HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmadjss Structured version   Unicode version

Theorem dmadjss 27532
Description: The domain of the adjoint function is a subset of the maps from  ~H to  ~H. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmadjss  |-  dom  adjh  C_  ( ~H  ^m  ~H )

Proof of Theorem dmadjss
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfadj2 27530 . . . 4  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) }
2 3anass 987 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
3 ax-hilex 26644 . . . . . . . 8  |-  ~H  e.  _V
43, 3elmap 7506 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  t : ~H --> ~H )
54anbi1i 700 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  ( ~H 
^m  ~H )  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
62, 5bitr4i 256 . . . . 5  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) ) )
76opabbii 4486 . . . 4  |-  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) ) }
81, 7eqtri 2452 . . 3  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) ) }
98dmeqi 5053 . 2  |-  dom  adjh  =  dom  { <. t ,  u >.  |  (
t  e.  ( ~H 
^m  ~H )  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) }
10 dmopabss 5063 . 2  |-  dom  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) }  C_  ( ~H  ^m 
~H )
119, 10eqsstri 3495 1  |-  dom  adjh  C_  ( ~H  ^m  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776    C_ wss 3437   {copab 4479   dom cdm 4851   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    ^m cmap 7478   ~Hchil 26564    .ih csp 26567   adjhcado 26600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-hilex 26644  ax-hfi 26724  ax-his1 26727
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-2 10670  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-adjh 27494
This theorem is referenced by:  dmadjop  27533
  Copyright terms: Public domain W3C validator