MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dm0 Unicode version

Theorem dm0 4799
Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dm0  |-  dom  (/)  =  (/)

Proof of Theorem dm0
StepHypRef Expression
1 eq0 3376 . 2  |-  ( dom  (/)  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  dom  (/) )
2 noel 3366 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
32nex 1587 . . 3  |-  -.  E. y <. x ,  y
>.  e.  (/)
4 vex 2730 . . . 4  |-  x  e. 
_V
54eldm2 4784 . . 3  |-  ( x  e.  dom  (/)  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  (/) )
63, 5mtbir 292 . 2  |-  -.  x  e.  dom  (/)
71, 6mpgbir 1544 1  |-  dom  (/)  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3362   <.cop 3547   dom cdm 4580
This theorem is referenced by:  dmxpid  4805  rn0  4843  dmxpss  5014  fn0  5220  f1o00  5365  fv01  5411  1stval  5976  tz7.44lem1  6304  tz7.44-2  6306  tz7.44-3  6307  oicl  7128  oif  7129  strlemor0  13108  dvbsss  19084  perfdvf  19085  ismgm  20817  dmadjrnb  22316  umgra0  23048  eupa0  23069  0alg  24922  0ded  24923  0catOLD  24924  symgsssg  26574  symgfisg  26575  psgnunilem5  26583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-dm 4598
  Copyright terms: Public domain W3C validator