HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmadjss Structured version   Unicode version

Theorem dmadjss 25290
Description: The domain of the adjoint function is a subset of the maps from  ~H to  ~H. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmadjss  |-  dom  adjh  C_  ( ~H  ^m  ~H )

Proof of Theorem dmadjss
Dummy variables  u  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfadj2 25288 . . . 4  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) }
2 3anass 969 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
3 ax-hilex 24400 . . . . . . . 8  |-  ~H  e.  _V
43, 3elmap 7240 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  t : ~H --> ~H )
54anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  ( ~H 
^m  ~H )  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) )  <->  ( t : ~H --> ~H  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) )
62, 5bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) )  <->  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) ) )
76opabbii 4355 . . . 4  |-  { <. t ,  u >.  |  ( t : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) }  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) ) }
81, 7eqtri 2462 . . 3  |-  adjh  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( u `  x
)  .ih  y )
) ) }
98dmeqi 5040 . 2  |-  dom  adjh  =  dom  { <. t ,  u >.  |  (
t  e.  ( ~H 
^m  ~H )  /\  (
u : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( u `  x )  .ih  y
) ) ) }
10 dmopabss 5050 . 2  |-  dom  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  /\  ( u : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( u `
 x )  .ih  y ) ) ) }  C_  ( ~H  ^m 
~H )
119, 10eqsstri 3385 1  |-  dom  adjh  C_  ( ~H  ^m  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714    C_ wss 3327   {copab 4348   dom cdm 4839   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    ^m cmap 7213   ~Hchil 24320    .ih csp 24323   adjhcado 24356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-hilex 24400  ax-hfi 24480  ax-his1 24483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-2 10379  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-adjh 25252
This theorem is referenced by:  dmadjop  25291
  Copyright terms: Public domain W3C validator