Theorem dm0rn0 5045

Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1549	. . . . . 6 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2		excom 1752	. . . . . 6 |- ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3	1, 2	xchbinx 302	. . . . 5 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4		alnex 1549	. . . . 5 |- ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5	3, 4	bitr4i 244	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6		noel 3592	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 337	. . . . 5 |- ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8	7	albii 1572	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9		noel 3592	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 337	. . . . 5 |- ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11	10	albii 1572	. . . 4 |- ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12	5, 8, 11	3bitr3i 267	. . 3 |- ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13		abeq1 2510	. . 3 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14		abeq1 2510	. . 3 |- ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4i 269	. 2 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16		df-dm 4847	. . 3 |- dom A = { x | E. y x A y }
17	16	eqeq1i 2411	. 2 |- ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18		dfrn2 5018	. . 3 |- ran A = { y | E. x x A y }
19	18	eqeq1i 2411	. 2 |- ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20	15, 17, 19	3bitr4i 269	1 |- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 177   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838

This theorem is referenced by:  rn0  5086  relrn0  5087  imadisj  5182  ndmima  5200  rnsnn0  5295  f00  5587  2nd0  6313  iinon  6561  onoviun  6564  onnseq  6565  map0b  7011  fodomfib  7345  intrnfi  7379  wdomtr  7499  noinfep  7570  noinfepOLD  7571  wemapwe  7610  fin23lem31  8179  fin23lem40  8187  isf34lem7  8215  isf34lem6  8216  ttukeylem6  8350  fodomb  8360  rpnnen1lem4  10559  rpnnen1lem5  10560  fseqsupcl  11271  fseqsupubi  11272  ruclem11  12794  prmreclem6  13244  0ram  13343  0ram2  13344  0ramcl  13346  gsumval2  14738  ghmrn  14974  gexex  15423  gsumval3  15469  iinopn  16930  hauscmplem  17423  fbasrn  17869  alexsublem  18028  evth  18937  minveclem1  19278  minveclem3b  19282  ovollb2  19338  ovolunlem1a  19345  ovolunlem1  19346  ovoliunlem1  19351  ovoliun2  19355  ioombl1lem4  19408  uniioombllem1  19426  uniioombllem2  19428  uniioombllem6  19433  mbfsup  19509  mbfinf  19510  mbflimsup  19511  itg1climres  19559  itg2monolem1  19595  itg2mono  19598  itg2i1fseq2  19601  itg2cnlem1  19606  minvecolem1  22329  rge0scvg  24288  esumpcvgval  24421  cvmsss2  24914  isbnd3  26383  totbndbnd  26388  stoweidlem35  27651

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848