Theorem dm0rn0 5219

Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1598	. . . . . 6 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2		excom 1798	. . . . . 6 |- ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3	1, 2	xchbinx 310	. . . . 5 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4		alnex 1598	. . . . 5 |- ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5	3, 4	bitr4i 252	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6		noel 3789	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 347	. . . . 5 |- ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8	7	albii 1620	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9		noel 3789	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 347	. . . . 5 |- ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11	10	albii 1620	. . . 4 |- ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12	5, 8, 11	3bitr3i 275	. . 3 |- ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13		abeq1 2592	. . 3 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14		abeq1 2592	. . 3 |- ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4i 277	. 2 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16		df-dm 5009	. . 3 |- dom A = { x | E. y x A y }
17	16	eqeq1i 2474	. 2 |- ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18		dfrn2 5191	. . 3 |- ran A = { y | E. x x A y }
19	18	eqeq1i 2474	. 2 |- ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20	15, 17, 19	3bitr4i 277	1 |- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010

This theorem is referenced by:  rn0  5254  relrn0  5260  imadisj  5356  ndmima  5373  rnsnn0  5474  f00  5767  f0rn0  5770  2nd0  6791  iinon  7011  onoviun  7014  onnseq  7015  map0b  7457  fodomfib  7800  intrnfi  7876  wdomtr  8001  noinfep  8076  noinfepOLD  8077  wemapwe  8139  wemapweOLD  8140  fin23lem31  8723  fin23lem40  8731  isf34lem7  8759  isf34lem6  8760  ttukeylem6  8894  fodomb  8904  rpnnen1lem4  11211  rpnnen1lem5  11212  fseqsupcl  12055  fseqsupubi  12056  ruclem11  13834  prmreclem6  14298  0ram  14397  0ram2  14398  0ramcl  14400  gsumval2  15835  ghmrn  16085  gexex  16662  gsumval3OLD  16711  gsumval3  16714  iinopn  19206  hauscmplem  19700  fbasrn  20148  alexsublem  20307  evth  21222  minveclem1  21602  minveclem3b  21606  ovollb2  21663  ovolunlem1a  21670  ovolunlem1  21671  ovoliunlem1  21676  ovoliun2  21680  ioombl1lem4  21734  uniioombllem1  21753  uniioombllem2  21755  uniioombllem6  21760  mbfsup  21834  mbfinf  21835  mbflimsup  21836  itg1climres  21884  itg2monolem1  21920  itg2mono  21923  itg2i1fseq2  21926  itg2cnlem1  21931  minvecolem1  25494  rge0scvg  27595  esumpcvgval  27752  cvmsss2  28387  fin2so  29645  heicant  29654  isbnd3  29911  totbndbnd  29916  stoweidlem35  31363