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Theorem dmatmul 18782
Description: The product of two diagonal matrices. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
Assertion
Ref Expression
dmatmul  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, y    x, N, y    x, R, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem dmatmul
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
31, 2matmulr 18723 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
54eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( .r `  A )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
65oveqd 6300 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( X ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) Y ) )
7 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
8 eqid 2467 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
9 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Ring )
10 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  N  e.  Fin )
11 dmatid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
12 dmatid.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 dmatid.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( N DMat  R )
141, 11, 12, 13dmatmat 18779 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  B ) )
1514imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  B )
161, 7, 11matbas2i 18707 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1817adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
191, 11, 12, 13dmatmat 18779 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  B ) )
2019imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  B )
211, 7, 11matbas2i 18707 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
2322adantrl 715 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
242, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 18, 23mamuval 18671 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) Y )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) ) )
25 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
26 rngcmn 17025 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e. CMnd )
28273ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
2928adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  R  e. CMnd )
30103ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
3130adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
32 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) )
33 ovex 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  e.  _V )
35 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
3732, 31, 34, 36fsuppmptdm 7839 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
3893ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
40 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  x  e.  N )
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  N )
42 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
43 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
441, 43, 12, 13dmatmat 18779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  X  e.  ( Base `  A ) ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  X  e.  D
)  ->  X  e.  ( Base `  A )
)
4645adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
47463ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
491, 7matecl 18710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N  /\  k  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
5041, 42, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
51 simplr3 1040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  N )
521, 43, 12, 13dmatmat 18779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A ) ) )
5352imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  Y  e.  D
)  ->  Y  e.  ( Base `  A )
)
5453adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
55543ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
571, 7matecl 18710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  N  /\  y  e.  N  /\  Y  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
5842, 51, 56, 57syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
597, 8rngcl 17008 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( k Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
6039, 50, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
6140adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  x  e.  N )
62 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
6315adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  B )
6463, 11syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
65643ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
661, 7matecl 18710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  X  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
6740, 62, 65, 66syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x X y )  e.  ( Base `  R ) )
6852a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( X  e.  D  ->  ( Y  e.  D  ->  Y  e.  ( Base `  A ) ) ) )
6968imp32 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
70693ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
711, 7matecl 18710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N  /\  y  e.  N  /\  Y  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
7240, 62, 70, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
737, 8rngcl 17008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X y )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( x Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
7438, 67, 72, 73syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
7574adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) )
76 eqtr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  x  /\  x  =  y )  ->  k  =  y )
7776ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  /\  k  =  x )  ->  k  =  y )
7877oveq2d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  k  =  x )  ->  ( x X k )  =  ( x X y ) )
7978adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( x X k )  =  ( x X y ) )
80 oveq1 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
k Y y )  =  ( x Y y ) )
8180adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( k Y y )  =  ( x Y y ) )
8279, 81oveq12d 6301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  =  x )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
837, 25, 29, 31, 37, 60, 61, 75, 82gsumdifsnd 16787 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } ) 
|->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) ) )
84 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  X  e.  D )
8510, 9, 843jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
86853ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
8786ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  X  e.  D
) )
8840ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  x  e.  N )
89 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  k  e.  N
)
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  k  e.  N )
91 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  k  =/=  x
)
9291necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N  \  { x } )  ->  x  =/=  k
)
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  x  =/=  k )
941, 11, 12, 13dmatelnd 18781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D )  /\  (
x  e.  N  /\  k  e.  N  /\  x  =/=  k ) )  ->  ( x X k )  =  .0.  )
9587, 88, 90, 93, 94syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( x X k )  =  .0.  )
9695oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( (
x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) )
9738ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  R  e.  Ring )
98 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  y  e.  N )
9955ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  Y  e.  ( Base `  A )
)
10090, 98, 99, 57syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R
) )
1017, 8, 12rnglz 17031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k Y y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  .0.  )
10297, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
10396, 102eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  ( N  \  { x } ) )  ->  ( (
x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) )  =  .0.  )
104103mpteq2dva 4533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
k  e.  ( N 
\  { x }
)  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R ) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
)
105104oveq2d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
) )
106 diffi 7750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
107 rngmnd 17004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
108106, 107anim12ci 567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  {
x } )  e. 
