HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmadjop Structured version   Unicode version

Theorem dmadjop 26923
Description: A member of the domain of the adjoint function is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmadjop  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )

Proof of Theorem dmadjop
StepHypRef Expression
1 dmadjss 26922 . . 3  |-  dom  adjh  C_  ( ~H  ^m  ~H )
21sseli 3413 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T  e.  ( ~H  ^m  ~H ) )
3 ax-hilex 26033 . . 3  |-  ~H  e.  _V
43, 3elmap 7366 . 2  |-  ( T  e.  ( ~H  ^m  ~H )  <->  T : ~H --> ~H )
52, 4sylib 196 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1826   dom cdm 4913   -->wf 5492  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   ~Hchil 25953   adjhcado 25989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-hilex 26033  ax-hfi 26113  ax-his1 26116
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-2 10511  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-adjh 26884
This theorem is referenced by:  adjval  26925  adjval2  26926  dmadjrnb  26941  adjcl  26967  adj2  26969  adjadj  26971  hmopadj2  26976  adjlnop  27121  adjmul  27127  adjadd  27128
  Copyright terms: Public domain W3C validator