HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmadjrnb Structured version   Unicode version

Theorem dmadjrnb 26951
Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 5896.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmadjrnb  |-  ( T  e.  dom  adjh  <->  ( adjh `  T )  e.  dom  adjh )

Proof of Theorem dmadjrnb
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 26940 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  (
adjh `  T )  e.  dom  adjh )
2 ax-hv0cl 26046 . . . . . . . . 9  |-  0h  e.  ~H
3 n0i 3798 . . . . . . . . 9  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  -.  ~H  =  (/) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  -.  ~H  =  (/)
5 eqcom 2466 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  ~H  <->  ~H  =  (/) )
64, 5mtbir 299 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  =  ~H
7 dm0 5226 . . . . . . . 8  |-  dom  (/)  =  (/)
87eqeq1i 2464 . . . . . . 7  |-  ( dom  (/)  =  ~H  <->  (/)  =  ~H )
96, 8mtbir 299 . . . . . 6  |-  -.  dom  (/)  =  ~H
10 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( (/) : ~H --> ~H  ->  dom  (/)  =  ~H )
119, 10mto 176 . . . . 5  |-  -.  (/) : ~H --> ~H
12 dmadjop 26933 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  dom  adjh  ->  (/) : ~H --> ~H )
1311, 12mto 176 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  dom  adjh
14 ndmfv 5896 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  dom  adjh  -> 
( adjh `  T )  =  (/) )
1514eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( -.  T  e.  dom  adjh  -> 
( ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh  <->  (/)  e.  dom  adjh ) )
1613, 15mtbiri 303 . . 3  |-  ( -.  T  e.  dom  adjh  ->  -.  ( adjh `  T
)  e.  dom  adjh )
1716con4i 130 . 2  |-  ( (
adjh `  T )  e.  dom  adjh  ->  T  e. 
dom  adjh )
181, 17impbii 188 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  <->  ( adjh `  T )  e.  dom  adjh )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   (/)c0 3793   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594   ~Hchil 25962   0hc0v 25967   adjhcado 25998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-hvsub 26014  df-adjh 26894
This theorem is referenced by:  adjbdlnb  27129  adjeq0  27136
  Copyright terms: Public domain W3C validator