Fin ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
)
1101093ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  {
x } )  e. 
Fin ) )
111110adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x }
)  e.  Fin )
)
11212gsumz 15830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( N  \  { x } )  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
113111, 112syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  .0.  )
)  =  .0.  )
114105, 113eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) )  =  .0.  )
115114oveq1d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (
( R  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { x } )  |->  ( ( x X k ) ( .r `  R
) ( k Y y ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ) )
116107ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  R  e.  Mnd )
1171163ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  R  e.  Mnd )
11840, 62, 55, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( x Y y )  e.  ( Base `  R ) )
11938, 67, 118, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )
120117, 119jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) ) )
121120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  e.  Mnd  /\  (
( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
1227, 25, 12mndlid 15757 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R ) ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )
123121, 122syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) )
12483, 115, 1233eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( ( x X y ) ( .r
`  R ) ( x Y y ) ) )
125 iftrue 3945 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  ( (
x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
126125adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  ( (
x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) )
127124, 126eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
128 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  Y  e.  D )
12910, 9, 1283jca 1176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
1301293ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
131130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D ) )
133 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  e.  N )
134 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  N )
135134adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
y  e.  N )
136 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
137 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
x  =/=  y  <->  k  =/=  y ) )
138137biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  y  ->  (
x  =  k  -> 
k  =/=  y ) )
139136, 138sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
141140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x  =  k  ->  k  =/=  y
) )
142141impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  =/=  y )
1431, 11, 12, 13dmatelnd 18781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  Y  e.  D )  /\  (
k  e.  N  /\  y  e.  N  /\  k  =/=  y ) )  ->  ( k Y y )  =  .0.  )
144132, 133, 135, 142, 143syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( k Y y )  =  .0.  )
145144oveq2d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  ( ( x X k ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
14638ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
14740ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  N )
148 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
14965ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
150147, 148, 149, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( x X k )  e.  ( Base `  R ) )
1517, 8, 12rngrz 17032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x X k )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x X k ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
152146, 150, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
153152adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
154145, 153eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
15586ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
156155adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  X  e.  D ) )
157147adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  ->  x  e.  N )
158 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
k  e.  N )
159 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  k  <->  -.  x  =  k )
160159biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  k  ->  x  =/=  k )
161160adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  ->  x  =/=  k )
162156, 157, 158, 161, 94syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( x X k )  =  .0.  )
163162oveq1d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  (  .0.  ( .r `  R
) ( k Y y ) ) )
16470ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
165148, 134, 164, 57syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k Y y )  e.  ( Base `  R ) )
166146, 165, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  (  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
167166adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
168163, 167eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  k  /\  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  k  e.  N ) )  -> 
( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
169154, 168pm2.61ian 788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) )  =  .0.  )
170169mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )
171170oveq2d 6299 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) ) )
172107anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Mnd )
)
173172ancomd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )
)
17412gsumz 15830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
175173, 174syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
176175adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
1771763ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
178177adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
179 iffalse 3948 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
180179eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  y  ->  .0.  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
181180adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  ->  .0.  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
182171, 178, 1813eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
183127, 182pm2.61ian 788 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D ) )  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) )  =  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R
) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) )
184183mpt2eq3dva 6344 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( x X k ) ( .r
`  R ) ( k Y y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
1856, 24, 1843eqtrd 2512 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )  ->  ( X ( .r `  A ) Y )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( ( x X y ) ( .r `  R ) ( x Y y ) ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   ifcif 3939   {csn 4027   <.cotp 4035    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    |-> cmpt2 6285    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   .rcmulr 14555   0gc0g 14694    gsumg cgsu 14695   Mndcmnd 15725  CMndccmn 16601   Ringcrg 16995   maMul cmmul 18668   Mat cmat 18692   DMat cdmat 18773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-hom 14578  df-cco 14579  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-prds 14702  df-pws 14704  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-dsmm 18546  df-frlm 18561  df-mamu 18669  df-mat 18693  df-dmat 18775
This theorem is referenced by:  dmatmulcl  18785  dmatcrng  18787  scmatscmiddistr  18793  scmatcrng  18806
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