) = ( x X y ) )
80 oveq1 6297 . . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( k Y y ) = ( x Y y ) )
8180adantl 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k = x ) -> ( k Y y ) = ( x Y y ) )
8279, 81oveq12d 6308 . . . . . . 7 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k = x ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
837, 25, 29, 31, 37, 60, 61, 75, 82gsumdifsnd 17593 . . . . . 6 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) )
84 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. D )
8510, 9, 843jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
86853ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
8786ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
8840ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> x e. N )
89 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( N \ { x } ) -> k e. N )
9089adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> k e. N )
91 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( N \ { x } ) -> k =/= x )
9291necomd 2679 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( N \ { x } ) -> x =/= k )
9392adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> x =/= k )
941, 11, 12, 13dmatelnd 19521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) /\ ( x e. N /\ k e. N /\ x =/= k ) ) -> ( x X k ) = .0. )
9587, 88, 90, 93, 94syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( x X k ) = .0. )
9695oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) )
9738ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> R e. Ring )
98 simplr3 1052 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> y e. N )
9955ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
10090, 98, 99, 57syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( k Y y ) e. ( Base ` R ) )
1017, 8, 12ringlz 17817 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( k Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
10297, 100, 101syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
10396, 102eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
104103mpteq2dva 4489 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) = ( k e. ( N \ { x } ) |-> .0. ) )
105104oveq2d 6306 . . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> .0. ) ) )
106 diffi 7803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. Fin -> ( N \ { x } ) e. Fin )
107 ringmnd 17789 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
108106, 107anim12ci 571 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) )
109108adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) )
1101093ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) )
111110adantl 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) )
11212gsumz 16621 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) -> ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> .0. ) ) = .0. )
113111, 112syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> .0. ) ) = .0. )
114105, 113eqtrd 2485 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = .0. )
115114oveq1d 6305 . . . . . 6 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) = ( .0. ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) )
116107ad2antlr 733 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. Mnd )
1171163ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Mnd )
11840, 62, 55, 71syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
11938, 67, 118, 73syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
120117, 119jca 535 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R e. Mnd /\ ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) ) )
121120adantl 468 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R e. Mnd /\ ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) ) )
1227, 25, 12mndlid 16557 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
123121, 122syl 17 . . . . . 6 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
12483, 115, 1233eqtrd 2489 . . . . 5 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
125 iftrue 3887 . . . . . 6 |- ( x = y -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
126125adantr 467 . . . . 5 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
127124, 126eqtr4d 2488 . . . 4 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
128 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. D )
12910, 9, 1283jca 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) )
1301293ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) )
131130ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) )
132131adantl 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) )
133 simprr 766 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> k e. N )
134 simplr3 1052 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> y e. N )
135134adantl 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> y e. N )
136 df-ne 2624 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
137 neeq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( x =/= y <-> k =/= y ) )
138137biimpcd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= y -> ( x = k -> k =/= y ) )
139136, 138sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = y -> ( x = k -> k =/= y ) )
140139adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x = k -> k =/= y ) )
141140adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( x = k -> k =/= y ) )
142141impcom 432 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> k =/= y )
1431, 11, 12, 13dmatelnd 19521 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) /\ ( k e. N /\ y e. N /\ k =/= y ) ) -> ( k Y y ) = .0. )
144132, 133, 135, 142, 143syl13anc 1270 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( k Y y ) = .0. )
145144oveq2d 6306 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = ( ( x X k ) ( .r ` R ) .0. ) )
14638ad2antlr 733 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
14740ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> x e. N )
148 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
14965ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
150147, 148, 149, 49syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( x X k ) e. ( Base ` R ) )
1517, 8, 12ringrz 17818 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X k ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
152146, 150, 151syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
153152adantl 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
154145, 153eqtrd 2485 . . . . . . . 8 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
15586ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
156155adantl 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
157147adantl 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> x e. N )
158 simprr 766 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> k e. N )
159 df-ne 2624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x =/= k <-> -. x = k )
160159biimpri 210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = k -> x =/= k )
161160adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> x =/= k )
162156, 157, 158, 161, 94syl13anc 1270 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( x X k ) = .0. )
163162oveq1d 6305 . . . . . . . . 9 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) )
16470ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
165148, 134, 164, 57syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k Y y ) e. ( Base ` R ) )
166146, 165, 101syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
167166adantl 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
168163, 167eqtrd 2485 . . . . . . . 8 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
169154, 168pm2.61ian 799 . . . . . . 7 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
170169mpteq2dva 4489 . . . . . 6 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) = ( k e. N |-> .0. ) )
171170oveq2d 6306 . . . . 5 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) )
172107anim2i 573 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( N e. Fin /\ R e. Mnd ) )
173172ancomd 453 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) )
17412gsumz 16621 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
175173, 174syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
176175adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
1771763ad2ant1 1029 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
178177adantl 468 . . . . 5 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
179 iffalse 3890 . . . . . . 7 |- ( -. x = y -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = .0. )
180179eqcomd 2457 . . . . . 6 |- ( -. x = y -> .0. = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
181180adantr 467 . . . . 5 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> .0. = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
182171, 178, 1813eqtrd 2489 . . . 4 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
183127, 182pm2.61ian 799 . . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
184183mpt2eq3dva 6355 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
1856, 24, 1843eqtrd 2489 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   ifcif 3881   {csn 3968   <.cotp 3976   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   ^m cmap 7472   Fincfn 7569   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191   0gc0g 15338   gsumg cgsu 15339   Mndcmnd 16535  CMndccmn 17430   Ringcrg 17780   maMul cmmul 19408   Mat cmat 19432   DMat cdmat 19513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433  df-dmat 19515
This theorem is referenced by:  dmatmulcl  19525  dmatcrng  19527  scmatscmiddistr  19533  scmatcrng  19546
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