HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmadjop Structured version   Unicode version

Theorem dmadjop 27537
Description: A member of the domain of the adjoint function is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmadjop  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )

Proof of Theorem dmadjop
StepHypRef Expression
1 dmadjss 27536 . . 3  |-  dom  adjh  C_  ( ~H  ^m  ~H )
21sseli 3462 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T  e.  ( ~H  ^m  ~H ) )
3 ax-hilex 26648 . . 3  |-  ~H  e.  _V
43, 3elmap 7510 . 2  |-  ( T  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  T : ~H --> ~H )
52, 4sylib 200 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1869   dom cdm 4852   -->wf 5596  (class class class)co 6304    ^m cmap 7482   ~Hchil 26568   adjhcado 26604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-hilex 26648  ax-hfi 26728  ax-his1 26731
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4219  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-er 7373  df-map 7484  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-2 10674  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-adjh 27498
This theorem is referenced by:  adjval  27539  adjval2  27540  dmadjrnb  27555  adjcl  27581  adj2  27583  adjadj  27585  hmopadj2  27590  adjlnop  27735  adjmul  27741  adjadd  27742
  Copyright terms: Public domain W3C validator