Theorem dm0rn0 4175

Description: An empty domain implies an empty range.

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- (dom A = (/) <-> ran A = (/))

Proof of Theorem dm0rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1393	. . . . . 6 |- (E.xE.y xAy <-> E.yE.x xAy)
2	1	notbii 204	. . . . 5 |- (-. E.xE.y xAy <-> -. E.yE.x xAy)
3		alnex 1380	. . . . 5 |- (A.x -. E.y xAy <-> -. E.xE.y xAy)
4		alnex 1380	. . . . 5 |- (A.y -. E.x xAy <-> -. E.yE.x xAy)
5	2, 3, 4	3bitr4i 200	. . . 4 |- (A.x -. E.y xAy <-> A.y -. E.x xAy)
6		noel 2879	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 791	. . . . 5 |- (-. E.y xAy <-> (E.y xAy <-> x e. (/)))
8	7	albii 1346	. . . 4 |- (A.x -. E.y xAy <-> A.x(E.y xAy <-> x e. (/)))
9		noel 2879	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 791	. . . . 5 |- (-. E.x xAy <-> (E.x xAy <-> y e. (/)))
11	10	albii 1346	. . . 4 |- (A.y -. E.x xAy <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
12	5, 8, 11	3bitr3i 198	. . 3 |- (A.x(E.y xAy <-> x e. (/)) <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
13		abeq1 2000	. . 3 |- ({x | E.y xAy} = (/) <-> A.x(E.y xAy <-> x e. (/)))
14		abeq1 2000	. . 3 |- ({y | E.x xAy} = (/) <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
15	12, 13, 14	3bitr4i 200	. 2 |- ({x | E.y xAy} = (/) <-> {y | E.x xAy} = (/))
16		df-dm 4004	. . 3 |- dom A = {x | E.y xAy}
17	16	eqeq1i 1891	. 2 |- (dom A = (/) <-> {x | E.y xAy} = (/))
18		dfrn2 4149	. . 3 |- ran A = {y | E.x xAy}
19	18	eqeq1i 1891	. 2 |- (ran A = (/) <-> {y | E.x xAy} = (/))
20	15, 17, 19	3bitr4i 200	1 |- (dom A = (/) <-> ran A = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  rn0 4203  relrn0 4204  imadisj 4285  ndmima 4300  rnsnn0 4364  f00 4601  2nd0 5025  map0b 5402  fodomfib 5657  noinfep 5747  fodomb 5962  fseqsupcl 7704  fseqsupubi 7705  climsupi 8415  cvgcmpubi 8446  totbndbnd 15944

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain