Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmatid Structured version   Unicode version

Theorem dmatid 31025
Description: The identity matrix is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
dmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
dmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
dmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
Assertion
Ref Expression
dmatid  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  D )
Distinct variable groups:    B, m    A, i, j, m    i, N, j, m    R, i, j    .0. , m
Allowed substitution hints:    B( i, j)    D( i, j, m)    R( m)    .0. ( i, j)

Proof of Theorem dmatid
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
21matrng 18437 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
3 dmatid.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
53, 4rngidcl 16768 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
62, 5syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
7 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
8 dmatid.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
13 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  i  e.  N )
15 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1615adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  j  e.  N )
171, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 4mat1ov 18443 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( 1r `  A ) j )  =  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) )
18 ifnefalse 3896 . . . . 5  |-  ( i  =/=  j  ->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  )  =  .0.  )
1917, 18sylan9eq 2511 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( i ( 1r
`  A ) j )  =  .0.  )
2019ex 434 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i  =/=  j  -> 
( i ( 1r
`  A ) j )  =  .0.  )
)
2120ralrimivva 2901 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( 1r
`  A ) j )  =  .0.  )
)
22 oveq 6193 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( 1r `  A )  ->  (
i m j )  =  ( i ( 1r `  A ) j ) )
2322eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( m  =  ( 1r `  A )  ->  (
( i m j )  =  .0.  <->  ( i
( 1r `  A
) j )  =  .0.  ) )
2423imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  ( 1r `  A )  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  ( i  =/=  j  -> 
( i ( 1r
`  A ) j )  =  .0.  )
) )
25242ralbidv 2858 . . 3  |-  ( m  =  ( 1r `  A )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i  =/=  j  -> 
( i ( 1r
`  A ) j )  =  .0.  )
) )
26 dmatid.d . . 3  |-  D  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
2725, 26elrab2 3213 . 2  |-  ( ( 1r `  A )  e.  D  <->  ( ( 1r `  A )  e.  B  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i ( 1r `  A
) j )  =  .0.  ) ) )
286, 21, 27sylanbrc 664 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   A.wral 2793   {crab 2797   ifcif 3886   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Fincfn 7407   Basecbs 14273   0gc0g 14477   1rcur 16705   Ringcrg 16748   Mat cmat 18386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-hom 14361  df-cco 14362  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-prds 14485  df-pws 14487  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mulg 15647  df-subg 15777  df-ghm 15844  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-subrg 16966  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-sra 17356  df-rgmod 17357  df-dsmm 18263  df-frlm 18278  df-mamu 18387  df-mat 18388
This theorem is referenced by:  dmatsgrp  31029  dmatsrng  31031
  Copyright terms: Public domain W3C validator